メルセンヌ素数

数学において、メルセンヌ素数は2 の累乗より 1 少ない素数です。つまり、ある整数nに対してM _n = 2 ⁿ − 1の形式の素数です。メルセンヌ素数は、 17 世紀初頭にメルセンヌ素数を研究したフランスのミニストリー修道士、マラン・メルセンヌにちなんで名付けられました。 n が合成数であれば、 2 ⁿ − 1も合成数です。したがって、メルセンヌ素数の同等の定義は、ある素数pに対してM _p = 2 ^p − 1の形式の素数であるということです。

メルセンヌ素数を与える指数nは 2、3、5、7、13、17、19、31、... (OEIS のシーケンスA000043 )であり、結果として得られるメルセンヌ素数は3、7、31、127、8191、131071、524287、2147483647、... ( OEISのシーケンスA000668 ) です。

素数要件のない形式M _n = 2 ⁿ − 1の数は、メルセンヌ数と呼ばれることがあります。ただし、メルセンヌ数は、n が素数であるという追加要件を持つように定義されることもあります。指数nが素数である最小の合成メルセンヌ数は、2 ¹¹ − 1 = 2047 = 23 × 89です。

メルセンヌ素数は、完全数と密接な関係があることから、古代から研究されてきました。ユークリッド・オイラーの定理は、偶数完全数とメルセンヌ素数の間に 1 対 1 の対応関係があると主張しています。メルセンヌ数は素数であるかどうかのチェックが容易なため、既知の最大の素数の多くはメルセンヌ素数です。

2024年現在^[参照]、52個のメルセンヌ素数が知られています。最大の既知の素数である2 ^136,279,841 − 1はメルセンヌ素数です。^{[1] [2]} 1997年以降、新たに発見されたメルセンヌ素数はすべて、分散コンピューティングプロジェクトであるGreat Internet Mersenne Prime Searchによって発見されています。2020年12月、1億未満の指数がすべて少なくとも1回チェックされ、プロジェクトの主要なマイルストーンが達成されました。^[3]

メルセンヌ素数に関する多くの基本的な疑問は未解決のままです。メルセンヌ素数の集合が有限か無限かさえ分かっていません。

レンストラ・ポメランス・ワグスタッフ予想は、メルセンヌ素数が無限に存在すると主張し、その増加順序と頻度を予測します。すべての数 n に対して、平均してn 桁の 10 進数 (つまり、10 ^n-1 < p < 10 ⁿ )を持つ素数p が約≈ 5.92 個存在し、その 10 進数は素数であるはずです。ここで、γ はオイラー・マスケローニ定数です。 ${\displaystyle e^{\gamma }\cdot \log _{2}(10)}$${\displaystyle M_{p}}$

指数が素数であるメルセンヌ数が無限に存在しても合成数であるかどうかも分かっていませんが、これは素数について広く信じられている予想、たとえば3 ( mod 4 ) と合同なソフィー・ジェルマン素数 が無限にあることから導かれます。これらの素数pについて、2 p + 1 (これも素数です) はM _{p を}割り切ります。たとえば、23 | M ₁₁、47 | M ₂₃、167 | M ₈₃、263 | M ₁₃₁、359 | M ₁₇₉、383 | M ₁₉₁、479 | M ₂₃₉、および503 | M ₂₅₁です( OEISのシーケンスA002515 )。これらの素数pに対して、2 p + 1 は7 mod 8 と合同なので、 は 2 p + 1 mod 2 p + 1 の平方剰余であり、2 mod 2 p + 1の乗法順序はを割り切れる必要があります。p は素数なので、pか 1 でなければなりません。しかし、 であり、 1 には素因数がないため1 にはならず、 pでなければなりません。したがって、2 p + 1 はを割り切れるので、素数にはなり得ません。最初の 4 つのメルセンヌ素数は、 M ₂ = 3、M ₃ = 7、M ₅ = 31、およびM ₇ = 127であり、最初のメルセンヌ素数はM _{2から始まるため、すべてのメルセンヌ素数は 3 (mod 4) と合同です。} M ₀ = 0とM ₁ = 1以外のすべてのメルセンヌ数も 3 (mod 4) と合同です。したがって、メルセンヌ数 (  ≥ M ₂ ) の素因数分解では 、3 (mod 4) と一致する素因数が少なくとも 1 つ存在する必要があります。 ${\textstyle {\frac {(2p+1)-1}{2}}=p}$${\displaystyle \Phi _{1}(2)=1}$${\displaystyle \Phi _{p}(2)=2^{p}-1}$${\displaystyle 2^{p}-1=M_{p}}$

