Loading article…
『形式の法則』（以下、 LoF ）は、 G・スペンサー＝ブラウンによる著書で、1967年8月に執筆され、1969年に出版された。本書は数学と哲学の境界をまたいでいる。LoFは3つの異なる論理体系を記述している。
「境界代数」は、Meguire (2011) が提唱した、基本代数と基本算術の和集合を表す用語である。『形式の法則』では、時として「基本代数」と『形式の法則』の両方を指すことがある。
序文には、この研究が最初に試みられたのは 1959 年であると記されており、スペンサー・ブラウンは、バートランド・ラッセルが彼の取り組みを支援してくれたと述べている。[ a ]また、校正やその他の指導を手伝ってくれたユニバーシティ・カレッジ・ロンドンのJCP ミラーにも感謝している。1963 年、スペンサー・ブラウンは、ロンドン大学エクストラ・ミューラル・スタディーズ学部の物理科学の講師であるハリー・フロストから、論理の数学に関するコースを担当するよう依頼された。
LoFは、著者が1960年頃に行った電子工学の研究から生まれた。LoFの主要なアイデアは、1961年の原稿「Design with the Nor」で初めて概説されたが、この原稿は2021年まで未発表のままだった[ 1 ]。その後、ロンドン大学のエクステンション・プログラムの下で行った数学論理に関する講義でさらに洗練された。LoFはいくつかの版で出版されている。第2版は1972年に「初版アメリカ版への序文」とともに出版され、自己言及的パラドックスの使用が強調された[ 2 ]。最新版は1997年のドイツ語訳である。LoF は絶版になったことはない。
『LoF』の神秘的で雄弁な散文と、逆説への愛着は、誰にとっても読み応えのある作品となっている。スペンサー＝ブラウンはルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインとR・D・レインの影響を受けており、『LoF』にはチャールズ・サンダース・パース、バートランド・ラッセル、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドの著作から多くのテーマが反映されている。
この作品は読者層の一部に奇妙な影響を与えてきた。例えば、根拠は不明だが、本書全体が操作的な方法で書かれており、「何であるか」を読者に伝えるのではなく指示を与えている、また、G・スペンサー＝ブラウンのパラドックスへの関心に照らして、何かが「である」と述べている唯一の文は、本書ではそのような記述は使用されていないという文である、と主張されている。[ 3 ]さらに、この主張は、この1つの文を除けば、本書はEプライムの例と見なせると主張している。このような主張の動機は、動機、論理的妥当性、あるいは事実のいずれにおいても不明瞭である。なぜなら、本書では、原文と以下の引用の両方でわかるように、be動詞が全体を通して、あらゆる文法形式で日常的に自然に使用されているからである。[ 4 ]
一見すると形式的な数学と哲学の著作である『LoF』は、カルト的な名著となった。ハインツ・フォン・フェルスターは『ホール・アース・カタログ』で本書を評し、高く評価した。[ 5 ]これに賛同する人々は、 『LoF』が謎めいた「意識の数学」を体現していると指摘し、その代数的記号は、（おそらく「唯一の」）認識の根源、すなわち「区別する」能力を捉えていると主張する。『LoF』は、基本的な代数が論理学、ブール代数、算術、そして言語と心の哲学の間に驚くべきつながりを明らかにしていると主張する。
スタッフォード・ビアは1969年にネイチャー誌の書評で、「ラッセルが60年前に『プリンキピア』を書くために経験したこと、そして我々読者がその3巻の膨大な著作と格闘した経験を考えると、ほとんど悲しい気持ちになる」と書いた。[ 6 ]
バナシェフスキー（1977）[ 7 ]は、基本代数はブール代数の新しい表記法に過ぎないと主張している。実際、2要素ブール代数2は、基本代数の意図された解釈と見なすことができる。しかし、基本代数の表記法は次のとおりである。
