局所線形化法

数値解析において、局所線形化 (LL) 法は、連続する時間間隔における与えられた方程式の局所的 (区分的) 線形化に基づいて、微分方程式の数値積分器を設計するための一般的な戦略です。数値積分器は、各連続間隔の終わりに結果として得られる区分的線形方程式の解として反復的に定義されます。LL 法は、常微分方程式、遅延微分方程式、ランダム微分方程式、確率微分方程式など、さまざまな方程式に対して開発されてきました。LL 積分器は、時系列の (潜在的にノイズの多い) 観測値に基づいて微分方程式の未知のパラメーターと観測されない変数を推定する推論方法の実装における重要なコンポーネントです。LL スキームは、神経科学、金融、林業管理、制御工学、数理統計など、さまざまな分野の複雑なモデルを処理するのに最適です。

背景

微分方程式は、太陽の周りの惑星の自転、市場における資産価格の変動、ニューロンの発火、伝染病の伝播など、さまざまな現象の時間発展を記述するための重要な数学的ツールとなっています。ただし、これらの方程式の正確な解は通常不明であるため、数値積分器によって得られる数値近似値が必要です。現在、力学研究に重点を置く工学および応用科学の多くのアプリケーションでは、これらの方程式のダイナミクスを可能な限り維持する効率的な数値積分器の開発が求められています。この主な動機により、ローカル線形化積分器が開発されました。

高次局所線形化法

高次局所線形化 (HOLL) 法は、線形方程式の安定性とダイナミクスを維持する微分方程式の高次積分器を取得することを目的とした、局所線形化法の一般化です元の方程式の解xを 2 つの部分、つまり局所線形化された方程式の解zと残差の高次近似に分割することによって取得されます。 $\mathbf {r} =\mathbf {x} -\mathbf {z}$

ローカル線形化スキーム

ローカル線形化 (LL) スキームは、微分方程式のクラスに対して LL 法または HOLL 法から導出された離散化の数値実装を可能にする最終的な再帰アルゴリズムです。

ODE の LL メソッド

d次元常微分方程式（ODE）を考える

${\frac {d\mathbf {x} \left(t\right)}{dt}}=\mathbf {f} \left(t,\mathbf {x} \left(t\right)\right),\qquad t\in \left[t_{0},T\right],\qquad \qquad \qquad \qquad (4.1)$

初期条件は、は微分可能関数です。 $\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}$ $\mathbf {f}$

を最大ステップサイズhで時間間隔の時間離散化とし、かつとする。時間ステップにおける式(4.1)の局所線形化の後、定数の変化の公式は次式を得る。 $\left(t\right)_{h}=\{t_{n}:n=0,..,N\}$ $[t_{0},T]$ $t_{n$ $h_{n}=t_{n+1}-t_{n}\leq h$ $t_{n}$

$\mathbf {x} (t_{n}+h)=\mathbf {x} (t_{n})+\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {x} (t_{n) });h)+\mathbf {r} (t_{n},\mathbf {x} (t_{n});h),$

どこ

$\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h)=\int \limits _{0}^{h}e^{\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})(h-s)}(\mathbf {f} (t_{n},\mathbf {z} _{n})+\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {z} _{n})s)\,ds\qquad$

線形近似の結果であり、

$\mathbf {r} (t_{n},\mathbf {z} _{n};h)=\int \limits _{0}^{h}e^{\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})(h-s)}\mathbf {g} _{n}(s,\mathbf {x} (t_{n}+s))\,ds,\qquad \qquad \qquad (4.2)$

は線形近似の残差である。ここで、およびはそれぞれ変数xとtに関するfの偏微分を表し、 $\mathbf {f} _{\mathbf {x} }$ $\mathbf {f} _{t}$ $\mathbf {g} _{n}(s,\mathbf {u} )=\mathbf {f} (s,\mathbf {u} )-\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})\mathbf {u} -\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {z} _{n})(s-t_{n})-\mathbf {f} (t_{n},\mathbf {z} _{n})+\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})\mathbf {z} _{n}.$

局所線形離散化

時間離散化の場合、各点における常微分方程式（4.1）の局所線形離散化は 、再帰式^[1]^{[2]で定義される。} $\left(t\right)_{h}$ $t_{n+1}\in \left(t\right)_{h}$

$\mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n}),\qquad {\text{ with }}\quad \mathbf {z} _{0}=\mathbf {x} _{0}.\qquad \qquad \qquad \qquad (4.3)$

局所線形離散化(4.3)は非線形常微分方程式の解に2次収束しますが、線形常微分方程式の解と一致します。再帰(4.3)は指数オイラー離散化としても知られています。^[3]

高次局所線形離散化

時間の離散化では、各点における常微分方程式（4.1）の高次局所線形（HOLL）離散化は、再帰式[ ^1]^[4]^[5]^{[6]で定義される。} $(t)_{h},$ $t_{n+1}\in (t)_{h}$

$\mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n})+{\widetilde {\mathbf {r} }}(t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n}),\qquad {\text{ with }}\quad \mathbf {z} _{0}=\mathbf {x} _{0},\qquad \qquad \qquad (4.4)$

ここで、残差rの次数（> 2 ）近似である。HOLL離散化（4.4）は、非線形常微分方程式の解に次数で収束するが、線形常微分方程式の解とも一致する。 ${\tilde {r}}$ $\alpha$ $(i.e.,\left\vert \mathbf {r} (t_{n},\mathbf {z} _{n};h)-{\widetilde {\mathbf {r} }}(t_{n},\mathbf {z} _{n};h)\right\vert \propto h^{\alpha +1}).$ $\alpha$

HOLL離散化は2つの方法で導出できる: ^[1]^[4]^[5]^[6] 1) (求積法ベース) rの積分表現(4.2)を近似する方法と、2) (積分器ベース) rの微分表現に対する数値積分器を使用して次のように定義する方法である。

${\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=\mathbf {q} (t_{n},\mathbf {z} _{n};t\mathbf {,\mathbf {r} } (t)\mathbf {)} ,\qquad {\text{ with }}\qquad \mathbf {r} (t_{n})=\mathbf {0,} \qquad \qquad \qquad (4.5)$

すべてのに対して、ここで $t\in \lbrack t_{k},t_{k+1}]$

$\mathbf {q} (t_{n},\mathbf {z} _{n};s\mathbf {,\xi } )=\mathbf {f} (s,\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } \left(t_{n},\mathbf {z} _{n};s-t_{n}\right)+\mathbf {\xi } )-\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};s-t_{n})-\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {z} _{n})(s-t_{n})-\mathbf {f} (t_{n},\mathbf {z} _{n}).$

HOLL 離散化の例は次のとおりです。

局所線形ルンゲ・クッタ離散化^[6]^[4]

$\qquad \mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n})+h_{n}\sum _{j=1}^{s}b_{j}\mathbf {k} _{j},\quad {\text{ with }}\quad \mathbf {k} _{i}=\mathbf {q} (t_{n},\mathbf {z} _{n};{\text{ }}t_{n}+c_{i}h_{n}\mathbf {,} \mathbf {} h_{n}\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}\mathbf {k} _{j}),$

これは、係数を持つs段階の明示的ルンゲ・クッタ（RK）スキームを介して（4.5）を解くことによって得られる。 $\mathbf {c} =\left[c_{i}\right],\mathbf {A} =\left[a_{ij}\right]\quad and\quad \mathbf {b} =\left[b_{j}\right]$

局所線形テイラー離散化^[5]

$\mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n})+\int _{0}^{h_{n}}e^{(h_{n}-s)\mathbf {f} _{\mathbf {x} }\left(t_{n},\mathbf {z} _{n}\right)}\sum _{j=2}^{p}{\frac {\mathbf {c} _{n,j}}{j!}}s^{j}\,ds,{\text{ with }}\mathbf {c} _{n,j}=\left({\frac {d^{j+1}\mathbf {x} (t)}{dt^{j+1}}}-\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n}){\frac {d^{j}\mathbf {x} (t)}{dt^{j}}}\right)\mid _{t=\mathbf {z} _{n}},$

これは、 (4.2)のをp次の切断テイラー展開で近似した結果である。 $\mathbf {g} _{n}$

多段階型指数伝播離散化

${\textstyle \mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h)+h\sum _{j=0}^{p-1}\gamma _{j}\nabla ^{j}\mathbf {g} _{n}(t_{n},\mathbf {z} _{n}),\quad with\quad \gamma _{j}=(-1)^{j}\int \limits _{0}^{1}e^{(1-\theta )h\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})}\left({\begin{array}{c}-\theta \\j\end{array}}\right)d\theta ,}$

これは、(4.2)式のを上のp次の多項式で補間することによって得られる。ここで、はのj番目の後方差分を表す。 $\mathbf {g} _{n}$ $t_{n},\ldots ,t_{n-p+1}$ $\nabla ^{j}\mathbf {g} _{n}(t_{m},\mathbf {z} _{m})$ $\mathbf {g} _{n}(t_{m},\mathbf {z} _{m})$

