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12平均律（12-ET）[a]は、オクターブを12の部分に分割し、そのすべてを対数スケール上で均等に平均律（等間隔）に調律する音楽システムであり、その比率は2の12乗根（≈ 1.05946）に等しくなります。結果として得られる最小の音程は、オクターブの幅の1 ⁄ 12であり、半音または半音と 呼ばれます。
![{\textstyle {\sqrt[{12}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f276a910a28604e3b8afd8ba62a4678a37193480)
十二音平均律は、今日の音楽で最も広く普及しているシステムです。18世紀以降、クラシック音楽に始まり、西洋音楽の主流の調律システムであり、ヨーロッパではそれ以前の数千年にわたって、ほぼ独占的にこれに近似したシステムを使用していました。[要出典]他の文化でも使用されてきました。
現代では、12-ETは通常、 A440と呼ばれる440Hzの標準ピッチを基準に調律されています。つまり、1つの音Aが440ヘルツに調律され、他のすべての音はそれより高いか低い周波数の半音の倍数として定義されます。標準ピッチは常に440Hzだったわけではありません。過去数百年の間に変化し、一般的に上昇しています。[1]
歴史
十二音平均律の正確な計算を成し遂げたとよく言われる二人は、 1584年の朱載堉（Chu-Tsaiyuとも表記される。中国語:朱載堉）と1585年のシモン・ステヴィンである。この理論の批評家であるフリッツ・A・クトナーによると、[2]「1584年に朱載堉は平均律の単和音の算術計算のための非常に正確で単純かつ独創的な方法を提示した」ことと、「1585年以降、シモン・ステヴィンは平均律の数学的定義と、それに対応する数値の計算をやや不正確ながら提示した」ことが知られている。この2つの発展は独立して起こった。[3]
ケネス・ロビンソンは平均律の発明を朱在玉に帰し[4]、その証拠として文献の引用を挙げている。[5]朱在玉は1584年の文献で「私は新しいシステムを創始した。私は1フィートを他のフィートを抜き出す数として定め、比率を使ってそれらを抜き出す。全部で12の演算でピッチパイプの正確な数値を見つけなければならない」と述べている[5]と引用されている。クットナーはこれに反対し、彼の主張は「大きな制限なしには正しいとは考えられない」と述べている[2] 。クットナーは、朱在玉もシモン・ステヴィンも平均律を成し遂げておらず、どちらも発明者として扱われるべきではないと主張している[3]
中国
初期の歴史
曽の懿侯（戦国時代初期、中国青銅器時代の紀元前 5世紀頃）の墓で発見された多くの楽器の中に、青銅製の鐘の完全なセットがあり、ハ長調のキーで7音の5オクターブをカバーし、音域の中央に12音の半音が含まれています。[6]
平均律の近似値は、南北朝時代の数学者で370年から447年まで生きた何承天[7]彼は平均律に関する史上最古の近似数値列を提唱した：900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509.5 479 450。[8]
朱在玉
明の宮廷王子、朱載堉は、父が提唱した平均律の考えに基づいて30年をかけて研究し、1580年に出版した『音楽と暦の融合律暦融通』で新しい音程理論を説明した。その後、1584年に5,000ページに及ぶ『音楽と音程の完全概論』で、12-ETの正確な数値仕様を含む新しい平均律理論の詳細な説明を出版した。 [9]ジョセフ・ニーダムも拡張した説明をしている。[ 5]朱は、弦と管の長さを12√2≈1.059463で順番に割り、管の長さを24√2で割ることで数学的に結果を導き出した。[ 10 ]つまり、12回（1オクターブ）割った後、長さは2で割ら れる。
![{\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{12}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f0e94dc870dfc2af0eb35a7b362eb3776054719)
同様に、84 分割 (7 オクターブ) した後、長さは 128 で割られました。
![{\displaystyle \left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{84}=2^{7}=128}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efc85da07cabc4f33cc3fc965e9ef6e74361e7c7)