メルセンヌ数に関する基本定理は、 M _{p が}素数である場合、指数pも素数でなければならないという ものです。これは、次の恒等式から導かれます。これにより、 M ₄ = 2 ⁴ − 1 = 15 = 3 × 5 = (2 ² − 1) × (1 + 2 ² ) などの合成指数を持つメルセンヌ数が素数である可能性が排除されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}2^{ab}-1&=(2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\cdots +2^{(b-1)a}\right)\\&=(2^{b}-1)\cdot \left(1+2^{b}+2^{2b}+2^{3b}+\cdots +2^{(a-1)b}\right).\end{aligned}}}$$

上記の例から、M _{p は}すべての素数pに対して素数であると思われるかもしれないが、これは当てはまらず、最小の反例はメルセンヌ数である。

M11 = ^{211 −} ₁ = 2047 = 23 × 89 .

手元にある証拠は、ランダムに選択されたメルセンヌ数が、同様のサイズの任意の奇数よりも素数である可能性がはるかに高いことを示唆しています。^{[4]それにもかかわらず、} M _pの素値は、pが増加するにつれてますますまばらになるように見えます。たとえば、最初の 11 個の素数pのうち 8 個はメルセンヌ素数M _p (メルセンヌの元のリストの正しい用語) を生み出しますが、M _{p が}素数となるのは最初の 200 万個の素数のうち 43 個のみです (最大 32,452,843)。

メルセンヌ数は急速に増加するため、与えられたメルセンヌ数が素数かどうかを判定する単純で効率的なテスト、すなわちルーカス・レーマー素数判定テスト(LLT) があるにもかかわらず、メルセンヌ素数の探索は困難な作業です。このテストにより、メルセンヌ数の素数性を他のほとんどの同じサイズの数よりも簡単に判定できます。既知の最大の素数の探索には、カルト的な支持者がいます。^[要出典]その結果、新しいメルセンヌ素数の探索に大量のコンピュータパワーが費やされ、その多くは分散コンピューティングを使用して行われています。

メルセンヌ数を法とする演算は、バイナリ コンピュータで特に効率的であるため、パーク–ミラー乱数生成器など、素数を法とする必要がある場合によく使用されます。メルセンヌ数次の原始多項式を見つけるには、その数の因数分解を知る必要があるため、メルセンヌ素数を使用すると、非常に高次の原始多項式を見つけることができます。このような原始三項式は、メルセンヌ ツイスター、一般化シフト レジスタ、ラグド フィボナッチ生成器など、周期が非常に長い疑似乱数生成器で使用されます。

メルセンヌ素数M _{p は}完全数と密接に関係している。紀元前4世紀にユークリッドは、 2 ^p − 1が素数であれば、2 ^{p − 1} (2 ^p − 1 ) は完全数であることを証明した。18世紀には、レオンハルト・オイラーが、逆にすべての偶数の完全数はこの形になることを証明した。^[5]これはユークリッド・オイラーの定理として知られている。奇数の完全数が存在するかどうかは不明である。

メルセンヌ素数の名前は、指数が最大 257 までのメルセンヌ素数のリストをまとめた 17 世紀のフランスの学者マリン・メルセンヌに由来しています。1644 年にメルセンヌがリストした指数は次のとおりです。

2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257。

彼のリストは、指数が19までの当時知られていた素数を再現していた。次の31番は正しかったが、リストはその後大幅に不正確になった。メルセンヌは誤ってM ₆₇とM ₂₅₇（合成数）を含め、M ₆₁、M ₈₉、M ₁₀₇（素数）を省略したためである。メルセンヌはどのようにしてリストを作成したかについてほとんど言及していない。^[6]

