準正規要素

この記事は、現代代数学の一分野である環論の文脈における準正則性の概念を扱っています。数学における準正則性のその他の概念については、曖昧さ回避ページquasiregular を参照してください。

数学、特に環論において、準正則性の概念は、環のヤコブソン根号を扱う計算上便利な方法を提供する。[1] この記事では、主に単位環の準正則性の概念について扱う。しかし、1つのセクションは、非可換環論の重要な側面を構成する非単位環の準正則性^の理論に充てられ ている。

R を環（単位元）とし、r をRの元とする。このとき、1 −  r がRの単位元であるとき、 r は準正則であると言われる。つまり、乗法によって逆変換可能である。 ^[1]右準正則性または左準正則性 の概念は、それぞれ 1 − r が右逆または左逆を持つ状況に対応する 。 ^[1]

非単位環Rの元x は、Rにy が存在して となる場合、右準正則であるという。^[2]左準正則元の概念は、同様の方法で定義される。元yは、 xの右準逆と呼ばれることもある。^[3]環が単位環の場合、この準正則性の定義は、上記の定義と一致する。^[4]と書くと、この二項演算は結合的である。^[5]実際、単位環の場合、写像（ここで × は環Rの乗算を表す）は、モノイド同型である。^[4]したがって、元が左準逆と右準逆の両方を持つ場合、それらは等しい。^[6]${\displaystyle x+y-xy=0}$${\displaystyle x\cdot y=x+y-xy}$ ${\displaystyle \cdot}$${\displaystyle (R,\cdot )\to (R,\times );x\mapsto 1-x}$

注意すべきは、著者によっては異なる定義を使用している。著者らは、となるy が存在する場合、元x を右準正則と呼ぶ。 ^[7]これは、環が単位であるとき、1 +  xには右逆が存在すると言っているのと同じである。 と書くと、 となるので、符号を変更することで、一方の設定から他方の設定に簡単に移行できる。^[8]たとえば、一方の設定でx が右準正則であるのは、− x がもう一方の設定で右準正則である場合に限ります。^[8]${\displaystyle x+y+xy=0}$${\displaystyle x\circ y=x+y+xy}$${\displaystyle (-x)\circ (-y)=-(x\cdot y)}$

• Rが環である場合、 Rの加法単位元は常に準正則です。
• が右（左）準正規ならば、 は右（左）準正規である。^[9]${\displaystyle x^{2}}$${\displaystyle x}$
• Rがrngの場合、 Rのすべてのべき零元は準正則である。^[10]この事実は基本的な計算によって裏付けられている。

もし、${\displaystyle x^{n+1}=0}$

${\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\dotsb +x^{n})=1}$(または2 番目の規則に従う場合)。${\displaystyle (1+x)(1-x+x^{2}-\dotsb +(-x)^{n})=1}$

このことから、 xの準逆関数は(または)であることが容易に分かります。${\displaystyle -xx^{2​​}-\dotsb -x^{n}}$${\displaystyle -x+x^{2}-\dotsb +(-x)^{n}}$

• 2番目の規則では、行列が行列環内で準正則であるとは、固有値として −1 を持たない場合です。より一般的には、有界演算子は、そのスペクトル内に −1 を持たない場合、準正則です。
• 単位バナッハ代数において、 であれば、等比級数は収束します。したがって、そのようなx はすべて準正則です。${\displaystyle \|x\|<1}$ ${\displaystyle \sum _{0}^{\infty }x^{n}}$
• Rが環であり、 S = R [[ X ₁ , ..., X _n ]] がR上のn個の不定式における形式的冪級数の環を表す場合、 Sの元が準正則となるのは、その定数項がRの元として準正則となる場合のみです。