朱在玉は平均律の問題を数学的に解いた最初の人物とされている。[11]少なくとも1人の研究者は、中国のイエズス会士マテオ・リッチがこの研究を自分の日記に記録し[11] [12]、それをヨーロッパに持ち帰った可能性があると提唱している。(このテーマに関する標準的な資料には、そのような転送については何も記載されていない。[13] ) 1620年、朱の研究はヨーロッパの数学者によって参照された。[誰? ] [12]マレー・バーバーは、「平均律の正しい数字が印刷物で最初に登場したのは中国で、そこでは蔡玉王の素晴らしい解決法は謎のままである」と述べた。[14] 19世紀のドイツの物理学者ヘルマン・フォン・ヘルムホルツは著書『音の感覚について』の中で、中国の王子（下記参照）が7音階を導入し、オクターブを12の半音に分割することが中国で発見されたと記している。[15]
朱在玉は平均律理論を説明するために、3オクターブの竹製調弦管36本を製作した。竹の種類、塗装の色、長さや内径、外径の詳細な仕様が記されていた。また、12弦の調弦楽器も製作し、その底部の空洞に調弦管が隠されていた。1890年、ブリュッセル音楽院の学芸員ヴィクトル・シャルル・マヒヨンは、朱在玉の仕様に基づいて調弦管を複製した。彼は、中国の音階理論は西洋の理論よりも調弦管の長さについてよく知っており、在玉のデータに基づいて複製された管がこの理論の正確さを証明していると述べた。
ヨーロッパ
初期の歴史
平均律に関する最も古い議論の一つは、紀元前4世紀のアリストクセノスの著作の中に見られます。 [16]
ヴィンチェンツォ・ガリレイ（ガリレオ・ガリレイの父）は、12音平均律を実践的に提唱した最初の人物の一人である。彼は、すべての「移調調」における半音階の12音それぞれにダンス組曲を作曲し、1584年に「フロニモ」で24+1のリチェルカールを出版した。[17]彼はリュートのフレット比に18:17を使用した（ただし、純正なオクターブには多少の調整が必要だった）。[18]
ガリレイの同郷人でリュート奏者のジャコモ・ゴルツァニスは、1567年までに平均律に基づいた音楽を書いていた。 [19]ゴルツァニスは、あらゆる旋法や調性を探求した唯一のリュート奏者ではなかった。フランチェスコ・スピナチーノは、早くも1507年に「Recercare de tutti li Toni」（すべての調性におけるリチェルカーレ）を書いている。 [20] 17世紀には、リュート奏者で作曲家のジョン・ウィルソンが、すべての長調/短調の24曲を含む30曲の前奏曲集を書いた。[21] [22] ヘンリクス・グラマテウスは、 1518年に平均律に近いものを描いた。平均律における最初の調律規則は、ジョヴァンニ・マリア・ランフランコの「Scintille de musica」で示された。[23] ツァルリーノはガリレイとの論争の中で当初は平均律に反対していたが、1588年に作曲した『ソップリメンティ・ムジカ』の中でリュートに関しては平均律を認めた。
サイモン・ステヴィン
西洋における平均律の2の12乗根に関する最初の言及は、サイモン・ステヴィンの手稿『Van De Spiegheling der singconst』（1605年頃）に現れ、それは死後ほぼ3世紀後の1884年に出版された。[24]しかし、彼の計算の精度が不十分だったため、彼が得たコードの長さの数値の多くは正しい値から1つまたは2つずれていた。[13]その結果、サイモン・ステヴィンのコードの周波数比には統一された比率はなく、音ごとに1つの比率があり、ジーン・チョーはそれが間違っていると主張している。[25]
以下はサイモン・ステヴィンの「Van de Spiegheling der singconst」のコードの長さである: [26]
一世代後、フランスの数学者マリン・メルセンヌは、ジャン・ボーグラン、イスマエル・ブイヨー、ジャン・ガレによって得られた平均律の和音の長さをいくつか提示した。[27]
1630年にヨハン・ファウルハーバーは100セントのモノコード表を出版したが、対数表を使用したためにいくつかの誤りがあった。彼はその結果をどのようにして得たのか説明しなかった。[28]
バロック時代