エドゥアール・ルーカスは1876年にM ₁₂₇が確かにメルセンヌの主張通り素数であることを証明した。これは1951年にエメ・フェリエが卓上計算機を使用してより大きな素数 を見つけるまで75年間、知られている最大の素数であった。^{[7] : 22ページ}M _{61 は}1883年にイヴァン・ミヘーヴィチ・ペルヴシンによって素数であると決定されたが、メルセンヌはそれが合成数であると主張したため、この数はペルヴシン数と呼ばれることもある。これは2番目に大きい既知の素数であり、1911年までその地位にあった。ルーカスは1876年に因数を見つけずにM ₆₇が合成数であることを実証することで、メルセンヌのリストの別の誤りを明らかにした。1903年にフランク・ネルソン・コールが有名な講演を行うまで、因数は見つかっていませんでした。 ^[8]彼は一言も発することなく黒板に向かい、2を67乗し、1を引いて、147,573,952,589,676,412,927という数字を得ました。黒板の反対側では、193,707,721 × 761,838,257,287を掛けて同じ数字を得、（拍手の中）何も言わずに席に戻りました。^[9]彼は後に、この結果を見つけるのに「日曜日に3年」かかったと述べています。^[10]この数範囲のすべてのメルセンヌ素数の正しいリストが完成し、厳密に検証されたのは、メルセンヌがリストを発表してから約3世紀後のことでした。 ${\displaystyle (2^{148}+1)/17}$

メルセンヌ素数を見つけるための高速アルゴリズムが利用可能であり、2024 年 10 月現在、既知の最大の素数^{[アップデート]}7 つはメルセンヌ素数です。

最初の4つのメルセンヌ素数M ₂ = 3、M ₃ = 7、M ₅ = 31、およびM ₇ = 127は、古代から知られていました。5番目のM ₁₃ = 8191 は、1461年より前に匿名で発見されました。次の2つ ( M ₁₇とM ₁₉ ) は、1588年にピエトロ・カタルディによって発見されました。約2世紀後、M ₃₁は1772年にレオンハルト・オイラーによって素数であることが検証されました。次 (番号順ではなく歴史的な順) はM ₁₂₇で、1876年にエドゥアール・ルーカスによって発見され、その後M ₆₁が1883年にイヴァン・ミヘーヴィチ・ペルヴシンによって発見されました。さらに2つ ( M ₈₉とM ₁₀₇ ) は、20世紀初頭に、それぞれ1911年と1914年に RE パワーズによって発見されました。

メルセンヌ数の素数性をテストするための現在知られている最も効率的な方法は、ルーカス・レーマー素数性テストです。具体的には、素数p > 2に対して、M _p = 2 ^p − 1が素数となるのは、 M _{p が}S _{p − 2}を割り切る場合のみであり 、ここでS ₀ = 4であり、k > 0に対してS _k = ( S _{k − 1} ) ² − 2 であることが示されます。

手計算の時代には、257までの未検証の指数はすべてルーカス・レーマー検定で検定され、合成数であることが判明した。注目すべき貢献は、指数157、167、193、199、227、229の計算を行った、引退したエール大学物理学教授ホレス・スカダー・ウーラーによるものだった。^[11]これらの研究者にとって残念なことに、彼らが検定していた区間には、メルセンヌ素数間の相対的なギャップとして知られている最大のものが含まれていた。次のメルセンヌ素数指数521は、以前の記録である127の4倍以上の大きさであることが判明した。

メルセンヌ素数の探索は、電子デジタルコンピュータの導入によって革命的に変化した。アラン・チューリングは1949年にマンチェスター・マーク1でメルセンヌ素数を探したが^{[12] 、この方法による}メルセンヌ_素数の特定に初めて成功したのは、1952年1月30日午後10時、カリフォルニア大学ロサンゼルス校（UCLA）数値解析研究所の米国国立標準局 西部自動計算機（SWAC）を使用し、 DHレーマーの指導の下、 RMロビンソン教授が作成し実行したコンピュータ探索プログラムを使用したときであった。これは38年ぶりに特定されたメルセンヌ素数であり、次のM607_は、その2時間弱後にコンピュータによって発見された。さらに3つのメルセンヌ素数、_M1279 、 M2203 、 M2281が_、 その後数か月のうちに同じプログラムによって発見された。M _{4,423 は}桁数が 1000 を超える最初の素数として発見され、M _{44,497 は}桁数が10,000 を超える最初の素数として発見され、M _{6,972,593 は100 万を超える最初の素数として発見されました。一般に、} M _nの 10 進数表現の桁数は⌊ n × log ₁₀ 2⌋ + 1に等しく、ここで⌊ x ⌋は床関数(または同等の⌊log ₁₀ M _n ⌋ + 1 )を表します。

