フリードマン数

フリードマン数は、与えられた記数法で表され、その整数のすべての桁を 4 つの基本的な算術演算子 (+、-、​​×、÷)、加法逆数、括弧、累乗、連結のいずれかと組み合わせて使用​​する非自明な式の結果です。ここで、非自明とは、連結以外の少なくとも 1 つの演算が使用されることを意味します。先頭にゼロを付けると、024 = 20 + 4 などの自明なフリードマン数になってしまうため、先頭にゼロは使用できません。たとえば、347 は10 進記数法では347 = 7 ³ + 4 であるため、フリードマン数です。10 進フリードマン数は次のとおりです。

25、121、125、126、127、128、153、216、289、343、347、625、688、736、1022、1024、1206、1255、1260、1285、1296、1395、 1435、1503、1530、1792、1827、2048、2187、2349、2500、2501、2502、2503、2504、2505、2506、2507、2508、2509、2592、 2737、2916、 ...（OEISの配列A036057）。

フリードマン数は、現在は引退したステッソン大学の数学教授であり、趣味で数学を趣味としていたエリック・フリードマンにちなんで名付けられました。

フリードマン素数とは、素数でもあるフリードマン数です。10 進数のフリードマン素数は次のとおりです。

127、347、2503、12101、12107、12109、15629、15641、15661、15667、15679、16381、16447、16759、16879、19739、21943、 27653、28547、28559、29527、29531、32771、32783、35933、36457、39313、39343、43691、45361、46619、46633、46643、 46649、46663、 46691、48751、48757、49277、58921、59051、59053、59263、59273、64513、74353、74897、78163、83357、...（OEISの配列A112419）。

最初のいくつかのフリードマン数の表現は次のとおりです。

ナイスフリードマン数とは、式内の数字を数自体と同じ順序に並べることができるフリードマン数です。たとえば、127 = 2 ⁷ − 1 は 127 = −1 + 2 ^{7と並べることができます。最初の}ナイスフリードマン数は次のとおりです。

127、343、736、1285、2187、2502、2592、2737、3125、3685、3864、3972、4096、6455、11264、11664、12850、13825、14641、 15552、15585、15612、15613、15617、15618、15621、15622、15623、15624、15626、15632、15633、15642、15645、15655、 15656、15662、 15667、15688、16377、16384、16447、16875、17536、18432、19453、19683、19739（OEISの配列A080035）。

ナイスフリードマン素数とは、素数でもあるナイス フリードマン数のことです。最初のナイス フリードマン素数は次のとおりです。

127、15667、16447、19739、28559、32771、39343、46633、46663、117619、117643、117763、125003、131071、137791、147419、 156253、156257、156259、229373、248839、262139、262147、279967、294829、295247、326617、466553、466561、466567、 585643、 592763、649529、728993、759359、786433、937577（OEISの配列A252483）。

マイケル・ブランドは、自然数におけるフリードマン数の密度は 1 であることを証明しました。 ^[1]つまり、1 からn の間でランダムかつ一様に選択された数がフリードマン数である確率は、 n が無限大に近づくにつれて 1 に近づきます。この結果は、任意の表現基数のフリードマン数に当てはまります。彼はまた、同じことが 2 進数、3 進数、4 進数のナイス フリードマン数にも当てはまることを証明しました。^[2] 10 進数のナイス フリードマン数の場合はまだ未解決です。

ヴァンパイア数はフリードマン数のサブセットであり、唯一の演算は桁数が同じ 2 つの数の乗算です (例: 1260 = 21 × 60)。

通常、 2 桁のフリードマン数は 3 桁のフリードマン数より少なく、任意の基数でより多く存在しますが、 2 桁のフリードマン数の方が見つけやすいです。 2 桁の数をmb + nと表す場合( bは基数、m、nは 0 からb −1までの整数)、 mとnの可能な組み合わせのそれぞれをmb + n = m ⁿおよびmb + n = n ^mという等式に対してチェックするだけで、どれが正しいかがわかります。 m + nまたはm × nについては気にする必要はありません。 n < bの場合、これらは常にmb + nより小さくなるためです。 m − nおよびm / nについても同じことが当てはまります。

フリードマン数は、10 以外の基数にも存在します。たとえば、11001 _{2 = 25 は、} 2 進数システムでは11001 = 101 ¹⁰となるため、フリードマン数です。

他の小さな基数における最初のいくつかの既知のフリードマン数を、それぞれの基数で書き下して以下に示す。太字で示された数字は良いフリードマン数である。^[3]

ベースでは、 ${\displaystyle b=mk-m}$

${\displaystyle b^{2}+mb+k=(mk-m+m)b+k=mbk+k=k(mb+1)}$

はフリードマン数である（基数1 mk = k × m 1と表記される）。^[4]${\displaystyle b}$

ベースでは、 ${\displaystyle b>2}$

${\displaystyle {(b^{n}+1)}^{2}=b^{2n}+2{b^{n}}+1}$

はフリードマン数である（100...00200...001 = 100..001 ²と表記され、各非ゼロ数の間にはゼロが入る）。^[4]${\displaystyle b}$${\displaystyle n-1}$