ルンゲ・クッタ型指数伝播離散化 ^[7]

${\textstyle \mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h)+h\sum _{j=0}^{p-1}\gamma _{j,p}\nabla ^{j}\mathbf {g} _{n}(t_{n},\mathbf {z} _{n}),\quad {\text{ with }}\quad \gamma _{j,p}=\int \limits _{0}^{1}e^{(1-\theta )h\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})}\left({\begin{array}{c}\theta p\\j\end{array}}\right)d\theta ,}$

これは、（4.2）のをのp次の多項式で補間することによって得られる。 $\mathbf {g} _{n}$ $t_{n},\ldots ,t_{n}+(p-1)h/p$

線形指数アダムス離散化^[8]

${\textstyle \mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h)+h\sum _{j=1}^{p-1}\sum _{l=1}^{j}{\frac {\gamma _{j+1}}{l}}\nabla ^{l}\mathbf {g} _{n}(t_{n},\mathbf {z} _{n}),\quad {\text{ with }}\quad \gamma _{j+1}=(-1)^{j+1}\int \limits _{0}^{1}e^{(1-\theta )h\mathbf {f} _{\mathbf {x} }\left(t_{n},\mathbf {z} _{n}\right)}\theta \left({\begin{array}{c}-\theta \\j\end{array}}\right)d\theta ,}$

これは、(4.2)式のをのp次エルミート多項式で補間することによって得られる。 $\mathbf {g} _{n}$ $t_{n},\ldots ,t_{n-p+1}$

ローカル線形化スキーム

LL（またはHOLL）離散化のすべての数値実装は、次の形式の積分の近似を含む。 $\mathbf {y} _{n}$ $\mathbf {z} _{n}$ ${\widetilde {\phi }}_{j}$ $\phi _{j}$

$\phi _{j}(\mathbf {A} ,h)=\int \limits _{0}^{h}e^{(h-s)\mathbf {A} }s^{j-1}\,ds,\qquad j=1,2\ldots ,$

ここでAはd × d行列である。あらゆる次数のLL（またはHOLL）の数値実装は、一般的に局所線形化スキームと呼ばれる。^[1]^[9] $\mathbf {y} _{n}$ $\mathbf {z} _{n}$

行列指数関数を含む積分の計算

積分を計算するためのアルゴリズムは数多くあるが、指数行列の有理パデおよびクリロフ部分空間近似に基づくものが好まれる。このために、式^[10]^[5]^{[11]が中心的な役割を果たしている。} $\phi _{j}$

$\sum \nolimits _{i=1}^{l}\phi _{i}(\mathbf {A} ,h)\mathbf {a} _{i}=\mathbf {L} e^{h\mathbf {H} }\mathbf {r} ,$

ここでd次元ベクトルであり、 $\mathbf {a} _{i}$

$\mathbf {H} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {v} _{l}&\mathbf {v} _{l-1}&\cdots &\mathbf {v} _{1}\\\mathbf {0} &\mathbf {0} &1&\cdots &0\\\mathbf {0} &\mathbf {0} &0&\ddots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &1\\\mathbf {0} &\mathbf {0} &0&\cdots &0\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{(d+l)\times (d+l)},$

$\mathbf {L} =[\mathbf {I} \quad \mathbf {0} _{d\times l}]$ 、はd次元の単位行列です。 $\mathbf {r} =[\mathbf {0} _{1\times (d+l-1)}\quad 1]^{\intercal },$ $\mathbf {v} _{i}=\mathbf {a} _{i}(i-1)!$ $\mathbf {I}$

が( p ; q )-パデ近似を表し、k が^[12]^[9]を満たす最小の自然数である場合 $\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k}\mathbf {H} h)$ $e^{2^{-k}\mathbf {H} h}$ $|2^{-k}\mathbf {H} h|\leq {\frac {1}{2}},then$

$\left\vert \sum \nolimits _{i=1}^{l}\phi _{i}(\mathbf {A} ,h)\mathbf {a} _{i}-\mathbf {L} \left(\mathbf {\mathbf {P} } _{p,q}(2^{-k}\mathbf {H} h)\right)^{2^{k}}\mathbf {r} \right\vert \varpropto h^{p+q+1}.$

がの(m; p; q; k)クリロフ・パデ近似を表す場合、^[12] $\mathbf {\mathbf {k} } _{m,k}^{p,q}(h,\mathbf {H} ,\mathbf {r} )$ $e^{h\mathbf {H} }\mathbf {r}$

$\left\vert \sum \nolimits _{i=1}^{l}\phi _{i}(\mathbf {A} ,h)\mathbf {a} _{i}-\mathbf {L\mathbf {k} } _{m,k}^{p,q}(h,\mathbf {H} ,\mathbf {r} )\right\vert \varpropto h^{\min({m,p+q+1})},$

ここで、はクリロフ部分空間の次元です。 $m\leq d$

2次LLスキーム

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L} (\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r,}$ ^[13]^[9] $\qquad \qquad (4.6)$

ここで行列Lおよびrは次のように定義される。 $\mathbf {M} _{n}$

$\mathbf {M} _{n}={\begin{bmatrix}\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {y} _{n})&\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {y} _{n})&\mathbf {f} (t_{n},\mathbf {y} _{n})\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{(d+2)\times (d+2)},$

$\mathbf {L} =\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {I} &\mathbf {0} _{d\times 2}\end{array}}\right]$ およびとなる。大規模な常微分方程式系の場合^[3] $\mathbf {r} ^{\intercal }=\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {0} _{1\times (d+1)}&1\end{array}}\right]$ $p+q>1$

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L\mathbf {k} } _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf {M} _{n},\mathbf {r} )\mathbf {,} \qquad {\text{ with }}\qquad m_{n}>2.$

3次LLテイラー方式

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L} _{1}(\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {T} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r} _{1}\mathbf {,}$ ^[5] $\qquad \qquad (4.7)$

ここで、自律常微分方程式の場合、行列とは次の様に定義される。 $\mathbf {T} _{n},\mathbf {L} _{1}$ $\mathbf {r} _{1}$

$\mathbf {T} _{n}=\left[{\begin{array}{cccc}\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(\mathbf {y} _{n})&(\mathbf {I} \otimes \mathbf {f} ^{\intercal }(\mathbf {y} _{n}))\mathbf {f} _{\mathbf {xx} }(\mathbf {y} _{n})\mathbf {f} (\mathbf {y} _{n})&\mathbf {0} &\mathbf {f} (\mathbf {y} _{n})\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{(d+3)\times (d+3)},$

$\mathbf {L} _{1}=\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {I} &\mathbf {0} _{d\times 3}\end{array}}\right]\quad and\quad \mathbf {r} _{1}^{\intercal }=\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {0} _{1\times (d+2)}&1\end{array}}\right]$ ここで、はxに関するfの2次微分を表し、p + q > 2 である。大規模な常微分方程式系の場合、 $\mathbf {f} _{\mathbf {xx} }$

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L\mathbf {k} } _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf {T} _{n},\mathbf {r} )\mathbf {,} \qquad {\text{ with }}\qquad m_{n}>3.$

オーダー4 LL-RKスキーム

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {u} _{4}+{\frac {h_{n}}{6}}(2\mathbf {k} _{2}+2\mathbf {k} _{3}+\mathbf {k} _{4}),\quad$ ^[4]^[6] $\qquad \qquad (4.8)$

どこ

$\mathbf {u} _{j}=\mathbf {L} (\mathbf {P} _{p,q}(2^{-\kappa _{j}}\mathbf {M} _{n}c_{j}h_{n}))^{2^{\kappa _{j}}}\mathbf {r}$

そして

$\mathbf {k} _{j}=\mathbf {f} \left(t_{n}+c_{j}h_{n},\mathbf {y} _{n}+\mathbf {u} _{j}+c_{j}h_{n}\mathbf {k} _{j-1}\right)-\mathbf {f} \left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right)-\mathbf {f} _{\mathbf {x} }\left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right)\mathbf {u} _{j}\ -\mathbf {f} _{t}\left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right)c_{j}h_{n},$

かつp + q > 3である。大きな常微分方程式系の場合、上記のスキームのベクトルは次のように置き換えられる。 $\mathbf {k} _{1}\equiv \mathbf {0} ,c=\left[{\begin{array}{cccc}0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&1\end{array}}\right],$ $\mathbf {u} _{j}$ $\mathbf {u} _{j}=\mathbf {L\mathbf {k} } _{m_{j},k_{j}}^{p,q}(c_{j}h_{n},\mathbf {M} _{n},\mathbf {r} )$ $m_{j}>4.$

ドルマンとプリンスの局所線形ルンゲ・クッタ法

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {u} _{s}+h_{n}\sum _{j=1}^{s}b_{j}\mathbf {k} _{j}\qquad {\text{ and }}\qquad {\widehat {\mathbf {y} }}_{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {u} _{s}+h_{n}\sum _{j=1}^{s}{\widehat {b}}_{j}\mathbf {k} _{j},\quad$ ^[14]^[15] $\qquad \qquad (4.9)$