さらに、基本代数の構文は、 2と命題論理以外の形式体系にも拡張でき、境界数学につながる。
LoFは、ハインツ・フォン・フェルスター、ルイス・カウフマン、ニクラス・ルーマン、ウンベルト・マトゥラーナ、フランシスコ・バレラ、ウィリアム・ブリッケンなど、多くの研究者に影響を与えてきた。これらの研究者の中には、基本代数を様々な興味深い方法で改良した者もいる。
LoFは、四色定理、フェルマーの最終定理、ゴールドバッハ予想など、非常に長い間知られている特定の数学的予想は、基本代数の拡張を使用して証明できると主張した。スペンサー・ブラウンは最終的に四色定理の証明とされるものを公表したが、懐疑的な反応を受けた。[ 8 ]
シンボル:
「印」または「十字」とも呼ばれるこの印は、形態の法則の本質的な特徴である。スペンサー＝ブラウンの比類なき謎めいた表現によれば、この印は認識の根源を象徴しており、すなわち、二元論的な印は「これ」を「これ以外のすべて」から区別する能力を示している。
LoFにおいて、十字は「区別」の描画を意味し、以下のすべてを同時に意味するものと考えることができます。
これら3つの方法はすべて、区別を行う認知主体（例えば、人）による行為を前提としている。LoFは次のように述べている。
「最初のコマンド:
- 区別をつける
次のように表現することができます。
- 区別を設けよう、
- 違いを見つけ、
- 違いを見てください、
- 違いを説明してください。
- 区別を定義する、
または：
- 区別をつけよう。」（LoF、第2章の注釈）
印のある状態とは対照的なのが、印のない状態である。それは単に無、空虚、あるいは空白によって表される表現不可能な無限である。それは単に十字架の不在である。区別はなく、何も交差されていない。印のある状態と空虚は、形態の法則における二つの根源的な値である。
十字架は、二つの状態、すなわち「象徴として捉えられる」状態とそうでない状態との区別を示すものと見なすことができる。この事実から、意識と言語に関するいくつかの理論との奇妙な共鳴が生じる。逆説的ではあるが、形態は観察者と観察される者の両方であり、同時に観察を行う創造的行為でもある。LoF （後書きを除く）は次の言葉で締めくくられている。
…最初の区別として、マークと観察者は互換性があるだけでなく、形式的にも同一である。
帰納法則は2つあります。
、どんな表現の上にも書き込むことができる。基本的な算術の意味論は、おそらくLoFにおける唯一の明示的な定義、「区別とは完全な自制である」に他ならない。
「無標の状態」を空虚の同義語とする。空の十字を「標示された状態」と定義する。十字を切るということは、無標の状態または標示された状態という一方の値から他方の値へ移動することを意味する。ここで、基本算術（ひいてはすべての形式法則）の基礎となる「算術的」公理A1とA2を述べることができる。
「A1. 呼び出しの法則」。ある状態から2回呼び出しを行うことは、1回呼び出しを行うことと区別がつかない。区別を2回行うことは、1回行うことと同じ効果を持つ。例えば、「光あれ」と言ってから、もう一度「光あれ」と言うことは、1回言うのと同じである。正式には：
「A2. 交差の法則」。無印状態から印付き状態へ交差した後、印付き状態から再び交差（「再交差」）すると、無印状態に戻る。したがって、再交差は交差を無効にする。正式には：
A1とA2の両方において、「=」の右側の式は「=」の左側の式よりも記号の数が少ない。これは、すべての基本算術式は、A1とA2を繰り返し適用することで、記号付き状態または記号なし状態のいずれかに簡略化できることを示唆している。実際その通りであり、その結果が式の「簡略化」である。基本算術の2つの基本的なメタ定理は、次のことを述べている。
このように、論理的同値関係は、すべての基本的な算術式を、クロスに簡略化されるものと、空に簡略化されるものの2つの同値クラスに分割します。
A1とA2は、直列回路と並列回路の特性、およびフローチャートを含むその他の図式化手法において、緩やかな類似性を持つ。A1は並列接続に対応し、A2は直列接続に対応する。ただし、この区別は、単に配線を追加するのではなく、回路内の2点間の接続方法を変更することを意味する。
