ヒルベルトの問題

ヒルベルトの問題は、ドイツの数学者ダフィット・ヒルベルトが1900年に発表した23の数学の問題です。当時、これらはすべて未解決でしたが、そのうちのいくつかは20世紀の数学に大きな影響を与えました。ヒルベルトは、8月8日にソルボンヌ大学で行われた国際数学者会議のパリ会議で、1、2、6、7、8、13、16、19、21、22の10問を発表しました。23問の完全なリストは後に発表され、1902年にメアリー・フランシス・ウィンストン・ニューソンによってアメリカ数学会報に英語に翻訳されました。^{[ 1 ]}以前の出版物（ドイツ語原文）は、 Archiv der Mathematik und Physikに掲載されました。^{[ 2 ]}  

明確に定式化されたヒルベルト問題のうち、3、6a ^{[ a ]}、7、10、11、14、17、18、19、および21については、数学界の合意によって解決が認められています。問題1、2、5、6b、8c、13、および15の状況は議論の余地があります。いくつかの結果はありますが、それらが問題を解決しているかどうかについては議論があります。問題8a、8b、9、12、16、20、および22は、いくつかの部分的な結果があるにもかかわらず、未解決であるか、または未解決であると広く合意されています。問題4および23は、解決済みと表現するには曖昧すぎると考えられています。取り下げられた問題24もこのクラスに属します。

以下は、アメリカ数学会報 に掲載されたヒルベルトの発表の1902年の翻訳版に掲載された、ヒルベルトの23の問題の見出しである。^{[ 1 ]}

1. カントールの連続体の基数に関する問題。
2. 算術公理の整合性。
3. 体積が等しい多面体のハサミ合同。
4. 2点間の最短距離としての直線の問題。
5. リーの、群を定義する関数の微分可能性を仮定しない、連続的な変換群の概念。
6. 物理学の公理の数学的扱い。
7. 特定の数の非合理性と超越性。
8. 素数の問題。
9. 任意の数体における最も一般的な相互法則の証明。
10. ディオファントス方程式の可解性の判定。
11. 任意の代数的数値係数を持つ二次形式。
12. アーベル体におけるクロネッカーの定理を、任意の有理数代数領域に拡張する。
13. 7次一般方程式を 2つの引数のみを持つ関数で解くことは不可能である。
14. ある種の完全関数系の有限性の証明。
15. シューベルトの列挙計算の厳密な基礎。
16. 代数曲線および代数曲面の位相に関する問題。
17. 正方形による定形表現。
18. 合同な多面体から空間を構築する。
19. 変分法における通常の問題の解は、常に必ず解析的であると言えるのだろうか？
20. 境界値の一般的な問題。
21. 所定のモノドロミー群を持つ線形微分方程式の存在証明。
22. 保型関数による解析関係の統一化。
23. 変分法の手法のさらなる発展。

ヒルベルトは当初、リストに24個の問題を挙げていたが、そのうちの1つを公表リストに含めないことにした。「24番目の問題」（証明論における、単純性と一般的な方法に関する基準）は、2000年にドイツの歴史家リューディガー・ティーレによってヒルベルトの原稿ノートから再発見された。^{[ 3 ]}

ヒルベルトの問題は、主題と精度において非常に多様であった。3番目の問題のように最初に解決されたものや、8番目の問題（リーマン予想）のように未解決のままのものは、明確な肯定または否定の答えを可能にするほど正確に提示されていた。5番目の問題のような他の問題については、専門家は伝統的に単一の解釈に同意しており、受け入れられた解釈に対する解決策が与えられているが、密接に関連する未解決の問題が存在する。ヒルベルトの記述の中には、特定の問題を特定するほど正確ではないが、現代的な性質を持つ特定の問題が適用されると思われるほど示唆に富むものもあった。たとえば、ほとんどの現代の数論学者は、9番目の問題を、数体の絶対ガロア群の表現に関する予想ラングランズ対応を指していると考えるだろう。^{[ 4 ]}また、11番目や16番目の問題のような他の問題は、二次形式や実代数曲線 の理論のような、繁栄している数学の下位分野に関係している。