ここで、s = 7はステージ数であり、

$\mathbf {k} _{j}=\mathbf {f(} t_{n}+c_{j}h_{n},\mathbf {y} _{n}+\mathbf {u} _{j}+h_{n}\sum _{i=1}^{s-1}a_{j,i}\mathbf {k} _{i})-\mathbf {f} \left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right)-\mathbf {f} _{\mathbf {x} }\left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right)\mathbf {u} _{j}\ -\mathbf {f} _{t}\left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right)c_{j}h_{n},$

ここで、、はドルマンドとプリンスのルンゲ・クッタ係数であり、p + q > 4です。上記のスキームにおけるベクトルは、それぞれ小規模または大規模の常微分方程式系に対するパデ近似またはクリラー・パデ近似によって計算されます。 $\mathbf {k} _{1}\equiv \mathbf {0}$ $a_{j,i},b_{j},{\widehat {b}}_{j}\quad and\quad c_{j}$ $\mathbf {u} _{j}$

安定性とダイナミクス

構成上、LL および HOLL 離散化は線形 ODE の安定性とダイナミクスを継承しますが、LL 方式一般はそうではありません。の場合、LL 方式 (4.6)-(4.9) はA 安定です。^[4]q = p + 1 またはq = p + 2の場合、LL 方式 (4.6)–(4.9) はL 安定でもあります。^[4]線形 ODE の場合、LL 方式 (4.6)-(4.9) はp + qの次数で収束します。^[4]^[9]さらに、p = q = 6および= dの場合、上記のすべての LL 方式で、現在のパーソナルコンピュータ上で線形 ODE の「正確な計算」（浮動小数点演算の精度まで）が可能になります。^[4]^{[9]これには、}硬い線形方程式や振動の激しい線形方程式が含まれます。さらに、LLスキーム(4.6)-(4.9)は線形常微分方程式に対して正則であり、ハミルトン調和振動子のシンプレクティック構造を継承している。^[5]^[13]これらのLLスキームは線形化保存性も備えており、同じステップサイズの他の数値スキームよりも、双曲平衡点と周期軌道の周りの安定多様体と不安定多様体の再現性が向上している。^[5]^[13]たとえば、図1は常微分方程式の位相図を示している。 $p\leq q\leq p+2$ $m_{n}$

{\begin{aligned}&{\frac {dx_{1}}{dt}}=-2x_{1}+x_{2}+1-\mu f(x_{1},\lambda )\qquad \qquad (4.10)\\[6pt]&{\frac {dx_{2}}{dt}}=x_{1}-2x_{2}+1-\mu f(x_{2},\lambda )\qquad \qquad \quad (4.11)\end{aligned}}

、および、およびさまざまなスキームによるその近似。このシステムには、領域に 2 つの安定な定常点と 1 つの不安定な定常点があります。 $f(u,\lambda )=u(1+u+\lambda u^{2})^{-1}$ $\mu =15$ $\lambda =57$ $0\leq x_{1},x_{2}\leq 1$

DDE の LL メソッド

d次元遅延微分方程式（DDE）を考える

${\frac {d\mathbf {x} (t)}{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} (t),\mathbf {x} _{t}(-\tau _{1}),\ldots ,\mathbf {x} _{t}(-\tau _{m})),\qquad t\in [t_{0},T],\qquad \qquad (5.1)$

m個の定数遅延とすべての初期条件（fは微分可能関数）の場合、セグメント関数は次のように定義されます。 $\tau _{i}>0$ $\mathbf {x} _{t_{0}}(s)=\mathbf {\varphi } (s)$ $s\in [-\tau ,0],$ $\mathbf {x} _{t}:[-\tau ,0]\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$

$\mathbf {x} _{t}(s):=\mathbf {x} (t+s),{\text{ }}s\in [-\tau ,0],$

すべては与えられた関数であり、 $t\in [t_{0},T],\mathbf {\varphi } :[-\tau ,0]\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$ $\tau =\max \left\{\tau _{1},\ldots ,\tau _{m}\right\}.$

局所線形離散化

時間離散化に対して、各点におけるDDE(5.1)の局所線形離散化は再帰式^{[11]で定義される。} $(t)_{h}$ $t_{n+1}\in (t)_{h}$

$\mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\Phi (t_{n},\mathbf {z} _{n},h_{n};{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{1},\ldots ,{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{m}),\qquad \qquad (5.2)$

どこ

$\Phi (t_{n},\mathbf {z} _{n},h_{n};{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{1},\ldots ,{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{m})=\int \limits _{0}^{h_{n}}e^{\mathbf {A} _{n}(h_{n}-u)}\left[\sum \limits _{i=1}^{m}\mathbf {B} _{n}^{i}({\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{i}(u-\tau _{i})-{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{i}(-\tau _{i}))+\mathbf {d} _{n}\right]\,du+\int \limits _{0}^{h_{n}}\int \limits _{0}^{u}e^{\mathbf {A} _{n}(h_{n}-u)}\mathbf {c} _{n}\,dr\,du$

${\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{i}:\left[-\tau _{i},0\right]\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$ セグメント関数は次のように定義されます

${\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{i}(s):={\widetilde {\mathbf {z} }}^{i}(t_{n}+s),{\text{ }}s\in [-\tau _{i},0],$

であり、すべてのに対して適切な近似値である。ここで、 ${\widetilde {\mathbf {z} }}^{i}:\left[t_{n}-\tau _{i},t_{n}\right]\longrightarrow \mathbb {R} ^{d}$ $\mathbf {x} (t)$ $t\in \lbrack t_{n}-\tau _{i},t_{n}]$ ${\widetilde {\mathbf {z} }}^{i}(t_{n})=\mathbf {z} _{n}.$

$\mathbf {A} _{n}=\mathbf {f} _{x}(t_{n},\mathbf {z} _{n},{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{1}(-\tau _{1}),\ldots ,{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{m}(-\tau _{d})),{\text{ }}\mathbf {B} _{n}^{i}=\mathbf {f} _{x_{t}(-\tau _{i})}(t_{n},\mathbf {z} _{n},{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{1}(-\tau _{1}),\ldots ,{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{m}(-\tau _{d}))$

は定数行列であり、

$\mathbf {c} _{n}=\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {z} _{n},{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{1}(-\tau _{1}),\ldots ,{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{m}(-\tau _{d})){\text{ and }}\mathbf {d} _{n}=\mathbf {f(} t_{n},\mathbf {z} _{n},{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{1}(-\tau _{1}),\ldots ,{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{m}(-\tau _{d}))$

は定数ベクトルです。はそれぞれ変数tとxに関するfの偏微分、およびを表します。がすべてのに対して次数で近似する場合、局所線形離散化(5.2)は次数で(5.1)の解に収束します。 $\mathbf {f} _{t},\mathbf {f} _{x}\quad and\quad \mathbf {f} _{x_{t}(-\tau _{i})}$ $\mathbf {x} _{t}(-\tau _{i})$ $\alpha =\min\{2,r\},$ ${\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{i}$ $\mathbf {z} _{t_{n}}^{i}$ $r\quad (i.e.,\left\vert \mathbf {z} _{t_{n}}^{i}\mathbf {(} u-\tau _{i}\mathbf {)} -{\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{i}\mathbf {(} u-\tau _{i}\mathbf {)} \right\vert \propto h_{n}^{r}$ $u\in \lbrack 0,h_{n}])$

ローカル線形化スキーム

近似と計算アルゴリズムに応じて、さまざまなローカル線形化スキームを定義できます。ローカル線形離散化のすべての数値実装は、一般的にローカル線形化スキームと呼ばれます。 ${\widetilde {\mathbf {z} }}_{t_{n}}^{i}$ $\mathbf {\phi }$ $\mathbf {y} _{n}$ $\mathbf {z} _{n}$

2次多項式LLスキーム

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L} (\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r,} \quad$ ^[11] $\qquad (5.3)$

ここで行列と行列は次のように定義される。 $\mathbf {M} _{n},\mathbf {L}$ $\mathbf {r}$

$\mathbf {M} _{n}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} _{n}&\mathbf {c} _{n}+\sum \limits _{i=1}^{m}\mathbf {B} _{n}^{i}\mathbf {\alpha } _{n}^{i}&\mathbf {d} _{n}\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{(d+2)\times (d+2)},$

$\mathbf {L} =\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {I} &\mathbf {0} _{d\times 2}\end{array}}\right]$ および、および。ここで、行列、、およびは (5.2)のように定義されるが、およびをに置き換えて、 $\mathbf {r} ^{\intercal }=\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {0} _{1\times (d+1)}&1\end{array}}\right],h_{n}\leq \tau$ $p+q>1$ $\mathbf {A} _{n}$ $\mathbf {B} _{n}^{i}$ $\mathbf {c} _{n}$ $\mathbf {d} _{n}$ $\mathbf {z}$ $\mathbf {y}$ $\mathbf {\alpha } _{n}^{i}=(\mathbf {y} (t_{n+1}-\tau _{i})-\mathbf {y} (t_{n}-\tau _{i}))/h_{n},$