基本的な算術演算は、数学やコンピュータ科学における以下の形式言語に類似している。
LoFにおける「指示の計算」という表現は、「基本的な算術」の同義語である。
LoFは正式には正典を定義していませんが、第2章の注釈からの以下の2つの抜粋は適切です。
より重要な命令構造は、時に「規範」と呼ばれる。これらは、指導命令が星座のようにグループ化される方法であり、したがって決して互いに独立しているわけではない。規範は、構築中のシステムの外側（つまり、それを記述する）にあるという特徴を持つが、構築する命令（例えば、「区別をつける」）は、たとえそれが中心的な重要性を持つとしても、規範ではない。規範とは、許可または容認するための命令、あるいは命令の集合であり、構築または創造するための命令ではない。
数学的コミュニケーションの主要な形態は記述ではなく命令である。音楽も同様の芸術形式であり、作曲家は自分が思い描く音の集合を記述しようとはせず、ましてやそれらによって引き起こされる感情の集合を記述しようとはしない。しかし、演奏者がそれに従うならば、聴衆に作曲家の本来の体験を再現できるような一連の命令を書き留めるのである。
これらの抜粋は、メタ論理学における、議論の対象となる論理体系の形式言語である対象言語と、対象言語を解説・議論するために用いられる、対象言語とは異なる言語（多くの場合、自然言語）であるメタ言語との区別に関するものである。最初の引用は、規範がメタ言語の一部であると主張しているように見える。2番目の引用は、対象言語における記述は、本質的に著者が読者に向けて発する命令であると主張しているように見える。しかし、どちらの主張も標準的なメタ論理学では成り立たない。
有効な基本算術式が与えられた場合、1つまたは複数の場所に任意の数のラテン文字と任意の数の添え字を挿入すると、基本代数式が得られます。数学や論理学でこのように用いられる文字は変数と呼ばれます。基本代数変数は、原始値またはその補数を記述できる場所を示します。同じ変数が複数回出現する場合は、同じ原始値が複数箇所に存在することを示します。
記号「=」は、論理的に同値な 2 つの式を結び付けることができます。その結果は等式になります。「論理的に同値」とは、2 つの式が同じ簡略化を持つことを意味します。論理的同値性とは、規則 R1 および R2 によって規定される、基本的な代数式の集合上の同値関係です。「C」と「D」を、それぞれ少なくとも 1 つの部分式Aを含む式とします。
R2は、初等代数における実演（下記参照）で非常に頻繁に用いられており、ほとんどの場合、暗黙のうちに用いられています。これらの規則は、論理学や数学のほとんどの分野で日常的に用いられており、ほとんどの場合、無意識のうちに用いられています。
基本代数は、中置演算子「=」で結ばれた式のペアである方程式から構成されます。R1とR2 は、ある方程式を別の方程式に変換することを可能にします。したがって、基本代数は、ブール代数を含む 多くの代数構造と同様に、方程式形式体系であり、多様体です。方程式論理は、プリンキピア・マテマティカ以前から一般的であり（例：ジョンソン（1892））、現在でも支持者がいます（グリース＆シュナイダー（1993））。
従来の数理論理学は、接頭辞「ターンスタイル」で示されるトートロジー式から成ります。基本代数式Aがトートロジーであることを示すには、単に「A = 」と書きます。R1とR2の「=」を双条件式に置き換えると、結果として得られる規則は従来の論理で成り立ちます。しかし、従来の論理は主に規則モーダス・ポネンスに依存しているため、従来の論理はポネンシャルです。等式とポネンシャルの二分法は、数理論理学を他の数学と区別する多くの要素を凝縮しています。
初期条件とは、判定手続きによって検証可能な基本的な代数方程式であり、公理ではありません。LoFは初期条件を以下のように定めています。
上記の「="」の右側に何も表示されていないのは意図的なものです。
J2は、命題論理とブール代数におけるよく知られた分配法則である。
計算しやすい別の頭文字の組み合わせは次のとおりです。