2008 年 9 月、UCLA の数学者たちがGreat Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) に参加し、ほぼ 1,300 万桁の Mersenne 素数を発見したことで、電子フロンティア財団から 10 万ドルの賞金の一部を獲得しました。この賞金は 2009 年 10 月に最終的に確定し、桁数が 1,000 万桁以上の最初の素数として認められました。この素数は2008 年 8 月 23 日にDell OptiPlex 745 で発見されました。これは UCLA で発見された 8 番目の Mersenne 素数でした。^[13]

2009 年 4 月 12 日、GIMPS のサーバー ログに、47 番目のメルセンヌ素数が発見された可能性があると報告されました。この発見は 2009 年 6 月 4 日に初めて確認され、1 週間後に確認されました。この素数は2 ^42,643,801 − 1です。年代順では 47 番目に発見されたメルセンヌ素数ですが、当時最大の 45 番目に発見された素数よりも小さいものです。

2013年1月25日、セントラルミズーリ大学の数学者カーティス・クーパーは、 GIMPSサーバーネットワークによる検索の結果として、48番目のメルセンヌ素数2 ^57,885,161 − 1 （17,425,170桁の数）を発見した。 ^[14]

2016年1月19日、クーパーはGIMPSサーバーネットワークによる検索の結果として、49番目のメルセンヌ素数2 ^74,207,281 − 1 （22,338,618桁の数）を発見したことを発表しました。 ^{[15] [16] [17]}これは、過去10年間にクーパーと彼のチームによって発見された4番目のメルセンヌ素数でした。

2016年9月2日、インターネット・メルセンヌ素数探索プロジェクトはM _37,156,667以下の全てのテストの検証を完了し、45番目のメルセンヌ素数としての地位を正式に確認した。^[18]

2018年1月3日、テネシー州ジャーマンタウンに住む51歳の電気技師、ジョナサン・ペース氏が、GIMPSサーバーネットワークによる検索の結果、50番目のメルセンヌ素数2 ^77,232,917 − 1 （23,249,425桁の数）を発見したことが発表されました。 ^[19]この発見は、同じ町にある教会の事務所のコンピューターによって行われました。^{[20] [21]}

2018年12月21日、インターネットメルセンヌ素数探索プロジェクト（GIMPS）が24,862,048桁の新しい素数2 ^82,589,933 − 1を発見したことが発表された。この発見はフロリダ州オカラのパトリック・ラロッシュ氏がボランティアで提供したコンピューターによって2018年12月7日に行われた。^[22]

2020年後半、GIMPSは、2017年のロバート・ゲルビッツの開発と、2018年にクリストフ・ピエトラザクが開発したテストを検証する簡単な方法に基づいて、潜在的なメルセンヌ素数を除外するための新しい手法である「PRP（ Probable prime）テスト」の使用を開始しました。エラー率が低く証明が容易なため、これにより、ルーカス・レーマーテストと比較して潜在的な素数を除外するための計算時間がほぼ半分に短縮されました（2人のユーザーがもう1人の結果を確認するために同じテストを実行する必要がなくなったため）。ただし、PRPテストに合格した指数は、依然として素数であることを確認する必要があります。^[23]

2024年10月12日、カリフォルニア州サンノゼのルーク・デュラントというユーザーが、現在知られている最大のメルセンヌ素数2 ^136,279,841 − 1（41,024,320桁）を発見した。これは指数が8桁を超える最初のメルセンヌ素数である。これは2024年10月21日に発表された。^[24]