$\mathbf {y} \left(t\right)=\mathbf {y} _{n_{t}}+\mathbf {L} (\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n_{t}}(t-t_{n_{t}})))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r} ,$

は、すべてのに対して LL スキーム (5.3) を通じて定義される (5.1) の解の局所線形近似であり、に対してによって定義される。大規模な DDE 系では、 $n_{t}=\max\{n=0,1,2,...,:t_{n}\leq t{\text{ and }}t_{n}\in \left(t\right)_{h}\}$ $t\in \lbrack t_{0},t_{n}]$ $\mathbf {y} \left(t\right)=\mathbf {\varphi } \left(t\right)$ $t\in \left[t_{0}-\tau ,t_{0}\right]$

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L\mathbf {k} } _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf {M} _{n},\mathbf {r} )\quad and\quad \mathbf {y} \left(t\right)=\mathbf {y} _{n_{t}}+\mathbf {L\mathbf {k} } _{m_{n_{t}},k_{n_{t}}}^{p,q}(t-t_{n_{t}},\mathbf {M} _{n_{t}},\mathbf {r} ),$

と。図2は、DDEの硬いシステムの積分におけるLLスキーム(5.3)の安定性と、同様の順序の明示的なスキームの安定性を示しています。 $p+q>1$ $m_{n}>2$

RDE の LL メソッド

d次元のランダム微分方程式（RDE）を考える

{\frac {d\mathbf {x} \left(t\right)}{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {x} (t),\mathbf {\xi } (t)),\quad t\in \left[t_{0},T\right],\qquad \qquad \qquad (6.1)

初期条件はk次元の可分有限連続確率過程、f は微分可能関数です。の実現（パス）が与えられていると仮定します。 $\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0},$ $\mathbf {\xi }$ $\mathbf {\xi }$

局所線形離散化

時間離散化に対して、各点におけるRDE(6.1)の局所線形離散化は再帰式^{[16]で定義される。} $\left(t\right)_{h}$ $t_{n+1}\in \left(t\right)_{h}$

$\mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n}),\qquad {\text{ with }}\qquad \mathbf {z} _{0}=\mathbf {x} _{0},$

どこ

$\mathbf {\phi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n})=\int \limits _{0}^{h_{n}}e^{\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(\mathbf {z} _{n},\mathbf {\xi } (t_{n}))(h_{n}-u)}(\mathbf {f(z} _{n},\mathbf {\xi } (t_{n}))+\mathbf {f} _{\mathbf {\xi } }(\mathbf {z} _{n},\mathbf {\xi } (t_{n}))({\widetilde {\mathbf {\xi } }}(t_{n}+u)-{\widetilde {\mathbf {\xi } }}(t_{n})))\,du$

およびは、すべてのに対する過程の近似です。ここで、およびは、それぞれおよびに関するの偏微分を表します。 ${\widetilde {\mathbf {\xi } }}$ $\mathbf {\xi }$ $t\in \left[t_{0},T\right].$ $\mathbf {f} _{x}$ $\mathbf {f} _{\xi }$ $\mathbf {f}$ $\mathbf {x}$ $\xi$

ローカル線形化スキーム

**図3ステップサイズ**h = 1/32、p = q = 6での非線形RDE(6.2)-(6.3)の積分における*オイラー法*とLL法の軌跡の位相図。

プロセスと計算アルゴリズムの近似値に応じて、異なるローカル線形化スキームを定義できます。ローカル線形離散化の数値実装はすべて、一般的にローカル線形化スキームと呼ばれます。 ${\widetilde {\mathbf {\xi } }}$ $\mathbf {\xi }$ $\mathbf {\phi }$ $\mathbf {y} _{n}$ $\mathbf {z} _{n}$

LLスキーム

\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L} (\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r,} \quad

^[16]^[17]

ここで行列は次のように定義される。 $\mathbf {M} _{n},\quad \mathbf {L} \quad and\quad \mathbf {r}$

$\mathbf {M} _{n}=\left[{\begin{array}{ccc}\mathbf {f} _{\mathbf {x} }\left(\mathbf {y} _{n},\mathbf {\xi } (t_{n})\right)&\mathbf {f} _{\mathbf {\xi } }(\mathbf {y} _{n},\mathbf {\xi } (t_{n})(\mathbf {\xi } (t_{n+1})-\mathbf {\xi } (t_{n}))/h_{n}&\mathbf {f} \left(\mathbf {y} _{n},\mathbf {\xi } (t_{n})\right)\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right]$

$\mathbf {L} =\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {I} &\mathbf {0} _{d\times 2}\end{array}}\right]$ 、p+q>1。RDEの大規模なシステムでは、[ ^17] $\mathbf {r} ^{\intercal }=\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {0} _{1\times (d+1)}&1\end{array}}\right]$

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L\mathbf {k} } _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf {M} _{n},\mathbf {r} ),\quad p+q>1\quad and\quad m_{n}>2.$

両方の方式の収束率はであり、はのホルダー条件の指数です。 $min\{2,2\gamma \}$ $\gamma$ $\mathbf {\xi }$

図3はRDEの位相図を示す。

${\frac {dx_{1}}{dt}}=-x_{2}+\left(1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right)x_{1}\sin(w^{H}(t))^{2},\quad \qquad x_{1}(0)=0.8\qquad (6.2)$

${\frac {dx_{2}}{dt}}=x_{1}+(1-x_{1}^{2}-x_{2}^{2})x_{2}\sin(w^{H}(t))^{2},\qquad \qquad x_{2}(0)=0.1,\qquad (6.3)$

および2つの数値スキームによるその近似。ここではハースト指数H=0.45の分数ブラウン過程を表します。 $w^{H}$

SDE に対する強力な LL 法

d次元の確率微分方程式（SDE）を考える

$d\mathbf {x} (t)=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} (t))dt+\sum \limits _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(t)d\mathbf {w} ^{i}(t),\quad t\in \left[t_{0},T\right],\qquad \qquad \qquad (7.1)$

初期条件はであり、ドリフト係数と拡散係数は微分可能な関数であり、はm次元の標準ウィーナー過程です。 $\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}$ $\mathbf {f}$ $\mathbf {g} _{i}$ $\mathbf {w=(\mathbf {w} } ^{1},\ldots ,\mathbf {w} ^{m}\mathbf {)}$

局所線形離散化

時間離散化に対して、 SDE(7.1)の解の次数(=1,1.5)の強局所線形離散化は、再帰関係^[18]^{[19]によって定義される。} $\left(t\right)_{h}$ $\mathbb {\gamma }$

$\mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } _{\mathbb {\gamma } }(t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n})+\mathbf {\xi } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n}),\quad with\quad \mathbf {z} _{0}=\mathbf {x} _{0},$

どこ

$\mathbf {\phi } _{\mathbb {\gamma } }(t_{n},\mathbf {z} _{n};\delta )=\int _{0}^{\delta }e^{\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {y} _{n})(\delta -u)}(\mathbf {f(} t_{n},\mathbf {z} _{n})+\mathbf {a} ^{\mathbb {\gamma } }(t_{n},\mathbf {z} _{n})u)du$

そして

$\mathbf {\xi } \left(t_{n},\mathbf {z} _{n};\delta \right)=\sum \limits _{i=1}^{m}\int \nolimits _{t_{n}}^{t_{n}+\delta }e^{\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})(t_{n}+\delta -u)}\mathbf {g} _{i}(u)\,d\mathbf {w} ^{i}(u).$

ここ、

$\mathbf {a} ^{\mathbb {\gamma } }(t_{n},\mathbf {z} _{n})=\left\{{\begin{array}{cl}\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {z} _{n})&{\text{for }}\qquad \mathbb {\gamma } =1\\\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {z} _{n})+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{j=1}^{m}(\mathbf {I} \otimes \mathbf {g} _{j}^{\intercal }(t_{n}))\mathbf {f} _{\mathbf {xx} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})\mathbf {g} _{j}(t_{n})&{\text{for }}\quad \mathbb {\gamma } =1.5,\end{array}}\right.$

$\mathbf {f} _{\mathbf {x} },\mathbf {f} _{t}$ はそれぞれ変数およびtに関する偏微分、およびに関するヘッセ行列を表します。強局所線形離散化は次数(= 1, 1.5)で(7.1)の解に収束します。 $\mathbf {f}$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {f} _{\mathbf {xx} }$ $\mathbf {f}$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {z} _{n+1}$ $\mathbb {\gamma }$

高次局所線形離散化

（7.1）のドリフト項をで局所的に線形化した後、残差の式は次のように与えられる。 $(t_{n},\mathbf {z} _{n})$ $\mathbf {r}$

