ツイスター理論

理論物理学において、ツイスター理論は1967年にロジャー・ペンローズによって一般相対性理論^{[ 2 ]} （時空幾何学）^{[ 3 ]}と量子力学^{[ 2 ] [ 3 ]} （量子論）^{[ 4 ]}の統一として提唱され^{[ 1 ] 、}その後、理論物理学および数理物理学の広く研究されている分野へと発展した^。ペンローズの考え^は、ツイスター空間が物理学の基本的な場であり^、そこから時空そのものが出現するというものであった。この理論は、^微分積分幾何学、非線形微分方程式、表現論、そして物理学では一般相対性理論、量子場理論、散乱振幅理論に応用される強力な数学的ツールをもたらした。

ツイスター理論は、1950年代後半から1960年代にかけてのアインシュタインの一般相対性理論における数学的発展の急速な拡大という文脈で生まれ、その時代の多くの影響を受けている。特に、ロジャー・ペンローズは、いわゆるロビンソン合同式の構築を通して、アイヴァー・ロビンソンがツイスター理論の発展に重要な初期の影響を与えたと述べている。^{[ 5 ]}

射影ツイスター空間${\displaystyle \mathbb {PT} }$射影3次元空間$\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$最も単純な3次元コンパクト代数多様体。スピンを持つ質量のない粒子の空間として物理的に解釈される。4次元複素ベクトル空間の射影化であり、非射影ツイスター空間である。${\displaystyle \mathbb {T} }$エルミート形式の署名(2,  2) と正則体積形式を持つ。これは、ミンコフスキー空間の共形群SO(4,2)/Z _2のカイラル(ワイル)スピノルの空間として最も自然に理解できる。これは、共形群のスピン群SU(2,2)の基本表現である。この定義は任意の次元に拡張できるが、次元が 4 を超えると、共形群の射影純粋スピノルの空間として射影ツイスター空間を定義する^{[ 6 ] [ 7 ]}。^{[ 8 ] [ 9 ]}

ツイスター理論は、その本来の形では、ミンコフスキー空間上の物理場を、ペンローズ変換を介してツイスター空間上の複素解析対象で表現します。これは、任意のスピンを持つ質量ゼロの場に対して特に自然です。まず、これらの場は、ツイスター空間内の領域上の自由正則関数に関する経路積分公式によって得られます。質量ゼロの場の方程式の解を生み出す正則ツイスター関数は、領域上の解析コホモロジー類のチェフ代表としてより深く理解することができます。${\displaystyle \mathbb {PT} }$これらの対応関係は、ペンローズの非線形重力子構成における自己双対重力^{[ 10 ]}や、いわゆるワード構成における自己双対ヤン・ミルズ場^{[ 11 ]}など、特定の非線形場に拡張されている。前者は、領域の基礎となる複雑な構造の変形を引き起こす。${\displaystyle \mathbb {PT} }$後者は、領域上の特定の正則ベクトル束に適用される。${\displaystyle \mathbb {PT} }$これらの構成は、とりわけ可積分系の理論など、幅広い応用例がある。^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

自己双対条件は物理理論の完全な非線形性を組み込む上で大きな制約となるが、ヤン・ミルズ・ヒッグス単極子とインスタントンには十分である（ADHM構成を参照）。^{[ 15 ]}この制約を克服するための初期の試みは、アイゼンバーグ、ヤスキン、グリーンによるアンビツイスターの導入^{[ 16 ]} 、およびエドワード・ウィッテンによるその超空間拡張であるスーパーアンビツイスターの導入であった。^{[17] アンビツイスター空間は複素化された光線または質量のない粒子の空間であり、元のツイスター記述の複素化または余接束とみなすことができる。アイゼンバーグ、ヤスキン、グリーン[ 16 ]}は、アンビツイスター対応を適切^に定義された形式的近傍に拡張することにより、そのような拡張されたヌル線に沿った曲率の消失と完全なヤン・ミルズ場方程式との間の等価性を示した。^{[ 16 ]} Witten ^{[ 17 ]}は、フェルミオン場とスカラー場を含む超ヤン・ミルズ理論の枠組み内でのさらなる拡張により、N = 1 または 2 の超対称性の場合には拘束方程式が生じるが、 N = 3 (または 4)の場合、超ヌル線 (超アンビツイスター) に沿った超曲率の消滅条件により、フェルミオン場の方程式を含む完全な場の方程式が得られることを示した。これは後に、ヌル曲率拘束方程式と超対称ヤン・ミルズ場の方程式との間に1-1 の等価性を与えることが示された。 ^{[ 18 ] [ 19 ]}次元削減により、10 次元、 N = 1 超ヤン・ミルズ理論の類似の超アンビツイスター対応からも導出できる。 ^{[ 20 ] [ 21 ]}      

自己双対セクターを超えた相互作用のツイスト公式は、リーマン面からツイスター空間への正則写像の量子論であるウィッテンのツイスター弦理論^{[ 22 ]}でも現れた。これにより、ヤン・ミルズ理論のツリーレベルS行列の非常にコンパクトなRSV（ロイバン、スプラドリン、ヴォロヴィッチ）公式^{[ 23 ]}が生まれたが、その重力自由度により、適用範囲を制限する共形超重力のバージョンが生まれた。共形重力はゴーストを含む非物理的な理論であるが、その相互作用はツイスター弦理論によって計算されるループ振幅でヤン・ミルズ理論の相互作用と組み合わされている^{[ 24 ] 。}