メルセンヌ数は 0、1、3、7、15、31、63、... です ( OEISのシーケンスA000225 )。

1. aとp が自然数で、a ^p − 1 が素数である場合、a = 2またはp = 1です。
   • 証明: a ≡ 1 ( mod a − 1)。するとa ^p ≡ 1 ( mod a − 1)なので、a ^p − 1 ≡ 0 ( mod a − 1)。したがってa − 1 | a ^p − 1。しかし、a ^p − 1は素数なので、a − 1 = a ^p − 1またはa − 1 = ±1です。前者の場合、a = a ^pなので、a = 0, 1 ( -1 も 0 も素数ではないため、これは矛盾です) またはp = 1です。後者の場合、a = 2またはa = 0です。ただし、 a = 0の場合、0 ^p − 1 = 0 − 1 = -1となり、これは素数ではありません。したがって、a = 2です。
2. 2 ^p − 1が素数であれば、p も素数です。
   • 証明: pが合成数であると仮定すると、 aおよびb > 1でp = ab と書くことができます。すると、2 ^p − 1 = 2 ^ab − 1 = (2 ^a ) ^b − 1 = (2 ^a − 1) ( (2 ^a ) ^{b −1} + (2 ^a ) ^{b −2} + ... + 2 ^a + 1 )となり、2 ^p − 1は合成数です。 対比により、2 ^p − 1が素数であればpは素数です。
3. p が奇数の素数である場合、 2 ^p − 1 を割り切るすべての素数q は、 1 に2 pの倍数を加えたものでなければなりません。これは2 ^p − 1が素数である場合にも当てはまります。
   • たとえば、2 ⁵ − 1 = 31 は素数であり、31 = 1 + 3 × (2 × 5)です。 合成例は2 ¹¹ − 1 = 23 × 89で、23 = 1 + (2 × 11)であり、89 = 1 + 4 × (2 × 11)です。
   • 証明:フェルマーの小定理により、q は2 ^{q −1} − 1の因数です。q は2 ^p − 1の因数なので、すべての正の整数cに対して、q は2 ^pc − 1の因数でもあります。pは素数でq は2 ¹ − 1の因数ではないので、p はqが2 ^x − 1の因数となる最小の正の整数xでもあります。結果として、すべての正の整数xに対して、p がxの因数である場合に限り、qは2 ^x − 1の因数となります。したがって、qは2 ^{q −1} − 1の因数なので、p はq − 1の因数であり、q ≡ 1 (mod p )です。さらに、q は2 ^p − 1の因数で、これは奇数なので、q は奇数です。したがって、q ≡ 1 (mod 2 p )です。
   • この事実は、素数が無限であることを主張するユークリッドの定理の証明につながります。これは、ユークリッドによって書かれた証明とは異なります。つまり、すべての奇数の素数pに対して、 2 ^p − 1を割り切るすべての素数はpよりも大きいため、特定の素数よりも大きな素数が常に存在します。
   • この事実から、 p > 2 のすべての素数に対して、ある整数kに対して、 M _p以下である2 kp +1の形式の素数が少なくとも 1 つ存在することがわかります。
4. p が奇数の素数である場合、 2 ^p − 1 を割り切るすべての素数q は±1 (mod 8)と合同です。
   • 証明: 2 ^{p +1} ≡ 2 (mod q )なので、2 ^{⁠1/2⁠ (p+1)}は2 mod qの平方根です二次の相互性により、数 2 が平方根を持つすべての素数係数は±1 (mod 8)。
5. メルセンヌ素数はヴィーフェリッヒ素数にはなり得ません。
   • 証明: p = 2 ^m − 1がメルセンヌ素数である場合、合同2 ^{p −1} ≡ 1 (mod p ² )は成立しないことを示します。フェルマーの小定理により、m | p − 1です。したがって、 p − 1 = mλと書くことができます。与えられた合同が満たされる場合、p ² | 2 ^mλ − 1なので、0 ≡ ⁠2 ^mλ − 1/2 ^m − 1⁠ = 1 + 2 ^m + 2 ^{2 m} + ... + 2 ^{( λ − 1) m} ≡ λ mod (2 ^m − 1)。したがってp | λであり、したがって−1 = 0 (mod p)となり、これは不可能です。
6. mとnが自然数である場合、 2 ^m − 1と2 ⁿ − 1が互いに素であるときのみ、mとnは互いに素である。したがって、素数は最大で1つの素指数メルセンヌ数を割り切れる。^{[25]つまり、}有害なメルセンヌ数の集合は互いに素である。
7. pと2 p + 1が両方とも素数（つまりpがソフィー・ジェルマン素数）であり、pが3（mod 4）と合同である場合、2 p + 1は2 ^p − 1を割り切れます。^[26]
   • 例: 11 と 23 はどちらも素数で、11 = 2 × 4 + 3なので、 23 は2 ¹¹ − 1を割り切れます。
   • 証明: q を2 p + 1とします。フェルマーの小定理により、2 ^{2 p} ≡ 1 (mod q )なので、 2 ^p ≡ 1 (mod q )か2 ^p ≡ −1 (mod q )のいずれかになります。後者が正しいと仮定すると、2 ^{p +1} = (2 ^{⁠1/2⁠ ( p + 1)} ) ² ≡ −2 (mod q )qを法とする平方剰余になります。しかし、p は3 (mod 4)と合同な、q は7 (mod 8)と合同でq を法とする平方剰余です。また、q3 (mod 4)と合同なq を法とする平方非剰余なので、 −2 は剰余と非剰余の積であり、したがって非剰余であり、これは矛盾です。したがって、前者の合同は真でなければならず、2 p + 1M _{p を}割り切ります。
8. 素指数メルセンヌ数のすべての合成約数は、底 2 の強擬素数です。
9. 1 を除いて、メルセンヌ数は完全累乗にはなれません。つまり、ミハイレスクの定理によれば、方程式2 ^m − 1 = n ^kには解が存在しません。ここで、 m、n、kは、 m > 1かつk > 1の整数です。
10. メルセンヌ数列はルーカス数列の族の一員である。これはU _n (3, 2) である。つまり、メルセンヌ数m _n = 3 m _{n -1} - 2 m _{n -2}であり、 m ₀ = 0、m ₁ = 1である。