1450年から1800年頃まで、撥弦楽器奏者（リュート奏者とギタリスト）は一般に平均律を好んでおり、[29] 17世紀最後の四半期に編纂されたブロサールのリュート手稿には、ボッケ作とされる18のプレリュードがすべての調で書かれており、その中にはすべての調で異名同音に転調するPrélude sur tous les tonsと題された最後のプレリュードも含まれている[30] [明確化が必要] 。 アンジェロ・ミケーレ・バルトロッティは、異名同音に転調するパッセージをつなげた、すべての調のパッサカリアのシリーズを出版している。17世紀の鍵盤楽器の作曲家の中では、ジローラモ・フレスコバルディが平均律を主張した。ジュゼッペ・タルティーニなど一部の理論家は平均律の採用に反対した。彼らは、各和音の純粋さを低下させることは音楽の美的魅力を低下させると感じていたが、アンドレアス・ヴェルクマイスターは死後に出版された1707年の論文で平均律を強く主張した。[31]
十二音平均律が定着したのにはさまざまな理由がある。既存の鍵盤設計に都合がよく、特に不完全協和音など、あらゆる音程に適度な不純度を課すことで完全な和音の自由が認められた。これにより異名同音の変調による表現力が向上し、18世紀にはフランチェスコ・ジェミニアーニ、ヴィルヘルム・フリーデマン・バッハ、カール・フィリップ・エマヌエル・バッハ、ヨハン・ゴットフリート・ミューテルなどの作曲家の音楽で極めて重要になった。[要出典]十二音平均律には不完全三度などいくつかの欠点もあったが、ヨーロッパが平均律に移行すると、そのシステムに対応して不協和音を最小限に抑えるために作曲される音楽が変更された。[b]
18 世紀半ばからの平均律の発展については、現代の学術出版物で詳細に説明されている。平均律は、古典派時代 (18 世紀後半) にはすでに好んで使われていた[出典が必要] 。また、初期ロマン派時代 (19 世紀最初の 10 年間) には標準となった[出典が必要]。ただし、オルガンでは徐々に平均律に移行し、19 世紀 20 年代になってようやく標準となった。(イギリスでは、それ以降も一部の大聖堂のオルガン奏者や聖歌隊指揮者が平均律に反対していた。たとえば、サミュエル・セバスチャン・ウェスレーはずっと反対していた。ウェスレーは 1876 年に亡くなった。) [出典が必要]
17世紀のサバティーニ法では、オクターブを3つの長3度に分割して調律するが、これを使えば正確な平均律が実現できる。 [32]これは古典派時代にも何人かの作曲家によって提案された。拍子を使わず、いくつかのチェックを用いて実質的に現代的な精度を達成する調律は、すでに19世紀の最初の数十年間に行われていた。[33]拍子の使用は1749年に初めて提案され、19世紀後半にヘルムホルツとエリスによって普及されてから一般的になった。[34]究極の精度は、1917年にホワイトによって出版された2つの10進数表によって可能になった。 [35]
平均律の環境の中で、対称的な調性や多調性、十二音技法やセリアリズムで書かれた無調音楽、そしてジャズ（少なくともピアノの要素）といった新しいスタイルが発達し、繁栄しました。
半音の歴史的近似値の比較
数学的性質
1オクターブを12等分する12音平均律では、半音の幅、つまり隣接する2つの音の間隔の周波数比は、 2の12乗根になります。
![{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}=2^{\frac {1}{12}}\approx 1.059463}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/232c2beab28b1c46c328080d982595d9ef196e08)
この間隔は 100セントに分割されます。
絶対頻度の計算
12-ET の音の周波数P n を調べるには、次の定義を使用します。
![{\displaystyle P_{n}=P_{a}\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(na)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3381e111c79f7e16a073bbe05c6cabeaba2ff79a)
この式で、P n は、探しているピッチまたは周波数 (通常はヘルツ単位) を指します。 P a は、基準ピッチの周波数を指します。nとa は、それぞれ目的のピッチと基準ピッチに割り当てられた数値を指します。これら 2 つの数値は、連続する半音に割り当てられた連続する整数のリストから取られます。たとえば、 A 4 (基準ピッチ) はピアノの左端から 49 番目のキー ( 440 Hzに調律) であり、 C 4 (中央の C ) と F# 4は、それぞれ 40 番目と 46 番目のキーです。これらの数値を使用して、 C 4と F# 4の周波数を見つけることができます。