$d\mathbf {r} (t)=\mathbf {q} _{\gamma }(t_{n},\mathbf {z} _{n};t\mathbf {,\mathbf {r} } (t))\,dt+\sum \limits _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(t)\,d\mathbf {w} ^{i}(t)\mathbf {,} \qquad \mathbf {r} (t_{n})=\mathbf {0}$

すべてのに対して、ここで $t\in \lbrack t_{n},t_{n+1}]$

$\mathbf {q} _{\gamma }(t_{n},\mathbf {z} _{n};s\mathbf {,\xi } )=\mathbf {f} (s,\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } _{\gamma }(t_{n},\mathbf {z} _{n};s-t_{n})+\mathbf {\xi } )-\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})\mathbf {\phi } _{\gamma }(t_{n},\mathbf {z} _{n};s-t_{n})-\mathbf {a} ^{\gamma }(t_{n},\mathbf {z} _{n})(s-t_{n})-\mathbf {f} (t_{n},\mathbf {z} _{n}).$

各点におけるSDE (7.1)の高次局所線形離散化は、再帰式^{[20]によって定義される。} $t_{n+1}\in (t)_{h}$

$\mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } _{\gamma }(t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n})+{\widetilde {\mathbf {r} }}(t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n}),\qquad {\text{ with }}\qquad \mathbf {z} _{0}=\mathbf {x} _{0},$

ここで、は1.5以上の残差に対する強い近似である。強いHOLL離散化は、次数とともに(7.1)の解に収束する。 ${\widetilde {\mathbf {r} }}$ $\mathbf {r}$ $\alpha$ $\mathbf {z} _{n+1}$ $\alpha$

ローカル線形化スキーム

計算方法に応じて、さまざまな数値スキームが得られます。任意の順序の強局所線形離散化の数値実装はすべて、一般的に強局所線形化 (SLL) スキームと呼ばれます。 $\mathbf {\phi } _{\mathbb {\gamma } }$ $\mathbf {\xi }$ ${\widetilde {\mathbf {r} }}$ $\mathbf {y} _{n}$ $\mathbf {z} _{n}$

オーダー1 SLLスキーム

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L} (\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r+} \sum \limits _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(t_{n})\Delta \mathbf {w} _{n}^{i},\quad$ ^[21] $\qquad \qquad (7.2)$

ここで、行列、は(4.6)で定義され、分散、p + q > 1のiidゼロ平均ガウス確率変数である。SDE の大規模システムの場合、^[21]は上記のスキームでに置き換えられる。 $\mathbf {M} _{n}$ $\mathbf {L}$ $\mathbf {r}$ $\Delta \mathbf {w} _{n}^{i}$ $h_{n}$ $(\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r}$ $\mathbf {\mathbf {k} } _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf {M} _{n},\mathbf {r} )$

オーダー 1.5 SLL スキーム

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L} (\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r} +\sum \limits _{i=1}^{m}\left(\mathbf {g} _{i}(t_{n})\Delta \mathbf {w} _{n}^{i}\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},{\widetilde {\mathbf {y} }}_{n})\mathbf {g} _{i}(t_{n})\Delta \mathbf {z} _{n}^{i}+{\frac {d\mathbf {g} _{i}(t_{n})}{dt}}(\Delta \mathbf {w} _{n}^{i}h_{n}-\Delta \mathbf {z} _{n}^{i})\right),\qquad \qquad (7.3)$

ここで、行列、およびは次のように定義される。 $\mathbf {M} _{n}$ $\mathbf {L}$ $\mathbf {r}$

$\mathbf {M} _{n}={\begin{bmatrix}\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {y} _{n})&\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {y} _{n})+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{j=1}^{m}\left(\mathbf {I} \otimes \mathbf {g} _{j}^{\intercal }(t_{n})\right)\mathbf {f} _{\mathbf {xx} }(t_{n},\mathbf {y} _{n})\mathbf {g} _{j}(t_{n})&\mathbf {f} (t_{n},\mathbf {y} _{n})\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\in \mathbb {R} ^{(d+2)\times (d+2)},$

$\mathbf {L} =\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {I} &\mathbf {0} _{d\times 2}\end{array}}\right],\mathbf {r} ^{\intercal }=\left[{\begin{array}{ll}\mathbf {0} _{1\times (d+1)}&1\end{array}}\right]$ は、分散と共分散を持ち、p+q>1であるiidゼロ平均ガウス確率変数である^[12]。大規模なSDEシステムの場合、上記のスキームの^[12]はに置き換えられます。 $\Delta \mathbf {z} _{n}^{i}$ $E\left((\Delta \mathbf {z} _{n}^{i})^{2}\right)={\frac {1}{3}}h_{n}^{3}$ $E(\Delta \mathbf {w} _{n}^{i}\Delta \mathbf {z} _{n}^{i})={\frac {1}{2}}h_{n}^{2}$ $(\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r}$ $\mathbf {\mathbf {k} } _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf {M} _{n},\mathbf {r} )$

2次SLL-テイラー方式

$\mathbf {y} _{t_{n+1}}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {L} (\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r} +\sum \limits _{j=1}^{m}\mathbf {g} _{j}\left(t_{n}\right)\Delta \mathbf {w} _{n}^{j}+\sum \limits _{j=1}^{m}\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {y} _{n})\mathbf {g} _{j}\left(t_{n}\right){\widetilde {J}}_{\left(j,0\right)}+\sum \limits _{j=1}^{m}{\frac {d\mathbf {g} _{_{j}}}{dt}}\left(t_{n}\right){\widetilde {J}}_{\left(0,j\right)}$

$\qquad \qquad +\sum \limits _{j_{1},j_{2}=1}^{m}\left(\mathbf {I} \otimes \mathbf {g} _{j_{2}}^{\intercal }\left(t_{n}\right)\right)\mathbf {f} _{\mathbf {xx} }(t_{n},\mathbf {y} _{n})\mathbf {g} _{j_{1}}\left(t_{n}\right){\widetilde {J}}_{\left(j_{1},j_{2},0\right),}\qquad \qquad (7.4)$

ここで、、、は1次SLLスキームと同様に定義され、多重ストラトノビッシュ積分に対する2次近似である。^[20] $\mathbf {M} _{n}$ $\mathbf {L}$ $\mathbf {r}$ $\Delta \mathbf {w} _{n}^{i}$ ${\widetilde {J}}_{\alpha }$ $J_{\alpha }$

2つのSLL-RKスキームを注文する

**図 4、上**: ε=0 および ω=σ=1 の場合の調和振動子 (7.6) の位相平面における領域の発展。初期単位円 (緑) の画像は、厳密解 (黒)、および*h=0.05の場合のSLL1*法(青) と*暗黙的オイラー法*(赤)によって、3 つの時点Tで得られます。下: ε=1 および ω=100 の場合の非線形振動子 (7.6) の解に沿ったエネルギーの期待値 (実線) と、*h=1/2*および*p=q=6の場合のSLL1*法の*10000 回*のシミュレーションでモンテカルロによって計算されたその近似値 (円) 。

単一のウィーナーノイズ（m=1 ）を持つSDEの場合 ^[20]

$\mathbf {y} _{t_{n+1}}=\mathbf {y} _{n}+{\widetilde {\mathbf {\phi } }}(t_{n},\mathbf {y} _{n};h_{n})+{\frac {h_{n}}{2}}\left(\mathbf {k} _{1}+\mathbf {k} _{2}\right)+\mathbf {g} \left(t_{n}\right)\Delta w_{n}+{\frac {\left(\mathbf {g} \left(t_{n+1}\right)-\mathbf {g} \left(t_{n}\right)\right)}{h_{n}}}J_{\left(0,1\right)}\quad (7.5)$

$\quad \quad \quad$

どこ

\mathbf {k} _{1}=\mathbf {f} (t_{n}+{\frac {h_{n}}{2}},\mathbf {y} _{n}+{\widetilde {\mathbf {\phi } }}(t_{n},\mathbf {y} _{n};{\frac {h_{n}}{2}})+\gamma _{+})-\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {y} _{n}){\widetilde {\mathbf {\phi } }}(t_{n},\mathbf {y} _{n};{\frac {h_{n}}{2}})-\mathbf {f} \left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right)-\mathbf {f} _{t}\left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right){\frac {h_{n}}{2}},

\mathbf {k} _{2}=\mathbf {f} (t_{n}+{\frac {h_{n}}{2}},\mathbf {y} _{n}+{\widetilde {\mathbf {\phi } }}(t_{n},\mathbf {y} _{n};{\frac {h_{n}}{2}})+\gamma _{-})-\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {y} _{n}){\widetilde {\mathbf {\phi } }}(t_{n},\mathbf {y} _{n};{\frac {h_{n}}{2}})-\mathbf {f} \left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right)-\mathbf {f} _{t}\left(t_{n},\mathbf {y} _{n}\right){\frac {h_{n}}{2}},