2024年現在^{[アップデート]}、52個の既知のメルセンヌ素数は、次のpに対して2 ^p − 1です。

2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107、127、521、607、1279、2203、2281、3217、4253、4423、9689、9941、11213、 19937、21701、23209、44497、86243、110503、132049、216091、756839、859433、1257787、1398269、2976221、3021377、 6972593、13466917、 20996011、24036583、25964951、30402457、32582657、37156667、42643801、43112609、57885161、74207281、77232917、82589933、136279841。（OEISのシーケンスA000043）

メルセンヌ素数は素数なので、1 とそれ自身でのみ割り切れます。ただし、すべてのメルセンヌ数がメルセンヌ素数というわけではありません。メルセンヌ数は特殊数体ふるいアルゴリズムの非常に良いテストケースであるため、このアルゴリズムで因数分解された最大の数はメルセンヌ数であることが多いです。2019年6月現在^{[アップデート]}、2 ^1,193 − 1が記録保持者であり、^[27]一度に複数の数を因数分解できる特殊数体ふるいの変種で因数分解されています。詳細については、整数因数分解記録を参照してください。特殊数体ふるいは、複数の大きな因数を持つ数を因数分解できます。数に非常に大きな因数が1つしかない場合は、最初に小さな因数を見つけ、次に余因数に対して素数判定を実行することで、他のアルゴリズムでより大きな数を因数分解できます。 2022年9月現在^{[アップデート]}、完全に因数分解された最大の数（可能性のある素因数が認められる）は2 ^12,720,787 − 1 = 1,119,429,257 × 175,573,124,547,437,977 × 8,480,999,878,421,106,991 × qであり、qは3,829,294桁の可能性のある素数である。これは、ニックネームが「Funky Waddle」であるGIMPS参加者によって発見された。^{[28] [ 29]} 2022年9月現在^{[アップデート]}、メルセンヌ数M _1277は因数が知られていない最小の合成メルセンヌ数である。2 68 未満の素因数は存在せず^、 [ ^{30] 10 65}未満の因数（約2 ²¹⁶ ）もほとんど存在しない。^[31]

以下の表は、最初の 20 個の合成メルセンヌ数 ( OEISのシーケンスA244453 ) の因数分解を示しています。

最初の 500 個のメルセンヌ数の因数の数は ( OEISのシーケンスA046800 ) で確認できます。

数学の問題「ハノイの塔」では、 n枚の円盤を使ったパズルを解くのに、間違いがないと仮定するとMn_ステップ^{かかる。 [32]}小麦とチェス盤の問題では、チェス盤全体の米粒の数はM64_である。^[33]

小惑星番号8191を持つ小惑星は、8191がメルセンヌ素数であるため、マリン・メルセンヌにちなんで8191メルセンヌと名付けられました。 ^[34]

幾何学では、偶数辺が2の累乗（  ≥ 4  ）である原始的な整数直角三角形は、その内接円の半径が常にメルセンヌ数となるような唯一の直角三角形を生成する。例えば、偶数辺が²ⁿ +  ¹の場合、原始三角形であるため、奇数辺は4n ⁻  1、斜辺は4n  +1 、内接円の半径は2n ^{− 1} となる。^[35]

