関数方程式

数学において、関数方程式 ^{[1] [2] [無関係な引用]}は、最も広い意味では、1つまたは複数の関数が未知数として現れる方程式です。したがって、微分方程式と積分方程式は関数方程式です。ただし、より限定された意味が使用されることが多く、関数方程式は同じ関数の複数の値を関連付ける方程式です。たとえば、対数関数は基本的に対数関数方程式によって特徴付けられます。 ${\displaystyle \log(xy)=\log(x)+\log(y).}$

未知関数の定義域が自然数であると仮定すると、関数は一般に数列 とみなされ、この場合、関数方程式（狭義の意味）は再帰関係と呼ばれます。したがって、関数方程式という用語は、主に実関数と複素関数に対して使用されます。さらに、解に対して滑らかさの条件が想定されることがよくあります。これは、そのような条件がなければ、ほとんどの関数方程式が非常に不規則な解を持つためです。たとえば、 ガンマ関数は、関数方程式と初期値を満たす関数です。これらの条件を満たす関数は多数ありますが、ガンマ関数は、複素平面全体で有理型であり、x が実数かつ正であるときに対数的に凸である唯一の関数です（ボーア・モレルプの定理）。 ${\displaystyle f(x+1)=xf(x)}$${\displaystyle f(1)=1.}$

• 再帰関係は、整数または自然数上の関数の関数方程式として見ることができ、項のインデックス間の差はシフト演算子の適用として見ることができます。たとえば、フィボナッチ数列、を定義する再帰関係、および${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$${\displaystyle F_{0}=0}$${\displaystyle F_{1}=1}$

• ${\displaystyle f(x+P)=f(x)}$、これは周期関数を特徴づける

• ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$は偶関数を特徴づけ、同様には奇関数を特徴づける。${\displaystyle f(x)=-f(-x)}$

• ${\displaystyle f(f(x))=g(x)}$関数gの関数平方根を特徴付ける。

• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!}$（コーシーの関数方程式）は、線型写像によって満たされる。方程式は、選択公理に依存して、他の病的な非線型解を持つこともあり、その存在は実数に対するハメル基底によって証明できる。
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y),\,\!}$すべての指数関数が満たす。コーシーの加法関数方程式と同様に、これも病的な不連続解を持つ可能性がある。
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)\,\!}$、すべての対数関数と、互いに素な整数引数上の加法関数が満たす。
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)\,\!}$、すべてのべき乗関数と互いに素な整数引数上の乗法関数が満たす。
• ${\displaystyle f(x+y)+f(xy)=2[f(x)+f(y)]\,\!}$（二次方程式または平行四辺形の法則）
• ${\displaystyle f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!}$（ジェンセンの関数方程式）
• ${\displaystyle g(x+y)+g(xy)=2[g(x)g(y)]\,\!}$（ダランベールの関数方程式）
• ${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)\,\!}$（アーベル方程式）
• ${\displaystyle f(h(x))=cf(x)\,\!}$（シュレーダー方程式）。
• ${\displaystyle f(h(x))=(f(x))^{c}\,\!}$（ベッチャーの方程式）。
• ${\displaystyle f(h(x))=h'(x)f(x)\,\!}$（ジュリアの方程式）。
• ${\displaystyle f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)\,\!}$(レヴィ＝チヴィタ)
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!}$（正弦加法公式と双曲線正弦加法公式）、
• ${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!}$（余弦の加算式）、
• ${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)+f(y)f(x)\,\!}$（双曲余弦の加算公式）。
• 交換法則と結合法則は関数方程式です。よく知られている形式では、結合法則は二項演算を中置記法で記述することで表現されますが、a ○ bの代わりにf ( a ,  b )と記述すると、結合法則は従来の関数方程式のように見えます。$${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)~,}$$$${\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).\,\!}$$

• ここで証明されているように、関数方程式はリーマンゼータ関数によって満たされます。大文字のΓ はガンマ関数を表します。$${\displaystyle f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)}$$

• ガンマ関数は、次の3つの方程式の唯一の解である。^[要出典]
  • ${\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x}}$
  • ${\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)}$
  • ${\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}}$          （オイラーの 反射公式）
• a、b、c、dが、すなわち= 1 を満たす整数である関数方程式は、f をk次数のモジュラー形式として定義します。$${\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$$${\displaystyle ad-bc=1}$${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}$

上記のすべての例に共通する特徴は、それぞれの場合において、2 つ以上の既知の関数 (定数による乗算、2 つの変数の加算、恒等関数など) が、解くべき未知の関数の引数内にあることです。

すべての解を求めるとなると、数学的解析からの条件を適用すべきである場合がある。例えば、上述のコーシー方程式の場合、連続関数である解は「合理的な」解であるが、実用的応用の可能性が低い他の解は構築できる（有理数上のベクトル空間としての実数のハメル基底を使用することによって）。ボーア・モレルプ定理は別のよく知られた例である。

反転は関数方程式によって特徴付けられる。これはバベッジの関数方程式（1820）^[3]に現れる。${\displaystyle f(f(x))=x}$

${\displaystyle f(f(x))=1-(1-x)=x\,.}$

その他の反転や方程式の解としては、

• ${\displaystyle f(x)=ax\,,}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {a}{x}}\,,}$そして
• ${\displaystyle f(x)={\frac {bx}{1+cx}}~,}$

これには、前の 3 つが特別なケースまたは制限として含まれます。

基本的な関数方程式を解く方法の 1 つは置換法です。^{[引用が必要]}

関数方程式のいくつかの解法では、全射性、単射性、奇数性、偶数性を利用している。^[要出典]

いくつかの関数方程式は、仮説や数学的帰納法を用いて解かれてきた。^[要出典]

いくつかのクラスの関数方程式はコンピュータ支援技術によって解くことができる。^{[曖昧] [4]}

動的計画法では、ベルマンの関数方程式を解くために、固定小数点反復に基づく方法を含むさまざまな逐次近似法^{[5] [6]}が使用されます。

• 関数方程式（L関数）
• ベルマン方程式
• 動的プログラミング
• 暗黙的な関数
• 関数微分方程式

• János Aczél、「Lectures on Functional Equations and Their Applications」、Academic Press、1966年、Dover Publicationsにより再版、ISBN 0486445232。 
• János Aczél & J. Dhombres, Functional Equations in Several Variables、Cambridge University Press、1989年。
• C. Efthimiou、「Introduction to Functional Equations」、AMS、2011、ISBN 978-0-8218-5314-6  、オンライン。 
• Pl. Kannappan、「Functional Equations and Inequals with Applications」、Springer、2009年。
• Marek Kuczma、『関数方程式と不等式の理論入門』、第 2 版、Birkhäuser、2009 年。
• Henrik Stetkær、「群に関する関数方程式」、初版、World Scientific Publishing、2013 年。
• クリストファー・G・スモール（2007年4月3日）。関数方程式とその解き方。Springer Science & Business Media。ISBN 978-0-387-48901-8。

• 関数方程式: EqWorld の正確な解: 数学方程式の世界。
• 関数方程式: EqWorld: 数式の世界のインデックス。
• 問題解決における関数方程式に関する IMO 大要テキスト (アーカイブ)。