対称空間

カルタン・アンブローズ・ヒックスの定理によれば、Mが局所的にリーマン対称であるのは、その曲率テンソルが共変的に一定である場合に限る。さらに、単連結で完備な局所的にリーマン対称な空間はすべて実際にリーマン対称である。

すべてのリーマン対称空間Mは完備かつリーマン均質である（つまり、Mの等長変換群がMに推移的に作用する）。実際、Mは連結であるため、等長変換群の恒等成分はすでにMに推移的に作用する。

局所的にリーマン対称であるがリーマン対称ではない空間は、不動点を持たない離散的な等長変換群によるリーマン対称空間の商空間として、また（局所的に）リーマン対称空間の開部分集合として構成することができる。

リーマン対称空間の基本的な例としては、ユークリッド空間、球面、射影空間、双曲空間などがあり、それぞれに標準的なリーマン計量が存在する。さらに、双不変リーマン計量を備えたコンパクトで半単純なリー群も例として挙げられる。

種数が 1 より大きいコンパクトリーマン面(通常の計量である定曲率− 1 を持つ) は、局所的に対称な空間ではあるが、対称な空間ではない。

すべてのレンズ空間は局所的に対称ですが、対称ではありません。ただし、${\displaystyle L(2,1)}$これは対称である。レンズ空間は、固定点を持たない離散的な等長変換による3次元球面の商空間である。

リーマン対称空間ではないものの一例として、反ド・ジッター空間が挙げられる。

単連結なリーマン対称空間は、 2つ以上のリーマン対称空間の積で表せない場合に既約であると言われる。そして、任意の単連結なリーマン対称空間は、既約なリーマン対称空間の積であることが示される。したがって、既約な単連結なリーマン対称空間のみを分類することに限定すればよい。

次のステップは、任意の既約かつ単連結なリーマン対称空間Mが、以下の3つのタイプのいずれかであることを示すことです。

1. ユークリッド型: Mは曲率がゼロであり、したがってユークリッド空間と等長です。
2. コンパクト型：Mは非負（ただし完全にゼロではない）の断面曲率を持つ。
3. 非コンパクト型：Mは非正（ただし、完全にゼロではない）の断面曲率を持つ。

より洗練された不変量はランクであり、これは接空間（任意の点）の部分空間のうち、曲率が恒等的にゼロとなる部分空間の最大次元である。ランクは常に少なくとも 1 であり、断面曲率が正か負かに関わらず等しい。曲率が正の場合、空間はコンパクト型であり、負の場合、非コンパクト型である。ユークリッド型の空間は、その次元に等しいランクを持ち、その次元のユークリッド空間と等長である。したがって、コンパクト型と非コンパクト型の既約で単連結なリーマン対称空間を分類する必要がある。どちらの場合も 2 つのクラスがある。

A. Gは（実）単純リー群である。

B. Gは、コンパクト単純リー群とそれ自身との積（コンパクト型）か、そのようなリー群の複素化（非コンパクト型）のいずれかである。

クラス B の例は、単純リー群の分類によって完全に説明されます。コンパクト型の場合、Mはコンパクト単連結単純リー群、GはM × M、Kは対角部分群です。非コンパクト型の場合、Gは単連結複素単純リー群、Kはその最大コンパクト部分群です。どちらの場合も、ランクはGのランクです。

コンパクト単連結リー群は、古典リー群 SO( n ) 、SU( n ) 、Sp( n ) および 5 つの例外リー群E ₆、E ₇、E ₈、F ₄、G ₂の普遍被覆です。

クラス A の例は、非コンパクト単連結実単純リー群の分類によって完全に記述されます。非コンパクト型の場合、Gはそのような群であり、Kはその最大コンパクト部分群です。このような各例には、 Kを含むGの複素化の最大コンパクト部分群を考えることによって、対応するコンパクト型の例があります。より直接的には、コンパクト型の例は、コンパクト単連結単純リー群Gの対合的自己同型（共役を除いて）によって分類されます。このような対合はGの複素化の対合に拡張され、これらはさらにGの非コンパクト実形式を分類します。

したがって、クラスAとクラスBの両方において、コンパクト型の対称空間と非コンパクト型の対称空間の間には対応関係が存在する。これはリーマン対称空間における双対性として知られている。