メルセンヌ・フェルマー数は次のように定義される⁠2 ^r − 1 である^。/2 ^{r − 1 −} 1⁠ ここでp は素数、 r は自然数であり、 MF( p , r )と表記される。 r = 1のとき、それはメルセンヌ数である。 p = 2のとき、それはフェルマー数である。 r > 1のメルセンヌ・フェルマー素数として知られているのは以下の数だけである

MF(2, 2)、MF(2, 3)、MF(2, 4)、MF(2, 5)、MF(3, 2)、MF(3, 3)、MF(7, 2)、およびMF(59, 2) . ^[36]

実際、MF( p , r )= _^Φpr ( 2)_であり、ここでΦは円分多項式である。

最も単純な一般化メルセンヌ素数は、 f (2 ⁿ )の形式の素数であり、ここでf ( x ) は小さな整数係数を持つ低次多項式である。^[37]一例は2 ⁶⁴ − 2 ³² + 1で、この場合はn = 32 であり、f ( x ) = x ² − x + 1である。別の例は2 ¹⁹² − 2 ⁶⁴ − 1で、この場合はn = 64 であり、f ( x ) = x ³ − x − 1 である。

2 ⁿ − 1の形の素数をb ⁿ − 1 の形の素数（b ≠ 2かつn > 1）に一般化するのも自然なことです。しかし（上記の定理も参照）、b ⁿ − 1は常にb − 1で割り切れるので、後者が単位数でない限り、前者は素数ではありません。これは、 b を整数ではなく代数的整数に することで解決できます。

整数環（実数上）において、 b − 1が単位元であれば、b は2 か 0 のいずれかです。しかし、2 ⁿ − 1 は通常のメルセンヌ素数であり、式0 ⁿ − 1は何も興味深い結果を導きません（すべてのn > 0に対して常に −1 であるため）。したがって、ガウス整数やアイゼンシュタイン整数のような実数ではなく、複素数上の「整数」環と見なすことができます。

ガウス整数環を考えると、 b = 1 + iおよびb = 1 − iの場合が得られ、( WLOG ) nに対して数(1 + i ) ⁿ − 1がガウス素数であるnを求めることができ、そのnはガウスメルセンヌ素数と呼ばれる。^[38]

(1 + i ) ⁿ − 1は次のnに対してガウス素数である:

2、3、5、7、11、19、29、47、73、79、113、151、157、163、167、239、241、283、353、367、379、457、997、1367、3041、10141、14699、27529、49207、77291、85237、106693、160423、203789、364289、991961、1203793、1667321、3704053、4792057、...（シーケンスA057429 OEISにおいて​

通常のメルセンヌ素数の指数列と同様に、この列には（有理）素数のみが含まれます。

すべてのガウス素数と同様に、これらの数のノルム（つまり、絶対値の二乗）は有理数素数です。

5、13、41、113、2113、525313、536903681、140737471578113、...（OEISの配列A182300）。

このようなメルセンヌ素数がアイゼンシュタイン素数でもある場合があり、その場合、 b = 1 + ωおよびb = 1 − ωの形式をとります。このような場合、そのような数はアイゼンシュタイン・メルセンヌ素数と呼ばれます。

(1 + ω ) ⁿ − 1 は次のnに対してアイゼンシュタイン素数である:

2、5、7、11、17、19、79、163、193、239、317、353、659、709、1049、1103、1759、2029、5153、7541、9049、10453、23743、255361、534827、2237561、...（OEISの配列A066408）

これらのアイゼンシュタイン素数のノルム（つまり絶対値の二乗）は有理数素数です。

7、271、2269、176419、129159847、1162320517、...（OEISの配列A066413）

b ⁿ − 1は常にb − 1で割り切れるという事実に対処するもう一つの方法は、この因数を単に取り除き、nのどの値が

${\displaystyle {\frac {b^{n}-1}{b-1}}}$

は素数です。(整数b は正または負のどちらでもかまいません。) たとえば、b = 10とすると、次のn個の値が得られます。

2、19、23、317、1031、49081、86453、109297、270343、...（OEISのシーケンスA004023）は、素数11、111111111111111111、1111111111111111111111、...（OEISのシーケンスA004022）に対応します。

これらの素数はレプユニット素数と呼ばれます。別の例として、 b = −12とすると、次のn値が得られます。

2、5、11、109、193、1483、11353、21419、21911、24071、106859、139739、...（OEISのシーケンスA057178）、素数−11、19141、57154490053、...に対応。

