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スティーブン・スモール（1930年7月15日生まれ）は、トポロジー、力学系、数理経済学の研究で知られるアメリカの数学者です。 1966年にフィールズ賞を受賞し[ 2 ] 、カリフォルニア大学バークレー校の数学科で30年以上（1960～1961年、1964～1995年）教鞭を執り、現在は同大学の名誉教授として、アルゴリズム、数値解析、大域解析の研究に携わっています[ 3 ]。
スモールはミシガン州フリントで生まれ、1948年にミシガン大学に入学した。 [ 4 ] [ 5 ]最初はボブ・スロールが教える優等生向けの微積分コースに所属し、Aの成績を収めた。しかし、2年生と3年生の成績は平凡で、ほとんどがB、C、さらには原子核物理学ではFだった。スモールは1952年に理学士号を取得した。成績にもかかわらず、スモールはミシガン大学数学科の大学院生として受け入れられた。しかし、スモールは最初の数年間は成績が悪く、大学院生として平均Cの成績だった。学科長のヒルデブラントがスモールを追い出すと脅したとき、彼は研究にもっと真剣に取り組むようになった。[ 6 ]スモールはついに1957年にラウル・ボットの下で博士号を取得し、シカゴ大学で講師としてのキャリアをスタートさせた。
スモールはキャリアの初期に、高次元ポアンカレ予想を証明していた際の仕事の習慣に関する発言で論争に巻き込まれた。彼は、自分の最高の仕事は「リオのビーチで」行われたと語った。[ 7 ] [ 8 ]彼は過去に、言論の自由運動やキューバ公正委員会のメンバーなど、さまざまな運動で政治的に活動してきた。[ 9 ] 1966年、フィールズ賞を受け取るためにNSFの助成金でモスクワを訪れた際、ベトナムにおけるアメリカの立場、ハンガリーへのソ連の介入、ソ連による知識人への虐待を非難する記者会見を開いた。アメリカに帰国後、彼は助成金を更新できなかった。[ 10 ]かつて彼は下院非米活動委員会から召喚状を受け取ったことがある。[ 11 ]
1960年、スモールはスローン研究フェローシップを受け、バークレーの数学科に任命され、翌年にはコロンビア大学の教授に就任した。1964年にはバークレーの教授に復帰し、そこでキャリアの大半を過ごした。1995年にバークレーの名誉教授となり、香港城市大学の教授に就任した。また、長年にわたり、現存する最も優れた個人鉱物コレクションの一つを築き上げた。スモールの鉱物標本の多くは、『スモール・コレクション：天然結晶の美しさ』という本で見ることができる。[ 12 ]
2003年から2012年まで、スモールはシカゴのトヨタ技術研究所の教授を務めた。[ 13 ] 2009年8月1日からは、香港城市大学の特任教授となった。[ 14 ]
1988年、スメールはMAAのショーヴネ賞[ 1 ]を受賞した。2007年、スメールは数学のウルフ賞を受賞した[ 15 ] 。
スメールは、2 次元球面の向き付けられた微分同相群が3 × 3行列の特殊直交群と同じホモトピー型を持つことを証明した。 [ 16 ]スメールの定理は何度か再証明され、拡張されており、特にスメール予想の形で高次元に拡張され、[ 17 ]他の位相型にも拡張されている。[ 18 ]
別の初期の研究では、彼は2次元球面のユークリッド空間への埋め込みを研究した。 [ 19 ]埋め込み理論をスティフェル多様体の代数トポロジーに関連付けることで、彼は2つの埋め込みが埋め込みの族を通して互いに変形できる場合を完全に明らかにすることができた。彼の結果から直接、球面の3次元空間への標準的な埋め込みは、（埋め込みを通して）その否定に変形できることが導き出され、これは現在、球面反転として知られている。彼はまた、結果をより高次元の球面に拡張し、[ 20 ]彼の博士課程の学生であるモリス・ハーシュは彼の研究を一般的な滑らかな多様体の埋め込みに拡張した。[ 21 ]ジョン・ナッシュの等尺性没入に関する研究とともに、ヒルシュ＝スメール没入理論は、ミハイル・グロモフのh原理の開発に関する初期の研究に大きな影響を与え、没入以外の文脈にも彼らのアイデアを抽象化して応用した。[ 22 ]
力学系の研究において、スメールは現在モース・スメール系として知られるものを導入した。[ 23 ]これらの力学系について、スメールは基礎となる空間のコホモロジーと（不安定）多様体の次元を関連付けるモース不等式を証明することができた。これらの結果の重要性の一部は、任意のモース関数の勾配流が、閉軌道のないモース・スメール系によって任意によく近似できることを主張するスメールの定理から来ている。[ 24 ]これらのツールを使用して、スメールは、任意の臨界点における関数の値がモース指数に等しい自己インデックスモース関数を構築することができた。 [ 25 ]これらの自己インデックスモース関数を重要なツールとして使用して、スメールは4より大きいすべての次元で一般化されたポアンカレ予想を解決した。 [ 26 ]これらの研究に基づいて、彼は翌年にはより強力なh-コボルディズム定理を確立し、単連結な滑らかな 5 次元多様体の完全な分類も確立した。[ 27 ] [ 25 ]
スメールはまた、ホースシューマップを導入し、その後の多くの研究に影響を与えた。彼はまた、他の多くの人々によって実施された研究プログラムの概要も示した。スメールは、モース理論を数理経済学に導入したことや、近年の様々な計算理論の探求でも知られている。
1998年、彼は21世紀に解決すべき数学上の18の問題のリストをまとめました。これはスメールの問題として知られています。[ 28 ]このリストは、1900年に作成されたヒルベルトの有名な問題リストの精神で作成されました。実際、スメールのリストには、リーマン予想やヒルベルトの第16問題の後半など、オリジナルのヒルベルトの問題がいくつか含まれており、どちらもまだ解決されていません。彼のリストにある他の有名な問題には、ポアンカレ予想（現在はグリゴリー・ペレルマンによって証明された定理）、P = NP問題、ナビエ・ストークス方程式などがあり、これらはすべてクレイ数学研究所によってミレニアム賞問題に指定されています。