カルタンは、クラスAおよびコンパクト型のリーマン対称空間に特化して、以下の7つの無限級数と12の例外的なリーマン対称空間G / Kが存在することを発見した。これらは、 GとKを用いて、容易に入手可能な場合は幾何学的解釈とともにここに示されている。これらの空間のラベル付けは、カルタンによるものである。

より現代的な分類（Huang & Leung 2010 ）では、コンパクトと非コンパクトの両方のリーマン対称空間を、フロイデンタールの魔方陣構成によって一律に分類している。既約コンパクトリーマン対称空間は、有限カバーを除いて、コンパクト単純リー群、グラスマン多様体、ラグランジュグラスマン多様体、または部分空間の二重ラグランジュグラスマン多様体のいずれかである。${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{n},}$ノルム付き除法代数AおよびBの場合。同様の構成により、既約非コンパクトリーマン対称空間が得られる。

リーマン対称空間の分類は、対称空間を既約要素の積に一般的に分割することができないという単純な理由から、一般の場合に容易には拡張できない。ここで、リー代数を持つ対称空間G / Hがある。

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}}$

は、以下の条件を満たす場合に既約であると言われます。${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$は還元不可能な表現である${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$。 以来 ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$一般的に半単純（あるいは還元的）ではなく、既約ではない分解不可能な表現を持つ可能性がある。

しかし、既約対称空間は分類することができる。野水勝己が示したように、二分法が存在する。既約対称空間G / Hは平坦（すなわちアフィン空間）であるか、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は半単純である。これは、ユークリッド空間とコンパクト型または非コンパクト型の空間との間のリーマン二分法の類似物であり、M. Berger が半単純対称空間 (すなわち、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ 半単純）であり、これらのうちどれが既約であるかを決定します。後者の問題は、リーマンの場合よりも微妙です。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$単純な場合、G / H は既約ではない可能性があります。

リーマンの場合と同様に、G = H × Hとなる半単純対称空間が存在する。任意の半単純対称空間は、この形式の対称空間と、次のような対称空間の積である。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$これは単純である。残るは後者の場合を記述することである。そのためには、（実）単純リー代数の対合σを分類する必要がある。${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$。 もし${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{c}}$単純ではないので、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は複素単純リー代数であり、対応する対称空間はG / Hの形をとります。ここでHはGの実形式です。これらは、Gが複素単純リー群、Kが極大コンパクト部分群であるリーマン対称空間G / Kの類似物です。

したがって、我々は次のように仮定することができる${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{c}}$単純です。実部分代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は、複素反線形対合τの不動点集合と見なすことができる。${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{c}}$σは、${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{c}}$τと可換であり、したがって複素線形対合σ ∘ τも存在する。

したがって、この分類は複素リー代数の反線形対合の可換ペアの分類に帰着する。合成σ∘τは複素対称空間を決定し、τは実形式を決定する。これから、任意の与えられた対称空間の表を容易に構築できる。${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{c}}$さらに、σとτを交換することで明らかな双対性が得られます。これは、σまたはτのいずれかがカルタン対合、つまりその不動点集合が極大コンパクト部分代数であるリーマン多様体の場合のコンパクト／非コンパクト双対性を拡張したものです。

以下の表は、各古典的および例外的な複素単純リー群について、実対称空間を複素対称空間および実形式によって分類したものです。

例外的な単純リー群の場合、 σ を恒等対合 (ダッシュで示す)とすることで、リーマン群の場合を明示的に以下に示します。上記の表では、これはkl = 0 の場合で暗黙的にカバーされています。

リーマン多様体M上の計量テンソルは、キリング形式と組み合わせることでG上のスカラー積に持ち上げることができる。これは、次のように定義することによって行われる。

${\displaystyle \langle X,Y\rangle _{\mathfrak {g}}={\begin{cases}\langle X,Y\rangle _{p}\quad &X,Y\in T_{p}M\cong {\mathfrak {m}}\\-B(X,Y)\quad &X,Y\in {\mathfrak {h}}\\0&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

ここ、${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{p}}$リーマン計量は、${\displaystyle T_{p}M}$、 そして${\displaystyle B(X,Y)=\operatorname {trace} (\operatorname {ad} X\circ \operatorname {ad} Y)}$はキリング形式です。マイナス記号は、キリング形式が負定値であるため表示されます。${\displaystyle {\mathfrak {h}}~;}$これにより${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{\mathfrak {g}}}$正定値。

