環の根号

数学の一分野である環論において、環の根基は環の「良くない」元のイデアルである。

ラジカルの最初の例は、ウェダーバーン (1908) の提案に基づいてケーテ (1930) が導入したニルラジカルでした。その後の数年間で、他のラジカルがいくつか発見されましたが、その中で最も重要な例はヤコブソンラジカルです。ラジカルの一般理論は、(アミチュール 1952、1954、1954b) とクロシュ (1953) によって独立に定義されました。

根基論では、環は通常結合的であると仮定されますが、可換である必要はなく、乗法的単位元を持つ必要もありません。特に、環内のすべてのイデアルはまた環でもあります。

ラジカル類（ラジカル性または単にラジカルとも呼ばれる）は、次のような乗法単位元を持たない可能性のある環の類σ である。

1. σ内の環の準同型 像はσ内にもある
2. あらゆる環Rには σ のイデアルS ( R ) が含まれ、このイデアルには σ にあるRの他のすべてのイデアルが含まれる。
3. S ( R / S ( R )) = 0。理想S ( R )はRのラジカル、またはσラジカルと呼ばれます。

このようなラジカルの研究は、ねじれ理論と呼ばれます。

任意の環のクラス δ に対して、それを含む最小の根基クラスL δ が存在し、これをδ の下根基と呼びます。演算子L を下根基演算子と呼びます。

環のクラスが正則であるとは、そのクラスの環のすべての非ゼロのイデアルがそのクラスに非ゼロの像を持つ場合です。環のすべての正則クラス δ に対して、δ と交差がゼロである、δ の上根基と呼ばれる最大の根基クラスU δ があります。演算子Uは上根基演算子と呼ばれます。

環のクラスは、そのクラス内の環のすべてのイデアルがそのクラスにも属する場合、 遺伝的と呼ばれます。

R を任意の環とします。必ずしも可換である必要はありません。Rの Jacobson 根基は、 すべての単純右R加群の消滅子の共通部分です。

ジェイコブソン根号には、次のような同等の特徴付けがいくつかあります。

• J( R )はRの正規極大右イデアル（または左イデアル）の交差です。
• J( R )はRのすべての右（または左）原始イデアルの積です。
• J( R )はRの極大右(または左)準正規右(または左)イデアルである。

nilradicalと同様に、 J( I )をR → R/Iの射影写像の下でJ( R/I )の逆像として定義することにより、この定義を任意の2辺イデアルIに拡張することができます。

Rが可換であれば、ヤコブソン根基には常に零根基が含まれます。環Rが有限生成 Z代数である場合、零根基はヤコブソン根基に等しく、より一般的には、任意のイデアルIの根基は常に、 Iを含むRのすべての極大イデアルの共通部分と等しくなります。これは、 Rがヤコブソン環であることを意味します。

環のベール基数は、環Rの素イデアルの交差です。同様に、これはRの最小の半素イデアルです。ベール基数は、冪零環のクラスの下側の基数です。「下側の冪基数」（Nil _∗ Rと表記）、「素基数」、「ベール・マッコイ基数」とも呼ばれます。ベール基数のすべての元は冪零であるため、冪イデアルです。

可換環の場合、これは単なる零根号であり、イデアルの根号の定義に厳密に従います。

環Rのnil イデアルの和は、上 nil 根基 Nil ^* Rまたは Köthe 根基であり、 Rの唯一の最大の nil イデアルです。Köthe の予想は、任意の左 nil イデアルが nil 根基に存在するかどうかを問うものです。

環 (非可換環の場合もある) の元は、本質的左イデアルを消滅させるとき左特異であるという。つまり、本質的左イデアルIに対してIr = 0 であるとき、 rは左特異である。環Rの左特異元の集合は両側イデアルであり、左特異イデアルと呼ばれ、 と表記される。 RのイデアルNであって によって表記され、となるものは、特異根基またはRのゴールディ捩れ ( Goldie torsion )と呼ばれる。特異根基は素根基 (可換環の場合は冪根基) を含むが、可換の場合でも正しく含むことができる。しかし、ネーター環の特異根基は常に冪零である。 ${\displaystyle {\mathcal {Z}}(_{R}R)}$${\displaystyle N/{\mathcal {Z}}(_{R}R)={\mathcal {Z}}(_{R/{\mathcal {Z}}(_{R}R)}R/{\mathcal {Z}}(_{R}R))\,}$${\displaystyle {\mathcal {Z}}_{2}(_{R}R)}$