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}P_{40}&=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(40-49)}&&\approx 261.626\ \mathrm {Hz} \\P_{46}&=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(46-49)}&&\approx 369.994\ \mathrm {Hz} \end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b2cc77efb874655e7633d236cfd2c9f7e5b8229)
ちょうど間隔
12-ETの音程は純正律の音程に非常に近い。[37]
制限により
12 ET は 3 の限界では非常に正確ですが、プライム限界を 11 まで上げると、半音の 6 分の 1 ずつ徐々に精度が悪くなります。11 番目と 13 番目の倍音は非常に不正確です。12 ET の 17 番目と 19 番目の倍音は 3 番目の倍音とほぼ同じくらい正確ですが、この時点でプライム限界は高くなりすぎて、ほとんどの人にとっては協和音として聞こえません。[引用が必要]
3 制限
12 ETは完全五度に非常によく近似しています（ 3 /2）とその転回形である完全4度（ 4 /3）、特にオクターブを比較的少数の音に分割する場合に便利です。具体的には、純正完全五度は平均律近似値より半音の51倍だけ高いだけです。長音（ 9 /8）は単純に2つの完全5度から1オクターブを引いたもので、その反転であるピタゴラスの短7度（ 16 /9）は、単に2つの完全4度音符を組み合わせたものですが、ほとんどの場合、以前のものと同じ精度を保っています。誤差は2倍になりますが、その誤差は小さいままです。実際、人間が認識できないほど小さいのです。3の累乗以上の分数も引き続き使用できます。次の2つは 27 /16と 32 /27ですが、分数の項が大きくなるにつれて、耳に心地よくなくなっていきます。[要出典]
5 制限
12 ETの第5高調波の近似値（ 5 /4）は約7分の1半音ずれています。音階の4分の1未満の音程でもまだ調子が合っているように聞こえるため、12 ETの他の5つの限界音程、たとえば 5 /3と 8 /5、同様の大きさの誤差があります。したがって、長三和音は、その周波数比が約 4:5:6 であるため、調和して聞こえます。さらに、最初の転回形と 2 つのサブオクターブのトニックを結合すると、1:2:3:4:5:6 となり、ベース音の最も低い 6 つの自然倍音がすべて揃います。[要出典]
7 制限
12 ETの第7高調波の近似値（ 7 /4）は約半音の3分の1ずれています。誤差が半音の4分の1より大きいため、12 ETの7つの限界音程は調子が狂って聞こえる傾向があります。三全音分数では 7 /5と 10 /7、第 5 倍音と第 7 倍音の誤差は部分的に相殺されるため、正確な分数は平均律の等価音の半音の 4 分の 1 以内に収まります。[引用が必要]
11と13の制限
第11倍音（ 11 /8）、551.32セントは、12ETの最も近い2つの平均律のほぼ中間に位置し、どちらにも近似されていません。実際、 11 /8 は、12 ET では平均律の近似値からほぼ離れています。第 13 倍音 ( 13 /8）、短6度より半音の2/5高い音程も、ほぼ同じくらい不正確です。これは、分数 13 /11およびその反転（ 22 /13）は正確に近似（具体的には 3 つの半音）されており、11 番目と 13 番目の倍音の誤差はほぼ相殺されるため、四分音や微分音に馴染みのないほとんどの人は 11 番目と 13 番目の倍音に馴染みがありません。同様に、11 番目または 13 番目の倍音の誤差は 7 番目の倍音の誤差によってほぼ相殺されますが、12 ET では正確に近似されないため、ほとんどの西洋音楽家は結果として得られる分数が子音であるとは思わないでしょう。[引用が必要]
17と19の制限