接空間${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$キリング形式によって分類される固有空間にさらに分解することができる。^{[ 1 ]}これは随伴写像を定義することによって実現される。${\displaystyle {\mathfrak {m}}\to {\mathfrak {m}}}$取っている${\displaystyle Y\mapsto Y^{\#}}$として

${\displaystyle \langle X,Y^{\#}\rangle =B(X,Y)}$

どこ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$リーマン計量は${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$そして${\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}$はキリング形式です。この写像は、直交群の転置とユニタリ群のエルミート共役に対応するため、一般化転置と呼ばれることもあります。これは線形汎関数であり、自己共役であるため、正規直交基底が存在すると結論付けられます。${\displaystyle Y_{1},\ldots ,Y_{n}}$の${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$と

${\displaystyle Y_{i}^{\#}=\lambda _{i}Y_{i}}$

これらは計量に関して直交しており、

${\displaystyle \langle Y_{i}^{\#},Y_{j}\rangle =\lambda _{i}\langle Y_{i},Y_{j}\rangle =B(Y_{i},Y_{j})=\langle Y_{j}^{\#},Y_{i}\rangle =\lambda _{j}\langle Y_{j},Y_{i}\rangle }$

キリング形式は対称であるため、これは因数分解されます。${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$固有空間へ

${\displaystyle {\mathfrak {m}}={\mathfrak {m}}_{1}\oplus \cdots \oplus {\mathfrak {m}}_{d}}$

と

${\displaystyle [{\mathfrak {m}}_{i},{\mathfrak {m}}_{j}]=0}$

のために${\displaystyle i\neq j}$の場合${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$半単純であるため、キリング形式は非退化であり、同様に計量も因数分解される。

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle ={\frac {1}{\lambda _{1}}}\left.B\right|_{{\mathfrak {m}}_{1}}+\cdots +{\frac {1}{\lambda _{d}}}\left.B\right|_{{\mathfrak {m}}_{d}}}$

特定の実際的な応用においては、この因数分解は演算子のスペクトル、例えば水素原子のスペクトルとして解釈することができ、キリング形式の固有値は軌道の角運動量の異なる値に対応します（つまり、キリング形式は、異なる軌道が変換されるさまざまな表現を分類できるカシミール演算子です）。

対称空間の分類は、キリング形式が確定しているかどうかに基づいて行われる。

リーマン多様体のホロノミー群の単位成分が、ある点において接空間に既約的に作用する場合、その多様体は局所的にリーマン対称な空間であるか、または7つの族のいずれかに属します。

リーマン対称空間に、リーマン計量と互換性のある平行複素構造を付加的に備えたものを、エルミート対称空間と呼ぶ。例としては、通常のリーマン計量を持つ複素ベクトル空間や複素射影空間、および適切な計量によって完備かつリーマン対称となる複素単位球などが挙げられる。

既約対称空間G / Kは、 K が中心円を含む場合に限りエルミート空間となります。この円による 4分の 1 回転は、単位剰余類における接空間へのiの乗算に相当します。したがって、エルミート対称空間は分類から容易に読み取ることができます。コンパクトな場合とコンパクトな場合の両方において、AIII、p = 2の BDI 、DIII、CI という 4 つの無限級数と、EIII および EVII という 2 つの例外空間が存在することがわかります。コンパクトなエルミート対称空間は、複素ベクトル空間における有界対称領域として実現できます。

各点における虚数四元数と同型で、リーマン計量と互換性のあるEnd(T M )の平行部分束が追加的に備わっているリーマン対称空間は、四元数ケーラー対称空間と呼ばれます。

既約対称空間G / Kが四元数ケーラーであるのは、Kの等方表現に四元数ベクトル空間上の単位四元数のように作用する Sp(1) 項が含まれる場合に限る。したがって、四元数ケーラー対称空間は分類から容易に読み取ることができる。コンパクトの場合と非コンパクトな場合の両方で、各複素単純リー群、すなわちp = 2 またはq = 2 の AI (これらは同型である)、p = 4 またはq = 4 の BDI、 p = 1 またはq = 1 の CII、EII、EVI、EIX、FI、およびGに対してちょうど 1 つだけ存在することがわかる。             

ボットの周期性定理において、安定直交群のループ空間は、縮約対称空間として解釈することができる。