完全べき乗ではない任意の整数bに対して、 nの値は無限に存在するという予想です。bn − 1 である^。/b − 1⁠ は素数です。（ bが完全べき乗のとき、最大で 1 つのn値が存在することが示され、 ⁠bn − 1 である^。/b − 1⁠ は素数です)

最小のnは、bn − 1 である^。/b − 1⁠ は素数です（ b = 2から始まり、そのようなn が存在しない場合は0 になります）

2、3、2、3、2、5、3、0、2、17、2、5、3、3、2、3、2、19、3、3、2、5、3、0、7、3、2、5、2、7、0、3、13、313、2、13、3、349、2、3、2、5、5、19、2、127、19、0、3、4229、2、11、3、17、7、3、2、3、2、7、3、5、0、19、2、19、5、3、2、3、2、...（シーケンスOEISのA084740 )

負の基数bの場合、（ b = −2から始まり、そのようなn が存在しない場合は0 となる）

3、2、2、5、2、3、2、3、5、5、2、3、2、3、3、7、2、17、2、3、3、11、2、3、11、0、3、7、2、109、2、5、3、11、31、5、2、3、53、17、2、5、2、103、7、5、2、7、1153、3、7、21943、2、3、37、53、3、17、2、7、2、3、0、19、7、3、2、11、3、5、2、...（シーケンスOEISのA084742 ) (このOEISシーケンスではn = 2が許可されていないことに注意してください)

最小の底bで、b^{素数( n )} − 1/b − 1⁠素数です

2、2、2、2、5、2、2、2、10、6、2、61、14、15、5、24、19、2、46、3、11、22、41、2、12、22、3、2、12、86、2、7、13、11、5、29、56、30、44、60、304、5、74、118、33、156、46、183、72、606、602、223、115、37、52、104、41、6、338、217、...（シーケンスA066180 OEIS )​

負の基底bの場合、

3、2、2、2、2、2、2、2、2、7、2、16、61、2、6、10、6、2、5、46、18、2、49、16、70、2、5、6、12、92、2、48、89、30、16、147、19、19、2、16、11、289、2、12、52、2、66、9、22、5、489、69、137、16、36、96、76、117、26、3、...（OEISのシーケンスA103795）

もう一つの一般化されたメルセンヌ数は

${\displaystyle {\frac {a^{n}-b^{n}}{ab}}}$

ここで、 a、b は互いに素な整数で、a > 1かつ− a < b < aです。( a ⁿ − b ^{n は}常にa − bで割り切れるので、素数を見つけるには割り算が必要です。) ^[a]どのn がこの数を素数にするか 尋ねることができます。そのようなn は、それ自体が素数であるか 4 に等しい必要があり、n が4 になるのは、 a + b = 1かつa ² + b ²が素数である場合のみであることが示されます。^[b]任意のrに対してaとb が両方とも完全r乗ではなく、−4 abが完全4 乗ではないような任意のペア( a、b )に対して、次の条件を満たすnの値が無限に存在することが予想されます⁠a ⁿ − b ⁿ/a − b⁠ は素数である。 ^{[c]しかし、これは}( a , b )の任意の単一の値に対して証明されていません。

^*注意: b < 0かつnが偶数の場合、数値n は対応する OEIS シーケンスに含まれません。

a = b + 1のとき、それは( b + 1) ⁿ − b ⁿであり、連続する 2 つの完全なn乗の差であり、 a ⁿ − b ⁿが素数であれば、a はa − bで割り切れるので、b + 1でなければなりません。

( b + 1) ⁿ − b ⁿが素数となる 最小のnは

2、2、2、3、2、2、7、2、2、3、2、17、3、2、2、5、3、2、5、2、2、229、2、3、3、2、3、3、2、2、5、3、2、3、2、2、3、3、2、7、2、3、37、2、3、5、58543、2、3、2、2、3、2、2、3、2、5、3、4663、54517、17、3、2、5、2、3、3、2、2、47、61、19、...（シーケンスOEISのA058013 )

( b + 1) ^{prime( n )} − b ^{prime( n )}が素数となる 最小のbは

1、1、1、1、5、1、1、1、5、2、1、39、6、4、12、2、2、1、6、17、46、7、5、1、25、2、41、1、12、7、1、7、327、7、8、44、26、12、75、14、51、110、4、14、49、286、15、4、39、22、109、367、22、67、27、95、80、149、2、142、3、11、...（OEISのシーケンスA222119）