第17倍音（ 17 /16）は、12 ET の半音より約 5 セントだけ高い音です。これを 12 ET の第 3 倍音の近似値と組み合わせると、 17 /12 、これは、 の次のペル近似として、 7 /5、平均律の三全音（2の平方根）からわずか3セントほど離れており、 17 /9、これは 12 ET の長七度からわずか 1 セントしか離れていません。19 次倍音は 12 ET の半音のうち 3 つより約 2.5 セント低いだけなので、同様に第 3 倍音と組み合わせて を生成することができます。 19 /12、これは平均律の短6度よりも約4.5セント低く、 19 /18、これは半音より約6.5セント低い。しかし、17と19は子音比としてはかなり大きく、ほとんどの人は17の限界音程と19の限界音程に馴染みがないため、17の限界音程と19の限界音程はほとんどの目的には役に立たず、12 ETのどの子音にも役割を果たしているとは判断されない可能性が高い。[要出典]
テーブル
次の表では、さまざまな純正律の音程の大きさを平均律の音程と比較し、比率とセントで示しています。6セント未満の差はほとんどの人にはわかりませんが、1/4音以上（この場合は25セント）の音程は、調子が狂っているように聞こえます。[引用が必要]
カンマ
12-ETはいくつかのコンマを消去します。つまり、 に近い分数がいくつかあるということです。 1 /1として扱われる 1 /1 12-ET では、異なる分数を同じ平均律の音程にマッピングするため、729/512（ 3 6 /2 9）および 1024 /729（ 2 10 /3 6）はそれぞれ三全音にマッピングされるため、名目上は同じ音程として扱われます。したがって、それらの商、531441/ 524288 （ 3 12 /2 19）はユニゾンとしてマッピング/扱われます。これはピタゴラスコンマであり、12-ET の唯一の 3 限界コンマです。ただし、プライム限界を増やしてより多くの間隔を含めると、コンマの数が増えます。12-ET で最も重要な 5 限界コンマはです。81/ 80 （3 4/ 2 4 × 5 1 ）、これはシントニックコンマとして知られ、ピタゴラスの 3 度と 6 度とそれらの正確な対応との間の因数です。12-ET の他の 5 制限コンマには次のものがあります。
- 分裂: 32805/ 32768 = 3 8 × 5 1 /2 15 = ( 531441/ 524288 ) 1 × ( 81/ 80 ) −1
- ディアスキスマ: 2048/ 2025 = 2 11/ 3 4 × 5 2 = ( 531441/ 524288 ) −1 × ( 81/ 80 ）2
- 小形代名詞: 128/ 125 = 2 7 /5 3 = ( 531441/ 524288 ) −1 × ( 81/ 80 ）3
- 大日如来: 648/ 625 = 2 3 × 3 4 /5 4 =( 531441/ 524288 ) −1 × ( 81/ 80 ）4
12-ETが和らげる7つの限界コンマのうちの1つは、七分音符のkleismaで、これは225/ 224 、または 3 2 ×5 2 /2 5 ×7 1 . 12-ET のその他の 7 制限コンマは次のとおりです。
- 7 進セミコンマ: 126/ 125 = 2 1 × 3 2 × 7 1 /5 3 = ( 81/ 80 ) 1 × ( 225/ 224 ) −1
- アルキタスのカンマ: 64/ 63 = 2 6/ 3 2 × 7 1 = ( 531441/ 524288 ) −1 × ( 81/ 80 ) 2 × ( 225/ 224 ）1
- 七分音: 36/ 35 = 2 2 × 3 2 /5 1 ×v7 1 = ( 531441/ 524288 ) −1 × ( 81/80 ) 3 × ( 225/ 224 ）1
- ジュビリスマ: 50/ 49 = 2 1 × 5 2 /7 2 = ( 531441/ 524288 ) −1 × ( 81/ 80 ) 2 × ( 225/ 224 ）2
同様のチューニングシステム
歴史的には、12-TEDO のわずかなバリエーションとみなせる複数の調律システムが使用されてきた。1 オクターブあたり 12 の音があるが、音程のサイズに多少のばらつきがあるため、音の間隔は均等ではない。その一例は、平均律の完全五度 700 セントを、純正律の完全五度 701.955 セントに置き換えた 3 限界音階である。2 つの音程の差は 2 セント未満、つまり1 オクターブの600 分の1未満であるため、2 つの音階は非常によく似ている。実際、中国では、何成天が 12-TEDO のシーケンスを作成する少なくとも 1 世紀前に、 3 限界純正律を開発していた。[38]同様に、古代ギリシャ人が考案したピタゴラス音律は、ルネッサンス期までヨーロッパで主流のシステムであったが、81 ⁄ 64 [39]などの不協和音程は、 5 ⁄ 4などのより単純な比率に調律することでより協和音にできることにヨーロッパ人が気づき、その結果、音程のサイズをわずかに変更しながらも12-TEDOの近似値と見なせる一連のミーントーン音律がヨーロッパで開発された。