と。 $\gamma _{\pm }={\frac {1}{h_{n}}}\mathbf {g} \left(t_{n}\right){\Bigl (}{\widetilde {J}}_{\left(1,0\right)}\pm {\sqrt {2{\widetilde {J}}_{\left(1,1,0\right)}h_{n}-{\widetilde {J}}_{\left(1,0\right)}^{2}}}{\Bigr )}$

ここで、低次元のSDE、および大規模なSDEシステムの場合、、、、およびは、次数2のSLL-テイラー方式で定義され、 p+q>1およびとなります。 ${\widetilde {\mathbf {\phi } }}(t_{n},\mathbf {y} _{n};h_{n})=\mathbf {L} (\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}\mathbf {M} _{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}\mathbf {r}$ ${\widetilde {\mathbf {\phi } }}(t_{n},\mathbf {y} _{n};h_{n})=\mathbf {L\mathbf {k} } _{m_{n},k_{n}}^{p,q}(h_{n},\mathbf {M} _{n},\mathbf {r} )$ $\mathbf {M} _{n}$ $\mathbf {L}$ $\mathbf {r}$ $\Delta \mathbf {w} _{n}^{i}$ ${\widetilde {J}}_{\alpha }$ $m_{n}>2$

安定性とダイナミクス

構造上、強い LL および HOLL 離散化は線形 SDE の安定性とダイナミクスを継承しますが、これは一般に強い LL スキームに当てはまるわけではありません。を伴う LL スキーム (7.2)-(7.5) はA安定であり、硬い高度に振動する線形方程式を含みます。^[12]さらに、ランダムアトラクターを持つ線形 SDE の場合、これらのスキームには、ステップサイズが減少するにつれて確率的に正確な 1 に収束し、任意のステップサイズに対してこれらの方程式のエルゴード性を維持するランダムアトラクターもあります。^[20]^[12]これらのスキームは、パスに沿ったエネルギーの線形成長、0 の周りの振動動作、ハミルトン振動子のシンプレクティック構造、パスの平均など、単純および結合された調和振動子の重要な動的特性も再現します。^[20]^[22]ノイズの小さい非線形SDE（すなわち、（7.1）で）の場合、これらのSLLスキームのパスは、基本的に、常微分方程式のLLスキーム（4.6）の非ランダムパスに、ノイズの小さい外乱を加えたものになります。この状況では、その決定論的スキームの動的特性、例えば、線形化の保存や、双曲平衡点と周期軌道の周りの正確な解のダイナミクスの保存が、SLLスキームのパスに関係するようになります。^[20]たとえば、図4は、位相平面におけるドメインの発展と、確率振動子のエネルギーを示しています。 $p\leq q\leq p+2$ $\mathbf {g} _{i}(t)\approx 0$

${\begin{array}{ll}dx(t)=y(t)dt,&x_{1}(0)=0.01\\dy(t)=-(\omega ^{2}x(t)+\epsilon x^{4}(t))dt+\sigma dw_{t},&x_{1}(0)=0.1,\end{array}}\qquad \qquad (7.6)$

および 2 つの数値スキームによる近似値。

SDE に対する弱 LL 法

d次元確率微分方程式を考える

$d\mathbf {x} (t)=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} (t))dt+\sum \limits _{i=1}^{m}\mathbf {g} _{i}(t)d\mathbf {w} ^{i}(t),\qquad t\in \left[t_{0},T\right],\qquad \qquad (8.1)$

初期条件はであり、ドリフト係数と拡散係数は微分可能な関数であり、はm次元の標準ウィーナー過程です。 $\mathbf {x} (t_{0})=\mathbf {x} _{0}$ $\mathbf {f}$ $\mathbf {g} _{i}$ $\mathbf {w=(\mathbf {w} } ^{1},\ldots ,\mathbf {w} ^{m}\mathbf {)}$

局所線形離散化

時間離散化の場合、 SDE（8.1）の解の次数-弱局所線形離散化は、再帰関係^{[23]によって定義されます。} $\left(t\right)_{h}$ $\mathbb {\beta }$ $(=1,2)$

$\mathbf {z} _{n+1}=\mathbf {z} _{n}+\mathbf {\phi } _{\mathbb {\beta } }(t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n})+\mathbf {\eta } (t_{n},\mathbf {z} _{n};h_{n}),\quad with\quad \mathbf {z} _{0}=\mathbf {x} _{0},$

どこ

$\mathbf {\phi } _{\mathbb {\beta } }(t_{n},\mathbf {z} _{n};\delta )=\int _{0}^{\delta }e^{\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})(\delta -u)}(\mathbf {f(} t_{n},\mathbf {z} _{n})+\mathbf {b} ^{\mathbb {\beta } }(t_{n},\mathbf {z} _{n})u)du$

と

$\mathbf {b} ^{\mathbb {\beta } }(t_{n},\mathbf {z} _{n})={\begin{cases}\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {z} _{n})&{\text{for }}\mathbb {\beta } =1\\\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {z} _{n})+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{j=1}^{m}\left(\mathbf {I} \otimes \mathbf {g} _{j}^{\intercal }\left(t_{n}\right)\right)\mathbf {f} _{\mathbf {xx} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})\mathbf {g} _{j}\left(t_{n}\right)&{\text{for }}\mathbb {\beta } =2,\end{cases}}$

分散行列を持つゼロ平均確率過程である $\mathbf {\eta } (t_{n},\mathbf {z} _{n};\delta )$

$\mathbf {\Sigma } (t_{n},\mathbf {z} _{n};\delta )=\int \limits _{0}^{\delta }e^{\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {z} _{n})(\delta -s)}\mathbf {G} (t_{n}+s)\mathbf {G} ^{\intercal }(t_{n}+s)e^{\mathbf {f} _{\mathbf {x} }^{\intercal }(t_{n},\mathbf {z} _{n})(\delta -s)}ds.$

ここで、、はそれぞれ変数およびtに関するの偏微分、およびに関するのヘッセ行列を表す。弱局所線形離散化は次数(=1,2) で (8.1) の解に収束する。 $\mathbf {f} _{\mathbf {x} }$ $\mathbf {f} _{t}$ $\mathbf {f}$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {f} _{\mathbf {xx} }$ $\mathbf {f}$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {G} (t)=[\mathbf {g} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {g} _{m}(t)]$ $\mathbf {z} _{n+1}$ $\mathbb {\beta }$

ローカル線形化スキーム

計算方法に応じて、さまざまな数値スキームが得られます。弱局所線形離散化のすべての数値実装は、一般的に弱局所線形化 (WLL) スキームと呼ばれます。 $\mathbf {\phi } _{\mathbb {\beta } }$ $\mathbf {\Sigma }$ $\mathbf {y} _{n}$ $\mathbf {z} _{n}$

注文1 WLLスキーム

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {B} _{14}+(\mathbf {B} _{12}\mathbf {B} _{11}^{\intercal })^{1/2}\mathbf {\xi } _{n}$ ^[24]^[25]

ここで、自律拡散係数を持つSDEの場合、、およびは、分割行列によって定義される部分行列であり、 $\mathbf {B} _{11}$ $\mathbf {B} _{12}$ $\mathbf {B} _{14}$ $\mathbf {B} =\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}{\mathcal {M}}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}$

${\mathcal {M}}_{n}=\left[{\begin{array}{cccc}\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {y} _{n})&\mathbf {GG} ^{\intercal }&\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {y} _{n})&\mathbf {f} (t_{n},\mathbf {y} _{n})\\\mathbf {0} &-\mathbf {f} _{\mathbf {x} }^{\intercal }(t_{n},\mathbf {y} _{n})&\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &0&1\\\mathbf {0} &\mathbf {0} &0&0\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{(2d+2)\times (2d+2)},$

は、を満たすd次元の独立した2点分布ランダムベクトルのシーケンスです。 $\{\mathbf {\xi } _{n}\}$ $P(\xi _{n}^{k}=\pm 1)={\frac {1}{2}}$

オーダー2 WLLスキーム

$\mathbf {y} _{n+1}=\mathbf {y} _{n}+\mathbf {B} _{16}+(\mathbf {B} _{14}\mathbf {B} _{11}^{\intercal })^{1/2}\mathbf {\xi } _{n},$ ^[24]^[25]

ここで、、およびは、次の分割行列によって定義される部分行列である。 $\mathbf {B} _{11}$ $\mathbf {B} _{14}$ $\mathbf {B} _{16}$ $\mathbf {B} =\mathbf {P} _{p,q}(2^{-k_{n}}{\mathcal {M}}_{n}h_{n}))^{2^{k_{n}}}$

