数字間の完全な不変量

数論において、桁間の完全不変量（PDDI 、ミュンヒハウゼン数^[1]とも呼ばれる）は、与えられた基数において、各桁をその桁の累乗した合計に等しい自然数である。基数10の例は3435で、これは である。「ミュンヒハウゼン数」という用語は、2009年にオランダの数学者でソフトウェアエンジニアのダーン・ファン・ベルケルによって造られた。 ^[2]これは、各桁をその桁の累乗で表すことにより、ミュンヒハウゼン男爵が自分のポニーテールで身を起こすという物語を思い起こさせる。 ^{[3] [4]} ${\displaystyle b}$${\displaystyle 3435=3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}}$

を、各桁がからまで（両端を含む）のk 桁の数字として基数で表すことができる自然数とし、関数を と定義します。（0 ⁰は通常は定義されていないため、通常は 2 つの規則が使用され、1 つが 1 に等しいとみなされる場合と、もう 1 つが 0 に等しいとみなされる場合です。^{[5] [6]}）自然数は、 の場合、基数 b で完全な桁間不変であると定義されます。たとえば、数 3435 は、 であるため、基数 10 で完全な桁間不変です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle b}$${\displaystyle d_{k-1}d_{k-2}...d_{1}d_{0}}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle b-1}$${\displaystyle n=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}b^{i}}$${\displaystyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$${\displaystyle F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}{d_{i}}^{d_{i}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}(n)=n}$${\displaystyle 3^{3}+4^{4}+3^{3}+5^{5}=27+256+27+3125=3435}$

${\displaystyle F_{b}(1)=1}$すべての に対して であり、したがって 1 はすべての基数において自明な完全な数字間の不変量であり、他のすべての完全な数字間の不変量は非自明です。 である 2 番目の規則では、 と は両方とも自明な完全な数字間の不変量です。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle 0^{0}=0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

自然数がに対して周期点である場合、その自然数は社交的な数字間不変量です。ここで、正の整数 に対して、 は周期 のサイクルを形成します。完全数字間不変量は、 を満たす社交的な数字間不変量です。友好的な数字間不変量は、 を満たす社交的な数字間不変量です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle F_{b}^{k}(n)=n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k=1}$${\displaystyle k=2}$

すべての自然数は、基数に関係なく、について前周期点です。これは、を基数とする桁を持つすべての自然数が を満たすためです。しかし、 のとき、 となるので、まで任意の がを満たします。 未満の自然数は有限個存在するため、 は 未満の周期点または固定点に到達することが保証され、前周期点となります。これはまた、任意の基数 について、桁間の完全な不変量と周期が有限個存在することを意味します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle k}$${\displaystyle b^{k-1}\leq n\leq (k){(b-1)}^{b-1}}$${\displaystyle k\geq b+1}$${\displaystyle b^{k-1}>(k){(b-1)}^{b-1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n>F_{b}(n)}$${\displaystyle n<b^{b+1}}$${\displaystyle b^{b+1}}$${\displaystyle b^{b+1}}$${\displaystyle b}$

固定点に到達するために必要な反復回数は、-factorion 関数の の持続性であり、固定点に到達しない場合は未定義になります。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle F_{b}^{i}(n)}$${\displaystyle b}$${\displaystyle n}$

すべての数値は 基数で表されます。 ${\displaystyle b}$

次のPythonプログラムは、規則に従って、整数がミュンヒハウゼン数 / 完全桁間不変であるかどうかを判断します。 ${\displaystyle 0^{0}=1}$

num  =  int ( input ( "数字を入力してください:" )) 
temp  =  num 
s  =  0.0 
while  num  >  0 : 
     digit  =  num  %  10 
     num  //=  10 
     s +=  pow ( digit ,  digit )
     
if  s  ==  temp : 
    print ( "ミュンヒハウゼン数" ) 
else : 
    print ( "ミュンヒハウゼン数ではない" )

以下の例では、上記の定義で説明した完全な数字間の不変関数を実装し、2 つの規則について Pythonで完全な数字間の不変量と循環を検索します。

def  pddif ( x :  int ,  b :  int )  ->  int : 
    total  =  0 
    while  x  >  0 : 
        total  =  total  +  pow ( x  %  b ,  x  %  b ) 
        x  =  x  //  b
    合計を返す 

def  pddif_cycle ( x :  int ,  b :  int )  - >  list [ int ] 
    : seen  =  [ ] 
    while  x  not  in  seen : 
        seen.append ( x ) x = pddif ( x , b ) cycle = [ ] while x not in cycle : cycle.append ( x ) x = pddif ( x , b ) return cycle
           
      
        
        
           
     

def  pddif ( x :  int ,  b :  int )  ->  int : 
    total  =  0 
    while  x  >  0 : 
        if  x  %  b  >  0 : 
            total  =  total  +  pow ( x  %  b ,  x  %  b ) 
        x  =  x  //  b
    合計を返す 

def  pddif_cycle ( x :  int ,  b :  int )  - >  list [ int ] 
    : seen  =  [ ] 
    while  x  not  in  seen : 
        seen.append ( x ) x = pddif ( x , b ) cycle = [ ] while x not in cycle : cycle.append ( x ) x = pddif ( x , b ) return cycle
           
      
        
        
           
     

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• パーカー、マット。「3435」。Numberphile。ブレイディ・ハラン。2017年4月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2013年4月1日閲覧。