欠点はあるものの、ツイスター弦理論は散乱振幅の研究において急速な発展をもたらした。その一つは、いわゆるMHV形式^{[ 25 ]}で、これは非連結弦にゆるやかに基づいているが、ツイスター空間における完全なヤン・ミルズ理論のツイスター作用の観点からより基本的な基礎が与えられた^{[ 26 ]} 。もう一つの重要な発展は、 BCFW再帰の導入である^{[ 27 ]}。これはツイスター空間で自然に定式化され^{[ 28 ] [ 29 ]} 、それがグラスマン積分公式^{[ 30 ] [ 31 ]}と多面体^{[ 32 ]}の観点から散乱振幅の注目すべき定式化につながった。これらのアイデアは、最近では正のグラスマン多様体^{[ 33 ]}と振幅多面体へと発展している。

ツイスター弦理論は、まず RSV ヤン・ミルズ振幅公式を一般化することによって拡張され、次に基礎となる弦理論を見つけることによって拡張されました。重力への拡張は Cachazo と Skinner によって与えられ、^{[ 34 ]} David Skinner によって最大超重力のツイスター弦理論として定式化されました。^{[ 35 ]}その後、Cachazo、He、Yuan によって、ヤン・ミルズ理論と重力^{[ 36 ]}およびその後さまざまな他の理論^{[ 37} ] について、すべての次元で同様の公式が見つかりました。その後、Mason と Skinner ^{[ 38 ]}によって、元のツイスター弦を含み、多数の新しいモデルと公式を与えるように拡張された一般的な枠組みで、アンビツイスター空間の弦理論として理解されました。^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]弦理論として、}従来の弦理論と同じ臨界次元を持っています。例えば、タイプ II超対称性バージョンは10次元で臨界であり、10次元のタイプII超重力の完全な場理論と等価である（これは、紫外完成 を提供する質量のある高スピン状態の無限階層も持つ従来の弦理論とは異なる）。これらはループ振幅の公式を与えるように拡張され^{[ 42 ] [ 43 ]}、曲がった背景上で定義することができる^{[ 44 ] 。}

ミンコフスキー空間をで表す${\displaystyle M}$座標付き${\displaystyle x^{a}=(t,x,y,z)}$そしてローレンツ計量$\displaystyle \eta _{ab}}$サイン${\displaystyle (1,3)}$2成分スピノル指標を導入する${\displaystyle A=0,1;\;A'=0',1',}$そして設定する

${\displaystyle x^{AA'}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}tz&x+iy\\x-iy&t+z\end{pmatrix}}.}$

非射影ツイスター空間${\displaystyle \mathbb {T} }$は、座標がで表される4次元複素ベクトル空間である。${\displaystyle Z^{\alpha }=\left(\omega ^{A},\,\pi _{A'}\right)}$どこ$\displaystyle \omega ^{A}}$そして$\displaystyle \pi _{A'}}$は 2 つの定数ワイルスピノルである。エルミート形式は、複素共役を定義することによって表現できる。${\displaystyle \mathbb {T} }$その二重の$\displaystyle \mathbb {T} ^{*}}$による$\displaystyle {\bar {Z}}_{\alpha }=\left({\bar {\pi }}_{A},\,{\bar {\omega }}^{A'}\right)}$エルミート形式は次のように表すことができます。

$${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}$.$

これは正則体積形式と相まって、${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }Z^{\alpha }dZ^{\beta }\wedge dZ^{\gamma }\wedge dZ^{\delta }}$は、コンパクト化されたミンコフスキー時空の共形群 C(1,3) の四重被覆である群 SU(2,2) の下で不変である。

ミンコフスキー空間の点は、接続関係を介してツイスター空間の部分空間と関連付けられる。

${\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.}$

ツイスターの全体的な複雑な再スケーリングの下で​​、入射関係は維持される。このスケーリングにより、光線に旗竿の広がり、旗面方向、およびスピノール符号が割り当てられる。${\displaystyle \mathbf {Z} \in \mathbb {PT} }$⁠ . 本当の翻訳${\displaystyle x^{a}\rightarrow x^{a}+q^{a}}$去る$\displaystyle Z^{\alpha }}$不変$q^a$形式は$\displaystyle q^{a}=u{\bar {\pi }}^{A}\pi ^{A'}}$、 どこ${\displaystyle u}$は実数なので、平行移動によってポイントが移動します${\displaystyle \mathbf {x} }$光線上の別の点へ${\displaystyle \mathbf {Z} }$点を固定する${\displaystyle x\in M}$代わりに線を決定する${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$で${\displaystyle \mathbb {PT} }$パラメータ化される⁠${\displaystyle \pi _{A'}}$⁠ . もし${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$、 それから${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}$必然的に消滅し、対応する複素射影線はヌルツイスターの5次元空間内に位置する。${\displaystyle \mathbb {PN} }$非ヌルツイスターの場合${\displaystyle Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }}$はゼロにならないため、実数解は存在しない。非ゼロツイスターは、スピンを持つ質量ゼロの粒子として物理的に解釈される。粒子の世界線とみなせるような光線が特定されないため、時空に局在しない。

• 背景の独立性
• 複雑な時空
• ループ量子重力の歴史
• ロビンソンの合同式
• スピンネットワーク
• ねじれた幾何学模様

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