C2のおかげで、基本代数は束になります。J1aにより、それは補元束であり、その上限はです。J0により、は対応する下限であり、単位元です。J0はA2の代数的バージョンでもあり、が空白ページと同義であるという意味を明確にします。
LoFのT13はC2を次のように一般化する。任意の基本代数（または命題論理）式Bは、枝を持つ順序付き木として見ることができる。すると：
T13：部分式Aは、 AとそのコピーがBの同じブランチにある限り、Aよりも深いBの任意の深さに自由にコピーできます。また、Bの同じブランチにAのインスタンスが複数ある場合、最も浅いインスタンスを除くすべてのインスタンスは冗長です。
T13の証明には帰納法が必要となるが、その根底にある直観は明確であるはずだ。
C2またはそれに相当するものは次のように呼ばれます。
おそらく、 C2の力を持つ公理または規則の最初の例は、 C.S. パースの存在グラフのT13 とAA=Aを組み合わせた「反復（再）規則」でしょう。
LoFは、連結はデフォルトで可換かつ結合的であると解釈できるため、明示的に仮定したり証明したりする必要はないと主張する。（パースは自身の存在グラフについて同様の主張をした。）ピリオドをグループ化を確立するための一時的な表記法とする。連結が可換かつ結合的であることは、次のことから証明できる。
。結合性: AC.D = CA.D = CD.A = A.CD。結合性が証明されたので、ピリオドは削除できる。
Meguire (2011)の頭文字はAC.D = CD.Aで、B1と呼ばれます。B2は上記の J0 です。B3は上記の J1a です。B4はC2 です。これらの頭文字は、意図的にアーベル群の公理G1 -G3と非常によく似ています。
基本的な代数には、証明済みの主張が３種類含まれている。
帰結と定理の区別は、数学や論理学を含むすべての形式体系に当てはまりますが、通常は明示的に示されません。証明や決定手続きはコンピュータで実行および検証できますが、定理の証明はできません。
AとBを基本的な代数式とする。A = Bの証明は、次の2つの方法のいずれかで行うことができる。
との両方
を に簡略化します。これは「計算」と呼ばれます。A = Bが証明されると、 A = B は後続の証明の手順を正当化するために使用できます。基本的な代数の証明と計算では、多くの場合、 J1a、J2、C2、および結果
( LoFのC3 )、( C1 )、AA = A ( C5 )のみが必要です。
結果（LoFのC7'）
により、LoFの T14 の証明で概説されているアルゴリズムが可能になり、任意の基本代数式を深さが 2 を超えない同等の式に変換できます。結果は正規形であり、これは連言正規形の基本代数版です。LoF (T14–15)は、すべての式が正規形を持つというよく知られたブール代数の定理の基本代数版を証明しています。
Aをある式Bの部分式とする。C3と組み合わせると、J1a は計算の閉包条件と見なすことができる。すなわち、Bが恒真式であるのは、 Aと ( A ) の両方がBの深さ 0 に現れる場合のみである。自然演繹のいくつかのバージョンには、関連する条件が現れる。計算による証明は、多くの場合、次のようなものである。
。計算の最後のステップでは必ずJ1aが呼び出されます。
LoFには、以下の標準的なメタ理論に関する洗練された新しい証明が含まれています。
命題論理が完全であることは、すべての大学の数学論理学の最初のコースで教えられています。しかし、大学のブール代数コースでは、 2の完全性について言及されることはほとんどありません。
マークされた状態とマークされていない状態をブール値の 1 と 0 (またはTrueとFalse ) として解釈すると、基本代数は2 (または命題論理)を解釈します。LoFは、基本代数が三段論法をどのように解釈できるかを示しています。これらの解釈はそれぞれ、以下のサブセクションで説明します。基本代数を拡張して標準的な一階述語論理を解釈できるようにすることはまだ行われていませんが、パースのベータ存在グラフは、この拡張が実現可能であることを示唆しています。
基本代数は、 2要素ブール代数2に対する簡潔で洗練された表記法である。以下を定義とする。