${\mathcal {M}}_{n}=\left[{\begin{array}{cccccc}\mathbf {J} &\mathbf {H} _{2}&\mathbf {H} _{1}&\mathbf {H} _{0}&\mathbf {a} _{2}&\mathbf {a} _{1}\\\mathbf {0} &-\mathbf {J} ^{\intercal }&\mathbf {I} &\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &-\mathbf {J} ^{\intercal }&\mathbf {I} &\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {0} &-\mathbf {J} ^{\intercal }&\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {0} &0&1\\\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {0} &\mathbf {0} &0&0\end{array}}\right]\in \mathbb {R} ^{(4d+2)\times (4d+2)},$

$\mathbf {J} =\mathbf {f} _{\mathbf {x} }(t_{n},\mathbf {y} _{n})\qquad \mathbf {a} _{1}=\mathbf {f} (t_{n},\mathbf {y} _{n})\qquad \mathbf {a} _{2}=\mathbf {f} _{t}(t_{n},\mathbf {y} _{n})+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{m}(\mathbf {I} \otimes (\mathbf {g} ^{i}(t_{n}))^{\intercal })\mathbf {f} _{\mathbf {xx} }(t_{n},\mathbf {y} _{n})\mathbf {g} ^{i}(t_{n})$

そして

$\mathbf {H} _{0}=\mathbf {G} (t_{n})\mathbf {G} ^{\intercal }(t_{n})\qquad \mathbf {H} _{1}=\mathbf {G} (t_{n}){\frac {d\mathbf {G} ^{\intercal }(t_{n})}{dt}}+{\frac {d\mathbf {G} (t_{n})}{dt}}\mathbf {G} ^{\intercal }(t_{n})\qquad \mathbf {H} _{2}={\frac {d\mathbf {G} (t_{n})}{dt}}{\frac {d\mathbf {G} ^{\intercal }(t_{n})}{dt}}{\text{.}}$

安定性とダイナミクス

構造上、弱 LL 離散化は線形 SDE の安定性とダイナミクスを継承しますが、これは一般に弱 LL スキームに当てはまるわけではありません。を伴う WLL スキームは、線形 SDE の最初の 2 つのモーメントを保存し、そのようなソリューションが持つ可能性のある平均二乗安定性または不安定性を継承します。^[24]これには、たとえば、ランダムな力によって駆動される結合調和振動子の方程式や、線形確率偏微分方程式の直線法から得られるスティフな線形 SDE の大規模なシステムが含まれます。さらに、これらの WLL スキームは、線形方程式のエルゴード性を保存し、いくつかのクラスの非線形 SDE に対して幾何学的にエルゴードです。 ^[26]ノイズが小さい非線形 SDE (つまり、を伴う (8.1)) の場合、これらの WLL スキームの解は、基本的に ODE の LL スキーム (4.6) の非ランダムパスに、小さなノイズに関連する小さな外乱を加えたものになります。このような状況では、線形化の保存や双曲平衡点や周期軌道の周りの正確な解のダイナミクスの保存など、その決定論的スキームの動的特性がWLLスキームの平均に関係するようになる。^[24]例えば、図5はSDEのおおよその平均を示している。 $p\leq q\leq p+2,$ $\mathbf {g} _{i}(t)\approx 0$

$dx=-t^{2}x{\text{ }}dt+{\frac {3}{2(t+1)}}e^{-t^{3}/3}{\text{ }}dw_{t},\qquad \qquad x(0)=1,\qquad \quad (8.2)$

さまざまなスキームによって計算されます。

歴史的記録

以下は、ローカル線形化 (LL) メソッドの主な開発のタイムラインです。

Pope DA（1963）は、常微分方程式のLL離散化とテイラー展開に基づくLLスキームを導入した。^[2]
尾崎孝太郎（1985）はSDEの積分と推定のためのLL法を紹介した。「局所線形化」という用語が初めて使用された。^[27]
Biscay R. et al. (1996)はSDEに対する強LL法を再定式化した。^[19]
Shoji I.とOzaki T. (1997)はSDEに対する弱LL法を再定式化した。^[23]
Hochbruck M. et al. (1998)は、クリロフ部分空間近似に基づく常微分方程式のLLスキームを導入した。^[3]
Jimenez JC (2002)は、有理パデ近似に基づく常微分方程式と定常微分方程式のLLスキームを導入した。^[21]
Carbonell FMら(2005)はRDEに対するLL法を紹介した。^[16]
Jimenez JC et al. (2006)はDDEのためのLL法を紹介した。^[11]
De la Cruz H. et al. (2006, 2007) と Tokman M. (2006) は、常微分方程式のHOLL積分器の2つのクラス、積分器ベース^[6]と求積ベース^[7]^{[5]を導入しました。}
De la Cruz H. et al. (2010) SDE に強力な HOLL メソッドを導入しました。^[20]

参考文献

^ abcd Jimenez JC (2009). 「常微分方程式の数値積分のための局所線形化法：概要」. ICTP 技術レポート. 035: 357–373.
^ ab Pope, DA (1963). 「常微分方程式の数値積分の指数法」. Comm. ACM, 6(8), 491-493. doi:10.1145/366707.367592.
^ abc Hochbruck, M., Lubich, C., & Selhofer, H. (1998). 「大規模な微分方程式系のための指数積分器」 SIAM J. Scient. Comput. 19(5), 1552-1574. doi:10.1137/S1064827595295337.
^ abcdefgh de la Cruz H.; Biscay RJ; Jimenez JC; Carbonell F. (2013). 「局所線形化 - ルンゲ・クッタ法: 動的システムのための A 安定明示的積分器のクラス」. Math. Comput. Modelling. 57 (3–4): 720–740. doi:10.1016/j.mcm.2012.08.011.
^ abcdefgh de la Cruz H.; Biscay RJ; Carbonell F.; Ozaki T.; Jimenez JC (2007). 「常微分方程式を解くための高次局所線形化法」. Appl. Math. Comput. 185: 197–212. doi:10.1016/j.amc.2006.06.096.
^ abcde de la Cruz H.; Biscay RJ; Carbonell F.; Jimenez JC; Ozaki T. (2006). 「常微分方程式を解くための局所線形化-ルンゲ・クッタ法 (LLRK)」. Lecture Note in Computer Sciences 3991: 132–139, Springer-Verlag. doi:10.1007/11758501 22. ISBN 978-3-540-34379-0 .
^ ab Tokman M. (2006). 「指数伝播反復法 (EPI) による大規模で硬い常微分方程式の効率的な積分」 J. Comput. Physics. 213 (2): 748–776. doi:10.1016/j.jcp.2005.08.032.
^ M. Hochbruck.; A. Ostermann. (2011). 「アダムス型の指数的多段階法」 BIT Numer. Math. 51 (4): 889–908. doi:10.1007/s10543-011-0332-6.
^ abcde Jimenez, JC, Carbonell, F. (2005). 「初期値問題に対する局所線形化スキームの収束率」. Appl. Math. Comput., 171(2), 1282-1295. doi:10.1016/j.amc.2005.01.118.
^ Carbonell F.、Jimenez JC、Pedroso LM (2008)。「行列指数関数を含む多重積分の計算」。J. Comput. Appl. Math. 213: 300–305. doi:10.1016/j.cam.2007.01.007。
^ abcd Jimenez JC; Pedroso L.; Carbonell F.; Hernandez V. (2006). 「遅延微分方程式の数値積分のための局所線形化法」 SIAM J. Numer. Analysis. 44 (6): 2584–2609. doi:10.1137/040607356.
^ abcdef Jimenez JC; de la Cruz H. (2012). 「加法ノイズを伴う確率微分方程式の強力な局所線形化スキームの収束率」 BIT Numer. Math. 52 (2): 357–382. doi:10.1007/s10543-011-0360-2.
^ abc Jimenez JC; Biscay R.; Mora C.; Rodriguez LM (2002). 「初期値問題に対する局所線形化法の動的特性」. Appl. Math. Comput. 126: 63–68. doi:10.1016/S0096-3003(00)00100-4.
^ Jimenez JC; Sotolongo A.; Sanchez-Bornot JM (2014). 「Dormand と Prince の局所線形化ルンゲ・クッタ法」. Appl. Math. Comput. 247: 589–606. doi:10.1016/j.amc.2014.09.001.
^ Naranjo-Noda、Jimenez JC (2021)「初期値問題の大規模システムに対するDormandとPrinceの局所線形化Runge_Kutta法」J.Comput. Physics. 426: 109946. doi:10.1016/j.jcp.2020.109946.
^ abc Carbonell, F., Jimenez, JC, Biscay, RJ, & De La Cruz, H. (2005). 「ランダム微分方程式の数値積分のための局所線形化法」 BIT Num. Math. 45(1), 1-14. doi:10.1007/S10543-005-2645-9.
^ ab Jimenez JC; Carbonell F. (2009). 「ランダム微分方程式の局所線形化スキームの収束率」 BIT Numer. Math. 49 (2): 357–373. doi:10.1007/s10543-009-0225-0.
^ Jimenez JC、Shoji I.、Ozaki T. (1999)「局所線形化法による確率微分方程式のシミュレーション。比較研究」。J. Statist. Physics. 99: 587-602、doi:10.1023/A:1004504506041。
^ ab Biscay, R., Jimenez, JC, Riera, JJ, & Valdes, PA (1996). 「確率微分方程式の数値解のための局所線形化法」 Annals Inst. Statis. Math. 48(4), 631-644. doi:10.1007/BF00052324.
^ abcdefg de la Cruz H.; Biscay RJ; Jimenez JC; Carbonell F.; Ozaki T. (2010). 「高次局所線形化法: 加法ノイズを伴う確率微分方程式の A 安定高次明示的スキームを構築するためのアプローチ」 BIT Numer. Math. 50 (3): 509–539. doi:10.1007/s10543-010-0272-6.
^ abc Jimenez, JC (2002). 「確率微分方程式の局所線形化スキームを評価するための簡単な代数式」. Appl. Math. Letters, 15(6), 775-780. doi:10.1016/S0893-9659(02)00041-1.
^ de la Cruz H.; Jimenez JC; Zubelli JP (2017). 「ランダムな力によって駆動される確率振動子のシミュレーションのための局所線形化法」 BIT Numer. Math. 57: 123–151. doi:10.1007/s10543-016-0620-2.
^ ab Shoji, I., & Ozaki, T. (1997). 「連続時間確率過程の推定法の比較研究」 J. Time Series Anal. 18(5), 485-506. doi:10.1111/1467-9892.00064.
^ abcd Jimenez JC; Carbonell F. (2015). 「加法ノイズを伴う確率微分方程式の弱局所線形化スキームの収束率」 J. Comput. Appl. Math. 279: 106–122. doi:10.1016/j.cam.2014.10.021.
^ ab Carbonell F.; Jimenez JC; Biscay RJ (2006). 「確率微分方程式の弱い局所線形離散化: 収束と数値スキーム」 J. Comput. Appl. Math. 197: 578–596. doi:10.1016/j.cam.2005.11.032.
^ Hansen NR (2003)「多変量拡散に対する離散時間近似の幾何学的エルゴード性」Bernoulli. 9:725-743, doi:10.3150/bj/1066223276.
^ 尾崎, T. (1985). 「非線形時系列モデルと動的システム」統計ハンドブック, 5, 25-83. doi:10.1016/S0169-7161(85)05004-0.