ミーントーン音律は、1つの異名同音の完全5度に誤差を集中させ、非常に不協和になる傾向があるため、アンドレアス・ヴェルクマイスター、ヨハン・フィリップ・キルンベルガー、フランチェスコ・アントニオ・ヴァロッティ、トーマス・ヤングなどのヨーロッパの音楽理論家は、最も影響を受けた音程の不協和を減らすためにコンマを分割することを目標としたさまざまなウェル音律を考案した。ヴェルクマイスターとキルンベルガーはそれぞれ最初の音律に満足せず、複数の音律を考案しました。後者の音律は前者の音律よりも平均律に近いものでした。同様に、ヨーロッパ全体では、中全音律とウェル音律から、今日でも使用されている 12 音律へと徐々に移行していきました。
サブセット
セリアリズムなどの一部の音楽では12-TEDO の 12 音すべてを使用しますが、ほとんどの音楽ではスケールと呼ばれる 12-TEDO の特定のサブセットの音のみを使用します。スケールにはさまざまな種類があります。
12-TEDO で最も人気のあるスケールの種類はミーントーンです。ミーントーンとは、すべての音が五度圏上で連続しているスケールのことです。ミーントーン スケールにはさまざまなサイズがあり、使用されるミーントーン スケールには、5 音ミーントーン、7 音ミーントーン、9 音ミーントーンなどがあります。ミーントーンは、西洋楽器の設計に存在します。たとえば、ピアノとその前身の楽器の鍵盤は、白鍵が 7 音ミーントーン スケールを形成し、黒鍵が 5 音ミーントーン スケールを形成するように構成されています。別の例として、少なくとも 5 本の弦を持つギターやその他の弦楽器は、通常、開放弦が 5 音ミーントーン スケールを形成するように調律されています。
12-TEDO で使用されるその他のスケールには、上昇メロディックマイナースケール、ハーモニックマイナー、ハーモニックメジャー、ディミニッシュスケール、インスケールなどがあります。
参照
参考文献
脚注
- ^ 十二音平均律（12-TET）、12音オクターブ均等分割（12-TEDO）、2/1の12均等分割（12-ED2）、12オクターブ均等分割（12-EDO ）とも呼ばれる。西洋諸国では非公式に十二均等と略されるか、修飾語なしで平均律と呼ばれる。
- ^ ヨーロッパの音楽の調律が12ETに近づくにつれて、音楽のスタイルが変化し、12ETの欠陥が目立たなくなったのは偶然ではないと思われますが、実際の演奏では、演奏者の調律の適応によってこれらの欠陥が軽減されることがよくあることを念頭に置く必要があります。[要出典]
引用
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さらに読む
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- Surjo Diningrat, W.、Sudarjana, PJ、および Susanto, A. (1972)ジョグジャカルタとスラカルタにおける優れたジャワのガムランの音色測定、ガジャマダ大学出版局、ジョグジャカルタ 1972。 https://web.archive.org/web/20050127000731/http://web.telia.com/~u57011259/pelog_main.htm。 2006 年 5 月 19 日に取得。
- スチュワート、PJ（2006）「銀河から銀河へ：天体の音楽」[1]
- 音の感覚 ヘルマン・フォン・ヘルムホルツによる音響学と音の知覚に関する基礎的な著作。特に付録 XX: 翻訳者による追加、430～556 ページ、(pdf 451～577 ページ)]
外部リンク
- EDO と平均律に関する Xenharmonic wiki
- ホイヘンス・フォッカー財団微分音音楽センター
- A.オルランディーニ: 音楽音響
- 「気質」チェンバース氏の百科事典の補遺（1753年）より
- バルビエリ、パトリツィオ。調和のとれた楽器と音楽、1470 ～ 1900 年 2009 年 2 月 15 日にウェイバック マシンにアーカイブ。 (2008) ラティーナ、イル レヴァンテ リブレリア エディトリス
- フラクタル微分音音楽、ジム・ククラ。
- JSバッハと音律に関する18世紀のすべての引用
- ドミニク・エッカーズリー：「ロゼッタ再考：バッハの非常に平凡な音律」
- ヴェルクマイスターの定義に基づくウェル調律
- スケールの好ましい基数 P ETER B UCH著