ファクタリオン

数論において、与えられた基数における因数分解とは、その桁の階乗の和に等しい自然数である。^{[1] [2] [3]因数分解という名前は、作家}クリフォード・A・ピックオーバーによって造られた。^[4] ${\displaystyle b}$

を自然数とする。 を底として、 、の桁^{[5] [6]}の階乗の和を次のように 定義する。${\displaystyle n}$${\displaystyle b>1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$

${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!.}$

ここで はを底とする数の桁数、はの階乗であり、 ${\displaystyle k=\lfloor \log _{b}n\rfloor +1}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}}$

は数の 番目の桁の値です。自然数がの不動点である場合、つまり である場合、その自然数は-因数分解です。^[7]および はすべての底 に対して不動点であるため、すべての に対して自明な因数分解であり、他のすべての因数分解は非自明な因数分解です。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}(n)=n}$ ${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b}$

たとえば、基数 145 は因数分解です。 ${\displaystyle b=10}$${\displaystyle 145=1!+4!+5!}$

については、 なので、桁の階乗の合計は単に2 進表現の桁数になります。 ${\displaystyle b=2}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 0!=1!=1}$

自然数がに対して周期点である場合、その自然数は社交的因子である。ここで、 は正の整数に対して、 は周期 のサイクルを形成する。因子は に対して社交的因子であり、友好的因子はに対して社交的因子である。^{[8] [9]}${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}^{k}(n)=n}$ ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k=2}$

すべての自然数は、底に関係なく、 について前周期点です。これは、 の桁を持つ底のすべての自然数が を満たすためです。しかし、 のとき、 についてとなるので、まで任意の がを満たします。 未満の自然数は有限個存在するので、 は 未満の周期点または固定点に到達することが保証され、前周期点となります。 については、任意の数の桁数であり、これも前周期点となります。これは、任意の底 について、因数分解と周期の数が有限個存在することも意味します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle k}$${\displaystyle b^{k-1}\leq n\leq (b-1)!(k)}$${\displaystyle k\geq b}$${\displaystyle b^{k-1}>(b-1)!(k)}$${\displaystyle b>2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n>\operatorname {SFD} _{b}(n)}$${\displaystyle n<b^{b}}$${\displaystyle b^{b}}$${\displaystyle b^{b}}$${\displaystyle b=2}$${\displaystyle k\leq n}$${\displaystyle b}$

固定点に到達するために必要な反復回数は関数の持続性であり、固定点に到達しない場合は未定義になります。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}^{i}(n)}$${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$${\displaystyle n}$

を正の整数、数を底とする。すると、次の ようになります。${\displaystyle k}$${\displaystyle b=(k-1)!}$

• ${\displaystyle n_{1}=kb+1}$はすべての${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$${\displaystyle k.}$

• ${\displaystyle n_{2}=kb+2}$はすべての に対しての因数分解です。${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$${\displaystyle k}$

を正の整数、数を底とする。すると、次の ようになります。${\displaystyle k}$${\displaystyle b=k!-k+1}$

• ${\displaystyle n_{1}=b+k}$はすべての に対しての因数分解です。${\displaystyle \operatorname {SFD} _{b}}$${\displaystyle k}$

すべての数値は 基数で表されます。 ${\displaystyle b}$

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