join (meet) がACを解釈する場合、meet (join) はしたがって、基本代数と2は、1 つの詳細を除いて同型です。基本代数の補数はヌル項になる可能性があり、その場合は原始値を表します。この詳細を除いて、2は基本代数のモデルです。基本算術は、 2の次の算術公理化を示唆しています。1+1=1+0=0+1=1=~0、および 0+0=0=~1。
セットはブール領域またはキャリアです。普遍代数の言語では、基本代数は代数構造です。タイプのシェファーストロークの表現力の適切さは、基本的な代数もまた型の代数どちらの場合も、恒等式は J1a、J0、C2、およびACD=CDAです。基本代数と2は同型であるため、2は型の代数2の説明は、従来の説明よりも単純です。型の代数。
2つの可能な解釈は、ブール論理の意味で互いに双対です。（ブール代数では、方程式全体でAND ↔ ORと1 ↔ 0を入れ替えると、同じように有効な方程式が得られます。）どちらの解釈を選択しても恒等式は不変であるため、変換または計算モードは同じままです。異なるのは、各形式の解釈だけです。例：J1aはです
。並置をOR、を1と解釈すると、これは次のようになります。これは正しい。並置をAND、0と解釈すると、これは次のようになる。これもまた真実である（そして双対は)
マークされた状態 は、演算子（例えば、補数）とオペランド（例えば、値 1）の両方です。これは、2 つの関数を定義することで簡潔にまとめることができます。そしてマークされた状態とマークされていない状態それぞれについて、そして、 どこは、（空である可能性もある）ブール値の集合です。
これは、は値0またはOR演算子のいずれかであり、は、値1またはNOR演算子のいずれかであり、空集合かどうか。上記のように、AND ↔ OR と 1 ↔ 0 を入れ替えたこれらの関数の双対形式が存在します。
空白ページを「偽」とみなし、十字マークを「否定」とみなすと、基本算術は次のような文として解釈できる。
=真=偽ではない =正しくない=偽 基本的な代数では、文論理は次のように解釈されます。文字は任意の文式を表します。したがって、次のようになります。
解釈するNot A
AまたはBを解釈する
Not A Or B または If A Then Bを解釈します。
Not (Not A Or Not B)を解釈するしたがって、命題論理の任意の式は、基本代数変換を持つ。言い換えれば、基本代数は命題論理を解釈する。各変数をマーク付きまたはマークなしの状態に割り当てると、この基本代数変換は基本算術式に還元され、これを簡略化できる。各変数への2つの基本値の可能なすべての割り当てについてこの操作を繰り返すと、元の式がトートロジーであるか充足可能であるかが明らかになる。これは、従来の真理値表の精神にほぼ沿った決定手順の一例である。N個の変数を含む基本代数式が与えられた場合、この決定手順では2 N個の基本算術式を簡略化する必要がある。クワインの「真理値分析」の精神により近い、より面倒でない決定手順については、Meguire (2003)を参照のこと。
シュワルツ（1981）は、基本代数が構文的にも意味的にも証明理論的にも古典的な命題論理と等価であることを証明した。同様に、基本代数は、古典的な真理値である真と偽、論理結合子であるNOT、OR、AND、および括弧から通常の方法で構築された式と構文的に等価であることが示される。
マークされていない状態をFalseと解釈するのは全く恣意的です。その状態はTrueと解釈しても全く問題ありません。必要なのは、連結の解釈をOR から AND に変更することだけです。IF A THEN B は、
の代わりに と翻訳されます。より一般的には、基本代数は「自己双対」であり、これは、基本代数の式には 2 つの文またはブール値の解釈があり、それぞれがもう 1 つの双対であることを意味します。自己双対性のもう 1 つの結果は、ド モルガンの法則が無関係であることです。これらの法則は、最初から基本代数の構文に組み込まれています。