レビツキ根基は、群論におけるヒルシュ・プロトキン根基に類似した、最大の局所冪零イデアルとして定義される。環がネーター環である場合、レビツキ根基自体が冪零イデアルであり、一意に最大の左冪零イデアル、右冪零イデアル、または両側冪零イデアルも冪零イデアルである。^[要出典]

ブラウン・マッコイ根基（バナッハ代数の理論では強い根基と呼ばれる）は、次のいずれかの方法で定義できます。

• 最大の二面的理想の交差点
• すべての最大モジュラーイデアルの交差点
• 乗法的単位元を持つすべての単純環のクラスの上根号

ブラウン・マッコイ基は、1 を持つ結合環よりもはるかに広い一般性で研究されています。

フォン・ノイマン正則環は環A (乗法単位元がなく非可換な場合もある) であり、任意のaに対してa = abaと なるbが存在する。フォン・ノイマン正則環は根基クラスを形成する。フォン・ノイマン正則環には除算代数上のすべての行列環が含まれるが、nil 環は含まれない。

アルティン基数は、通常、両側ネーター環に対して、アルティン加群であるすべての右イデアルの和として定義されます。定義は左右対称で、実際に環の両側イデアルを生成します。この基数は、Chatters と Hajarnavis (1980) によって概説されているように、ネーター環の研究において重要です。

環のラジカルではない ラジカルの関連用法:

• モジュールの根号
• カプランスキーラジカル
• 双線型形式の根号

• Amitsur , SA ( 1952). 「ラジカルの一般理論。I: 完全格子内のラジカル」。アメリカ数学ジャーナル。74 : 774–786。doi :10.2307/2372225。JSTOR  2372225。
• Amitsur, SA (1954). 「ラジカルの一般理論 II: 環と二圏のラジカル」. American Journal of Mathematics . 75 : 100–125. doi :10.2307/2372403. JSTOR  2372403.
• Amitsur, SA (1954b). 「ラジカルの一般理論 III: 応用」. American Journal of Mathematics . 75 : 126–136. doi :10.2307/2372404. JSTOR  2372404.
• Chatters, AW; Hajarnavis, CR (1980)、「連鎖条件付き環」、数学研究ノート、第44巻、マサチューセッツ州ボストン：ピットマン（アドバンスト パブリッシング プログラム）、pp. vii+197、ISBN 0-273-08446-1、MR  0590045
• ケーテ、ゴットフリート(1930)。 「Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist」。数学的ツァイシュリフト。32 (1): 161–186。土井：10.1007/BF01194626。S2CID  123292297。
• Kurosh, AG (1953). 「環と代数の根号」. Matematicheskii Sbornik (ロシア語). 33 : 13–26.
• Wedderburn, JHM (1908). 「超複素数について」.ロンドン数学会報. 6 : 77–118. doi :10.1112/plms/s2-6.1.77.

• Andrunakievich, VA (2001) [1994]、「環と代数の根号」、数学百科事典、EMS Press
• アミトゥール、シムソン A.; マン、アビノアム (2001)、SA アミトゥール選集、解説付き、第 1 部、ロードアイランド州プロビデンス: アメリカ数学協会、ISBN 9780821829240
• ディヴィンスキー、NJ (1965)、環と基数、数学解説第14号、トロント大学出版局、MR  0197489
• ガードナー、BJ; ウィーガント、R. (2004)、環のラジカル理論、純粋および応用数学のモノグラフと教科書、第261巻、マルセル・デッカー、ISBN 978-0-8247-5033-6、MR  2015465
• グッドアール、KR（1976）、リング理論、マルセル・デッカー、ISBN 978-0-8247-6354-1、MR  0429962
• グレイ、メアリー W. (1970)、代数学へのラディカルなアプローチ、アディソン・ウェズレー、MR  0265396
• ステンストローム、ボー（1971）、商の環と加群、数学講義ノート、第237巻、シュプリンガー出版社、doi：10.1007/BFb0059904、ISBN 978-3-540-05690-4、MR  0325663、Zbl  0229.16003
• Wiegandt, Richard (1974)、「環のラジカルおよび半単純クラス」、オンタリオ州キングストン：クイーンズ大学、MR  0349734