方向（ベクトル空間）

実ベクトル空間の向き、または単にベクトル空間の向きとは、どの順序付き基底が「正」に向き、どの基底が「負」に向きを定めるかを任意に選択することです。3次元ユークリッド空間では、右手基底は通常、正に向きを定めると宣言されますが、負の向きを割り当てることもできるため、選択は任意です。向きが選択されたベクトル空間は向き付きベクトル空間と呼ばれ、向きが選択されていないベクトル空間は向き付きベクトル空間と呼ばれます。方向感覚がない。

数学において、配向可能性はより広い概念であり、2 次元ではサイクルが時計回りか反時計回りかを指定でき、3 次元では図形が左利きか右利きかを指定できます。実数上の線型代数では、配向の概念は任意の有限次元で意味を持ち、単純な変位では反射を複製できないような一種の非対称性です。したがって、3 次元では、変位のみを適用して人物の左手を人物の右手にすることは不可能ですが、鏡で人物を反射させることで可能です。その結果、3 次元ユークリッド空間では、2 つの可能な基本配向は、右利きと左利き (または右キラルと左キラル) と呼ばれます。

V を有限次元実ベクトル空間とし、b ₁とb _{2 を}Vの2つの順序付き基底とする。線型代数の標準的な結果として、 b _1からb ₂への唯一の線型変換 A  : V → Vが存在する。 A が正の行列式を持つ場合、基底b ₁とb _{2 は}同じ向き（または一貫して向き）を持つと言われ、そうでない場合は向きが反対になる。同じ向きを持つという性質は、Vのすべての順序付き基底の集合上の同値関係を定義する。Vがゼロでない場合、この関係によって決定される同値類は正確に2つ存在する。 V上の向きは、一方の同値類に +1 を、もう一方の同値類に −1 を割り当てることである。^[1]

すべての順序基底は、いずれかの同値類に属します。したがって、Vの特権順序基底の選択によって方向が決まります。特権基底の方向類は正であると宣言されます。

たとえば、R ⁿ上の標準基底は、 R ⁿ上の標準方向を提供します(つまり、標準基底の方向は、それが構築されている直交座標系の方向に依存します)。 VとR ⁿ間の線形同型を選択することで、 V上の方向が提供されます。

基底の要素の順序は重要です。順序が異なる 2 つの基底は、何らかの順列によって異なります。この順列のシグネチャが ±1 であるかどうかによって、基底の向きが同じか反対かが決まります。これは、順列行列の行列式が、関連する順列のシグネチャと等しいためです。

同様に、A をベクトル空間R ⁿからR ⁿへの非特異線型写像とする。この写像は、その行列式が正であれば方向保存写像である。 ^[2]たとえば、R ^3では、 Z直交軸の周りの角度αの回転は方向保存であるが、 XY直交平面 による反射は方向保存ではない。 $${\displaystyle \mathbf {A} _{1}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix} }}$$$${\displaystyle \mathbf {A} _{2}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}}$$

方向の概念は、ゼロ次元の場合に退化します。ゼロ次元ベクトル空間には、ゼロベクトルという単一の点しかありません。したがって、ゼロ次元ベクトル空間の唯一の基底は空集合です。したがって、順序付き基底の同値類は 1 つ、つまり、空集合のみをメンバーとする類が存在します。これは、ゼロ次元空間の方向が関数であることを意味します。 したがって、点を正と負の 2 つの異なる方法で方向付けることが可能です。 ${\displaystyle \emptyset}$${\displaystyle \{\emptyset \}}$$${\displaystyle \{\{\emptyset \}\}\to \{\pm 1\}.}$$

順序付き基底は 1 つしかないため、ゼロ次元ベクトル空間は順序付き基底を持つゼロ次元ベクトル空間と同じです。またはを選択すると、すべてのゼロ次元ベクトル空間のすべての基底の向きが選択されます。すべてのゼロ次元ベクトル空間にこの向きが割り当てられると、ゼロ次元ベクトル空間間のすべての同型は順序付き基底を保存するため、向きも保存されます。これは、すべての同型の下で保存されるように向きを選択する方法がない高次元ベクトル空間の場合とは異なります。 ${\displaystyle \emptyset}$${\displaystyle \{\emptyset \}\mapsto +1}$${\displaystyle \{\emptyset \}\mapsto -1}$

ただし、異なる点に異なる方向を与えることが望ましい状況もあります。たとえば、ストークスの定理の例として微積分学の基本定理を考えてみましょう。閉区間[ a , b ] は境界を持つ1 次元多様体であり、その境界は集合{ a , b }です。微積分学の基本定理を正しく記述するには、点b を正の方向に、点a を負の方向に向ける必要があります。

1 次元の場合は、2 つの方向のいずれかに横断できる有向線または方向付けられた線を扱います。実座標空間では、有向線は軸とも呼ばれます。^[3]有向円に 2 つの方向 (時計回りと反時計回り) があるのと同じように、線にも 2 つの方向があります。半無限の有向線は光線と呼ばれます。線分(直線の接続された部分集合)の場合、2 つの可能な方向により有向線分が生成されます。