ベースでは、 ${\displaystyle b={\frac {k(k-1)}{2}}}$

${\displaystyle 2b+k=2\left({\frac {k(k-1)}{2}}\right)+k=k^{2}-k+k=k^{2}}$

はフリードマン数（ 2 k = k ²と表記される）である。2 k × b ^{2 n}の形式の数はすべて、n個の 0 を持つk 000...000 ²と表記できることから、任意の長さの連続するフリードマン数の列を見つけることができる。たとえば、、または10 進数では、250068 = 500 ^{2 + 68 となり、そこから}10 進数での連続するフリードマン数の範囲が 250000 から 250099 であることが簡単にわかる。^[4]${\displaystyle b}$${\displaystyle k=5}$

反復数字フリードマン数:

• フリードマン数である8 を基数とする最小の繰り返し数字は 33 = 3 ³です。
• フリードマン数と考えられる10進数の最小の繰り返し数は99999999 = (9 + 9/9) ^9−9/9 − 9/9である。^[4]
• 少なくとも22桁の繰り返し数字は良いフリードマン数であることが証明されている。 ^[4]

あらゆる基数において素フリードマン数は無限に存在する。なぜなら、基数 に対して${\displaystyle 2\leq b\leq 6}$

${\displaystyle n\times 10^{1111}+11111111=n\times 10^{1111}+10^{1000}-1+0+0}$2進数

${\displaystyle n\times 10^{102}+1101221=n\times 10^{102}+2^{101}+0+0}$3進数で

${\displaystyle n\times 10^{20}+310233=n\times 10^{20}+33^{3}+0}$4進数

${\displaystyle n\times 10^{13}+2443111=n\times 10^{4+4}+(2\times 3)^{11}}$5進数

${\displaystyle n\times 10^{13}+25352411=n\times 10^{2\times 5-1}+(5+2)^{(3+4)}}$6進数

数字の 基数${\displaystyle 7\leq b\leq 10}$

${\displaystyle n\times 10^{60}+164351=n\times 10^{60}+(10+4-3)^{5}+0+0+\ldots }$7進数では、

${\displaystyle n\times 10^{60}+163251=n\times 10^{60}+(10+3-2)^{5}+0+0+\ldots }$8進数では、

${\displaystyle n\times 10^{60}+162151=n\times 10^{60}+(10+2-1)^{5}+0+0+\ldots }$9進数では、

${\displaystyle n\times 10^{60}+161051=n\times 10^{60}+(10+1-0)^{5}+0+0+\ldots }$10進数では、

そしてベース${\displaystyle b>10}$

${\displaystyle n\times 10^{50}+{\text{15AA51}}=n\times 10^{50}+(10+{\text{A}}/{\text{A}})^{5}+0+0+\ldots }$

はすべての に対してフリードマン数です。この形式の数は等差数列 であり、と は底に関係なく互いに素であり、 と は常に互いに素であるため、等差数列に関するディリクレの定理により、数列には無限個の素数が含まれます。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle pn+q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle b}$${\displaystyle b+1}$

簡単に言えば、複数の記号を持つローマ数字はすべてフリードマン数です。この表現は、数字に + 記号を挿入するだけで作成され、場合によっては記号の順序をわずかに変更して - 記号を挿入することもあります。

式に他の演算子がいくつか使用されているローマ数字のフリードマン数に関する研究がいくつか行われています。最初に発見されたそのような適切なローマ数字のフリードマン数は 8 で、VIII = (V - I) × II です。他にもそのような重要な例が見つかっています。

ローマ数字で非自明なフリードマン数を見つける難しさは、数の大きさ（位置表記法の番号システムの場合）ではなく、その数に含まれる記号の数に応じて増大します。たとえば、ローマ数字で 147 (CXLVII) がフリードマン数であるかどうかを判断するのは、1001 (MI) で同じ判断をするよりもはるかに困難です。ローマ数字を使用すると、少なくとも、発見した新しい式からかなりの数のフリードマン式を導き出すことができます。8 は非自明なローマ数字のフリードマン数であるため、VIII で終わるすべての数もそのようなフリードマン数であることがわかります。

• OEISシーケンス A036057 (フリードマン数)
  • オンライン整数列百科事典のその他のフリードマン数
• 「フリードマン数」。Github。今月の問題。2000 年 8 月。
• ブランド、マイケル (2013年11 月)。「フリードマン数は密度 1 を持つ」。離散応用数学。161 (16–17): 2389–2395。doi : 10.1016/ j.dam.2013.05.027。
• OEISシーケンス A119710 (ラジカルナルシシズム数)
  • 「かなりワイルドなナルシスティックな数 - 勝つ数」。理論研究所。フリードマン数の拡張