解決されていないだけでなく、現代の基準からすると解決不可能かもしれない問題が2つある。6番目の問題は物理学の公理化に関するもので、20世紀の発展によって、ヒルベルトの時代よりも遠のき、重要性も低下したように思われる。また、4番目の問題は幾何学の基礎に関するもので、一般的には曖昧すぎて明確な答えを出すことができないと考えられている。

第23問は、ヒルベルトが意図的に設定した一般的な問題であり、変分法が過小評価され、十分に研究されていない分野であることを強調するためのものでした。これらの問題を紹介する講義の中で、ヒルベルトは第23問について次のような導入的な発言をしました。

「これまで私は、できる限り具体的で特殊な問題を取り上げてきました。なぜなら、まさにそのような具体的で特殊な問題こそが私たちを最も惹きつけ、科学に最も永続的な影響を与えることが多いと考えるからです。しかしながら、最後に一般的な問題、すなわち、この講義で繰り返し触れてきた数学の一分野、つまり、近年ワイエルシュトラスによって著しい進歩を遂げたにもかかわらず、私の考えでは当然受けるべき評価を一般に得られていない変分法について述べたいと思います。」

残りの20問もすべて大きな注目を集め、20世紀後半になってもこれらの問題の研究は依然として極めて重要であると考えられていた。ポール・コーエンは1966年に第1問の研究でフィールズ賞を受賞し、1970年にはユーリ・マティヤセヴィッチが第10問の否定解（ジュリア・ロビンソン、ヒラリー・パトナム、マーティン・デイヴィスの研究を完成させたもの）で同様の称賛を浴びた。これらの問題の様々な側面は、今なお大きな関心を集めている。

ゴットロープ・フレーゲとバートランド・ラッセルに倣い、ヒルベルトは形式体系の方法、すなわち合意された公理の集合からの有限的証明を用いて数学を論理的に定義しようとした。^{[ 5 ]}ヒルベルトのプログラムの主な目標の一つは、算術の公理の無矛盾性を有限的に証明することであった。これが彼の第二の問題である。^{[ b ]}

しかし、ゲーデルの第二不完全性定理は、算術の無矛盾性の有限的証明が証明不可能であることを示す正確な意味を与えている。ヒルベルトはクルト・ゲーデルが 定理を発表してから12年間生きたが、ゲーデルの研究に対する正式な応答を書いた形跡はない。^{[ c ] [ d ]}

ヒルベルトの第10問題は、ディオファントス方程式の可解性を判定するアルゴリズムが存在するかどうかを問うのではなく、むしろそのようなアルゴリズムの構築を問うている。「有限回の演算で、方程式が有理整数で解けるかどうかを判定できる手順を考案すること」である。この問題が、そのようなアルゴリズムは存在し得ないことを示すことによって解決されたことは、ヒルベルトの数学哲学と矛盾していた。

ヒルベルトは、すべての数学の問題には解があるべきだという自身の意見を論じる中で、その解が元の問題が不可能であることの証明となる可能性も認めている。^{[ e ]}彼は、重要なのは解が何であるかを何らかの方法で知ることであり、数学には「不可知」（真偽が決して分からない命題）は存在しないので、常にそれを知ることができると信じていたと述べた。^{[ f ]} 彼が第 10 問の解を不可知の例とみなしたかどうかは不明である。

一方、第１および第２の問題の状況はさらに複雑である。第２の問題の場合のゲーデルの結果、あるいは第１の問題の場合のゲーデルとコーエンの結果が決定的な否定的解を与えるかどうかについて、明確な数学的合意はない。なぜなら、これらの解は問題の特定の形式化に適用されるものであり、それが必ずしも唯一可能な形式化であるとは限らないからである。^{[ g ]}