方向付け可能なサーフェスでは、サーフェス法線の方向によって選択された方向が示される場合があります。方向付けされた平面は、疑似ベクトルによって定義できます。

任意のn次元実ベクトル空間Vに対して、 Vのk番目の外冪を形成でき、 Λ ^k Vと表記します。これは、次元 の実ベクトル空間です。ベクトル空間 Λ ⁿ V (上外冪と呼ばれる) は、したがって次元 1 を持ちます。つまり、 Λ ⁿ Vは単なる実線です。この線上のどの方向が正であるかについての先験的な選択はありません。向きはまさにそのような選択です。 Λ ⁿ V上の任意の非ゼロ線型形式ω は、 ω ( x ) > 0 のときにxが正の方向にあると宣言することによって、 Vの向きを決定します。基底の観点と関連付けて、正に向き付けられた基底は、ω が正の数に評価される基底であると言います ( ωはn形式であるため、 nベクトルの順序付きセット上で評価でき、 Rの要素が得られます)。形式ωは向き付け形式と呼ばれます。 { e _i } がVの特権基底であり、{ e _i ^∗ } が双対基底である場合、標準的な向きを与える向き形式はe ₁ ^∗ ∧ e ₂ ^∗ ∧ … ∧ e _n ^∗です。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

これを行列式の観点と結びつけると、自己準同型 の行列式は、最上位の外積に対する誘導作用として解釈できる、ということになります。 ${\displaystyle T:V\to V}$

B をVのすべての順序付き基底の集合とします。すると、一般線型群GL( V )はBに対して自由に推移的に作用します(専門用語で言えば、Bは GL( V )-トルソルです)。これは、多様体として、Bが (非標準的に) GL( V )と同相であることを意味します。群 GL( V ) は連結ではなく、変換の行列式が正か負かに応じて2 つの連結成分を持つことに注意してください (ただし、自明な群である GL ₀は連結成分が 1 つしかなく、これは 0 次元ベクトル空間上の標準方向に対応します)。GL( V ) の恒等成分はGL ⁺ ( V )で表され、正の行列式を持つ変換で構成されます。 GL ⁺ ( V ) のBへの作用は推移的ではありません。つまり、 Bの連結成分に対応する 2 つの軌道があります。これらの軌道は、まさに上で言及した同値類です。B には特別な元 (つまり、優先基底) がないので、どの成分が正であるかの自然な選択はありません。これを、優先成分 (恒等基底の成分) を持つGL( V ) と比較してください。Bと GL( V )の間の同相写像の特定の選択は、優先基底の選択と同等であり、したがって方向を決定します。

より正式には、 であり、のnフレームのStiefel 多様体は-トルサーであるため、上のトルサー、つまりその 2 点も であり、そのうちの 1 つを選択することが方向付けです。 ${\displaystyle \pi _{0}(\オペレータ名 {GL} (V))=(\オペレータ名 {GL} (V)/\オペレータ名 {GL} ^{+}(V)=\{\pm 1\} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$${\displaystyle V_{n}(V)/\オペレータ名 {GL} ^{+}(V)}$${\displaystyle \{\pm 1\}}$

幾何代​​数のさまざまな対象には、姿勢、方向、大きさという3 つの属性または特徴が課せられています。 ^[5]たとえば、ベクトルの姿勢はそれに平行な直線によって与えられ、方向は方向 (矢印で示されることが多い) によって与えられ、大きさは長さによって与えられます。同様に、3 次元の 2ベクトルの姿勢はそれに関連付けられた平面の族によって与えられ (これらの平面に共通する法線で指定される場合もある^{[6] )、方向 (平面内の曲がった矢印で示されることもある) は境界の横断方向 (}循環)の選択を示し、大きさは 2 つのベクトルによって定義される平行四辺形の面積によって与えられます。^[7]

n次元微分可能多様体上の各点pには、 n次元実ベクトル空間である接空間T _p Mがあります。これらのベクトル空間のそれぞれに方向を割り当てることができます。いくつかの方向は、点から点へと「滑らかに変化」します。特定の位相的制約により、これは常に可能であるとは限りません。接空間の方向を滑らかに選択できる多様体は、向き付け可能であると言われます。

• 直交座標系 – 最も一般的な座標系（幾何学）
• キラリティー（数学）  - 物体がその鏡像と一致しない性質
• 偶数順列と奇数順列 – 群論における性質リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• ベクトル束の方向付け – ベクトル空間の方向付けの一般化
• 擬似ベクトル – 不適切な回転によって符号が変わる物理量
• 3次元における回転形式 – 3D回転を表現する方法
• 右手の法則 – 3D 空間でのベクトルの方向を理解するための記憶法
• 符号規則 – 物理量が正か負かという合意された意味

• 「オリエンテーション」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]