• （必ずしも可換ではない）環のヤコブソン根基のすべての元は準正則である。^[11]実際、環のヤコブソン根基は、すべての元が右準正則であるという性質に関して最大​​の、環の唯一の右イデアルとして特徴付けることができる。 ^{[12] [13]}しかし、右準正則元は必ずしもヤコブソン根基の要素である必要はない。^[14]これは、記事の冒頭のコメントを正当化する - 「悪い元」は準正則であるが、準正則元は必ずしも「悪い」わけではない。環のヤコブソン根基の元はしばしば「悪い」とみなされる。
• 環の元が冪零かつ中心的である場合、それは環のヤコブソン根基の元である。^[15]これは、その元によって生成される主右イデアルが準正則（実際には冪零）元のみで構成されるためである。
• 環の元rがべき等である場合、それは環のヤコブソン根号の元にはなり得ない。^[16]これは、べき等元は準正則にはなり得ないからである。この性質は、上記の性質と同様に、ヤコブソン根号を扱うときに準正則性の概念が計算上便利であるという記事の冒頭で述べたコメントを正当化する。^[1]

準正則元の概念は、半環に容易に一般化できます。a が半環Sの元である場合、 Sからそれ自身へのアフィン写像は です。 Sの元a は、不動点 を持つ場合、右準正則であると言われます。不動点は一意である必要はありません。このような各不動点は、aの左準逆と呼ばれます。b がaの左準逆であり、さらにb = ab + 1 である場合、b はaの準逆と呼ばれます。準逆を持つ半環の任意の元は、準正則であると言われています。半環の元がすべてではなく一部が準正則である可能性があります。例えば、非負実数の半環に通常の加法と乗法で代入すると、 a < 1 の場合には不動点を持つが、 a ≥ 1 の場合には不動点を持たない。^{[17]半環の全ての元が準正則な場合、その半環は}準正則半環、閉半環、^[18]あるいは時にはレーマン半環^[17]と呼ばれる（後者はダニエル・J・レーマンの論文にちなんで名付けられた。^[19]） ${\displaystyle \mu_{a}(r)=ra+1}$${\displaystyle \mu_{a}}$${\displaystyle \mu_{a}}$${\displaystyle {\frac {1}{1-a}}}$

準正則半環の例は、クリーネ代数（その中でも有名なのは正規表現の代数）によって提供され、そこでは準逆が最小の不動点解として定義される単項演算（a * で示される）の役割に持ち上げられる。クリーネ代数は加法的に冪等であるが、すべての準正則半環がそうなるわけではない。非負の実数の例を無限大を含むように拡張すると、任意の元a ≥ 1の準逆が無限大である準正則半環になる。しかし、この準正則半環は加法的に冪等ではないため、クリーネ代数ではない。^{[18]ただし、これは}完全半環である。^[20]より一般的には、すべての完全半環は準正則である。^[21]閉じた半環という用語は、実際には準正則半環ではなく完全な半環を意味するために一部の著者によって使用されています。^{[22] [23]}

コンウェイ半環も準正則である。2つのコンウェイ公理は実際には独立である。つまり、積星[コンウェイ]公理 ( ab )* = 1+ a ( ba )* bのみを満たす半環が存在するが、和星公理 ( a + b )* = ( a * b )* a * を満たす半環は存在せず、その逆もまた同様である。半環が準正則であることを意味するのは積星[コンウェイ]公理である。さらに、可換半環が準正則であるためには、積星コンウェイ公理を満たす必要がある。^[17]

準正則半環は最短経路問題の一般化である代数経路問題に現れる。^[18]

• 逆要素

• I. マーティン アイザックス(1993)。代数学、大学院コース(第 1 版)。ブルックス/コール パブリッシング カンパニー。ISBN 0-534-19002-2。
• アーヴィング・カプランスキー（1969年）『フィールドとリング』シカゴ大学出版局。
• ラム、ツィットユエン (2003)。古典環理論の演習。数学の問題集 (第 2 版)。シュプリンガー出版。ISBN 978-0387005003。
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002).グループリング入門. Springer. ISBN 978-1-4020-0238-0。