ヒルベルトの23問と、未発表の24問目は以下のとおりです。解答と参考文献の詳細については、最初の列にリンクされている記事を参照してください。

数学者や数学団体は数多くの問題リストを発表してきたが、ごく一部の例外を除いて、ヒルベルトの問題ほどの影響力や研究成果を生み出すには至らなかった。注目すべき例としては、ワイル予想、ポール・エルデシュの問題、サーストンの24の質問、スメールの問題などが挙げられる。

1940年代後半にアンドレ・ヴェイユが提唱した4つのヴェイユ予想は、代数幾何学と数論の分野において重要である。^{[ 35 ] [ 36 ]}最初の予想はベルナール・ドワークによって証明され、最初の2つの予想はアレクサンダー・グロタンディークによってℓ進コホモロジーを介して別の証明が与えられた。ヴェイユ予想の最後で最も深遠な予想は、リーマン予想の類似物であり、ピエール・ドリーニュによって証明された。グロタンディークとドリーニュはともにフィールズ賞を受賞した。しかし、ヴェイユ予想は範囲的には単一のヒルベルト問題に近く、ヴェイユはそれをすべての数学のためのプログラムとして意図したことはなかった。

エルデシュは数百、おそらく数千もの問題を提示し、しばしば金銭的な報酬を提供した。報酬の額は問題の難易度に応じて決まった。^{[ 37 ]}

ウィリアム・サーストンは1982年の論文で24の数学的問題のリストを発表したが、サーストンのリストは3次元多様体の幾何学的トポロジーの問題に焦点を当てており、数学のさまざまな分野を網羅していたヒルベルトのリストとは異なっていた。また、解決に数十年を要したり、未解決のままだったりするヒルベルトの問題とは異なり、サーストンの24の問題のうち22は発表後30年以内に解決された。

2000年代初頭には、数人の数学者が問題リストを提案した。例えば、フィールズ賞受賞者のスティーブ・スモールは、ウラジーミル・アーノルドの依頼に応え、18問の問題リストを提案した。

少なくとも主流メディアにおいては、事実上21 世紀におけるヒルベルト問題の類似例として挙げられるのは、2000年にクレイ数学研究所が選定した7つのミレニアム懸賞問題である。ヒルベルト問題では、主な賞はヒルベルト本人、ひいては数学者全般からの賞賛であったのに対し、ミレニアム懸賞問題では、各問題に100万ドルの賞金が設定されている。ヒルベルト問題のほとんどは、リストが発表される以前は数学界で広く知られていなかったが、ミレニアム懸賞問題はすべて数十年前からよく知られており、多くの証明が試みられてきた。ヒルベルト問題と同様に、懸賞問題の1つ（ポアンカレ予想）は、問題が発表されてから比較的すぐに解決された。

リーマン予想は、幾何学的な形でヒルベルト問題、スメール問題、ミレニアム懸賞問題、さらにはワイル予想のリストにも登場することで注目に値する。現代の著名な数学者たちによって攻撃されてきたが、多くの専門家は、それが今後何世紀にもわたって未解決問題リストの一部であり続けるだろうと考えている。ヒルベルト自身は、「もし私が千年眠った後に目覚めたら、最初に尋ねる質問は、リーマン予想は証明されたか、ということだろう」と述べている^{[ 38 ]。}

2008年、DARPAは、数学における大きなブレークスルーにつながる可能性のある23の問題のリストを発表し、「それによって国防総省 の科学技術能力を強化する」としました。^{[ 39 ] [ 40 ]} DARPAのリストには、リーマン予想など、ヒルベルトのリストにあるいくつかの問題も含まれています。

• ランダウの問題
• ミレニアム賞問題
• スモールの問題
• 谷山の問題
• サーストンの24の質問

• 「ヒルベルト問題」 .数学百科事典. EMS Press . 2001 [1994].
• 「ヒルベルトの講演の原文（ドイツ語）」 。 2012年2月5日にオリジナルからアーカイブ済み。2005年2月5日に取得。
• 「デイヴィッド・ヒルベルトの『数学の問題』：1900年にパリで開催された国際数学者会議で行われた講演」（PDF）。
• 数学の問題集（パブリックドメインのオーディオブック）はLibriVoxで入手可能です。