[:8-1] Jimenez JC (2009). 「常微分方程式の数値積分のための局所線形化法：概要」. ICTP 技術レポート. 035: 357–373.

[:18-2] Pope, DA (1963). 「常微分方程式の数値積分の指数法」. Comm. ACM, 6(8), 491-493. doi:10.1145/366707.367592.

[:22-3] Hochbruck, M., Lubich, C., & Selhofer, H. (1998). 「大規模な微分方程式系のための指数積分器」 SIAM J. Scient. Comput. 19(5), 1552-1574. doi:10.1137/S1064827595295337.

[:3-4] Cruz H.; Biscay RJ; Jimenez JC; Carbonell F. (2013). 「局所線形化 - ルンゲ・クッタ法: 動的システムのための A 安定明示的積分器のクラス」. Math. Comput. Modelling. 57 (3–4): 720–740. doi:10.1016/j.mcm.2012.08.011.

[:2-5] Cruz H.; Biscay RJ; Carbonell F.; Ozaki T.; Jimenez JC (2007). 「常微分方程式を解くための高次局所線形化法」. Appl. Math. Comput. 185: 197–212. doi:10.1016/j.amc.2006.06.096.

[:1-6] Cruz H.; Biscay RJ; Carbonell F.; Jimenez JC; Ozaki T. (2006). 「常微分方程式を解くための局所線形化-ルンゲ・クッタ法 (LLRK)」. Lecture Note in Computer Sciences 3991: 132–139, Springer-Verlag. doi:10.1007/11758501 22. ISBN 978-3-540-34379-0 .

[:17-7] Tokman M. (2006). 「指数伝播反復法 (EPI) による大規模で硬い常微分方程式の効率的な積分」 J. Comput. Physics. 213 (2): 748–776. doi:10.1016/j.jcp.2005.08.032.

[:7-8] M. Hochbruck.; A. Ostermann. (2011). 「アダムス型の指数的多段階法」 BIT Numer. Math. 51 (4): 889–908. doi:10.1007/s10543-011-0332-6.

[:25-9] Jimenez, JC, Carbonell, F. (2005). 「初期値問題に対する局所線形化スキームの収束率」. Appl. Math. Comput., 171(2), 1282-1295. doi:10.1016/j.amc.2005.01.118.

[10] Carbonell F.、Jimenez JC、Pedroso LM (2008)。「行列指数関数を含む多重積分の計算」。J. Comput. Appl. Math. 213: 300–305. doi:10.1016/j.cam.2007.01.007。

[:13-11] Jimenez JC; Pedroso L.; Carbonell F.; Hernandez V. (2006). 「遅延微分方程式の数値積分のための局所線形化法」 SIAM J. Numer. Analysis. 44 (6): 2584–2609. doi:10.1137/040607356.

[:12-12] Jimenez JC; de la Cruz H. (2012). 「加法ノイズを伴う確率微分方程式の強力な局所線形化スキームの収束率」 BIT Numer. Math. 52 (2): 357–382. doi:10.1007/s10543-011-0360-2.

[:9-13] Jimenez JC; Biscay R.; Mora C.; Rodriguez LM (2002). 「初期値問題に対する局所線形化法の動的特性」. Appl. Math. Comput. 126: 63–68. doi:10.1016/S0096-3003(00)00100-4.

[:15-14] Jimenez JC; Sotolongo A.; Sanchez-Bornot JM (2014). 「Dormand と Prince の局所線形化ルンゲ・クッタ法」. Appl. Math. Comput. 247: 589–606. doi:10.1016/j.amc.2014.09.001.

[:16-15] Naranjo-Noda、Jimenez JC (2021)「初期値問題の大規模システムに対するDormandとPrinceの局所線形化Runge_Kutta法」J.Comput. Physics. 426: 109946. doi:10.1016/j.jcp.2020.109946.

[:24-16] Carbonell, F., Jimenez, JC, Biscay, RJ, & De La Cruz, H. (2005). 「ランダム微分方程式の数値積分のための局所線形化法」 BIT Num. Math. 45(1), 1-14. doi:10.1007/S10543-005-2645-9.

[:10-17] Jimenez JC; Carbonell F. (2009). 「ランダム微分方程式の局所線形化スキームの収束率」 BIT Numer. Math. 49 (2): 357–373. doi:10.1007/s10543-009-0225-0.

[:14-18] Jimenez JC、Shoji I.、Ozaki T. (1999)「局所線形化法による確率微分方程式のシミュレーション。比較研究」。J. Statist. Physics. 99: 587-602、doi:10.1023/A:1004504506041。

[:20-19] Biscay, R., Jimenez, JC, Riera, JJ, & Valdes, PA (1996). 「確率微分方程式の数値解のための局所線形化法」 Annals Inst. Statis. Math. 48(4), 631-644. doi:10.1007/BF00052324.

[:4-20] Cruz H.; Biscay RJ; Jimenez JC; Carbonell F.; Ozaki T. (2010). 「高次局所線形化法: 加法ノイズを伴う確率微分方程式の A 安定高次明示的スキームを構築するためのアプローチ」 BIT Numer. Math. 50 (3): 509–539. doi:10.1007/s10543-010-0272-6.

[:23-21] Jimenez, JC (2002). 「確率微分方程式の局所線形化スキームを評価するための簡単な代数式」. Appl. Math. Letters, 15(6), 775-780. doi:10.1016/S0893-9659(02)00041-1.

[:5-22] Cruz H.; Jimenez JC; Zubelli JP (2017). 「ランダムな力によって駆動される確率振動子のシミュレーションのための局所線形化法」 BIT Numer. Math. 57: 123–151. doi:10.1007/s10543-016-0620-2.

[:21-23] Shoji, I., & Ozaki, T. (1997). 「連続時間確率過程の推定法の比較研究」 J. Time Series Anal. 18(5), 485-506. doi:10.1111/1467-9892.00064.

[:11-24] Jimenez JC; Carbonell F. (2015). 「加法ノイズを伴う確率微分方程式の弱局所線形化スキームの収束率」 J. Comput. Appl. Math. 279: 106–122. doi:10.1016/j.cam.2014.10.021.

[:0-25] Carbonell F.; Jimenez JC; Biscay RJ (2006). 「確率微分方程式の弱い局所線形離散化: 収束と数値スキーム」 J. Comput. Appl. Math. 197: 578–596. doi:10.1016/j.cam.2005.11.032.

[:6-26] Hansen NR (2003)「多変量拡散に対する離散時間近似の幾何学的エルゴード性」Bernoulli. 9:725-743, doi:10.3150/bj/1066223276.

[:19-27] 尾崎, T. (1985). 「非線形時系列モデルと動的システム」統計ハンドブック, 5, 25-83. doi:10.1016/S0169-7161(85)05004-0.