基本代数と命題論理との区別の真の性質が、ここで明らかになる。後者の形式体系では、 「無」に作用する補数／否定は整形式ではない。しかし、空のクロスは整形式の基本代数式であり、マークされた状態、すなわち原始値を表す。したがって、空でないクロスは演算子であり、空のクロスは原始値を表すため被演算子である。このように、基本代数は、これまで区別されてきた演算子と被演算子という数学的概念が、実際には区別を行うという単一の基本的な行為の異なる側面に過ぎないことを明らかにしている。
LoFの付録2では、従来の三段論法とソリテスを基本代数に変換する方法を示しています。有効な三段論法とは、基本代数への変換が空のクロスに単純化されるものです。A *はリテラル、つまりAまたはのいずれかを表します。、無関心に。すると、1つ以上の項が空でないと仮定する必要のないすべての三段論法は、その主要な代数的等価物が次のようになるバーバラの一般化の24の可能な順列の1つである。これらの 24 通りの順列には、アリストテレス論理と中世論理で有効とみなされる 19 の三段論法形式が含まれます。この三段論法の基本的な代数による翻訳は、基本的な代数が単項論理と項論理を解釈 できること、そして基本的な代数がQuine (1982)の第 II 部のブール項スキーマと類似性があることも示唆しています。
ライプニッツの非自明な「プラエクララム定理」の以下の計算は、基本代数の証明力の一例を示している。C1 を次のようにする。= A、C2C3は、J1aは、OI は、変数と部分式が交換法則と結合法則が許容する形で並べ替えられたことを意味するものとします。
基本代数は、1933年にハンティントンが指摘した点を体現している。ブール代数では、1つの単項演算に加えて、2つではなく1つの二項演算が必要となる。したがって、ブール代数はマグマであるという、あまり知られていない事実がある。（マグマは、後者の用語が圏論に採用されるまでは群状体と呼ばれていた。）これを確認するには、基本代数が可換であることに注目すればよい。
群には、ブール補数に対応する群の演算である逆演算と呼ばれる単項演算も必要です。をの逆演算とします。を群の単位元とします。すると、群と基本代数は同じ符号を持ち、つまり両方とも となります。
〈2,1,0〉型の代数。したがって、基本代数は境界代数である。境界記法によるアーベル群の公理は次のとおりである。
.G1とG2から、上記のように連結の可換性と結合性を導出できます。G3とJ1aは同一であることに注意してください。A2を=に置き換えた場合、 G2とJ0は同一になります。これは、境界記法における群論の決定的な算術的恒等式です。 
基本代数は、アーベル群とは以下の2つの点で異なります。
≠が成り立つ。もし基本代数が群であれば、=が成り立ち、a =またはa = aのいずれかが基本代数の帰結となるはずである。群論が要求するように、とは相互に基本代数の補集合であることに注意すると、 これは群論と初等代数の両方に当てはまります。A2とC2はどちらも、Bが順序付き集合であることから導かれる。
LoFの第11章では、無限の深さを持つと見なせる再帰式で構成される2次方程式を紹介します。一部の再帰式は、マーク付きまたはマークなしの状態に単純化されます。他の再帰式は、与えられた深さが偶数か奇数かに応じて、2つの状態の間を無限に「振動」します。具体的には、特定の再帰式は、連続する時間間隔で真と偽の間を振動すると解釈でき、その場合、式は「虚数」の真偽値を持つとみなされます。このようにして、時間の流れを基本的な代数に導入することができます。
Turney (1986) は、これらの再帰式がAlonzo Churchの制限付き再帰算術 (RRA) を介してどのように解釈できるかを示しています。Church は 1955 年に有限オートマトンを公理的に形式化するものとして RRA を導入しました。Turney は、2 次方程式を Church の RRA に変換する一般的な方法を提示し、LoFの第 11 章の式E1、E2、およびE4を使用してその方法を示しています。この RRA への変換は、Spencer-Brown がE1とE4に付けた名前、すなわち「メモリ」と「カウンタ」を明らかにします。したがって、RRA はLoFの虚数真理値の概念を形式化し、明確化します。
