幾何平均

数学において、幾何平均とは、有限の正の実数の集合の中心傾向を、それらの値の積を使用して示す平均または平均値です（それらの和を使用する算術平均とは対照的です） 。数の幾何平均はそれらの積のn乗根です。つまり、数の集合a ₁、a ₂、...、a _nの場合、幾何平均は次のように定義されます。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}{\vphantom {t}}}}.}}$

数値の集合とその幾何平均を対数スケールでプロットすると、幾何平均は算術平均に変換されるため、各数値の自然対数 ⁠ ⁠を取り、対数の算術平均を求め、次に${\displaystyle \ln}$指数関数 ⁠ ⁠${\displaystyle \exp}$を使用して結果を線形スケールに戻すことで、幾何平均を同等に計算できます。

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}{\vphantom {t}}}}=\exp \left({\frac {\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots +\ln a_{n}}{n}}\right).}$

2 つの数値の幾何平均はそれらの積の平方根です。たとえば、数値⁠ ⁠${\displaystyle 2}$と⁠ ⁠${\displaystyle 8}$の場合、幾何平均は です。3つの数値の幾何平均はそれらの積の立方根です。たとえば、数値⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠の場合、幾何平均は です。${\displaystyle \textstyle {\sqrt {2\cdot 8}}={}}$${\displaystyle \textstyle {\sqrt {16}}=4}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 12}$${\displaystyle 18}$${\displaystyle \textstyle {\sqrt[{3}]{1\cdot 12\cdot 18}}={}}$${\displaystyle \textstyle {\sqrt[{3}]{216}}=6}$

幾何平均は、人口増加率や金融投資の金利など、平均化される数量が乗法的に組み合わされる場合に便利です。たとえば、ある人が 1,000 ドルを投資し、年間収益が +10%、-12%、+90%、-30%、+25% で、最終値が 1,609 ドルになったとします。平均成長率は、年間成長率 (1.10、0.88、1.90、0.70、1.25) の幾何平均、つまり 1.0998 で、年間平均成長率は 9.98% です。これらの年間収益の算術平均 (年間 16.6%) は、成長率が加算的に組み合わされないため、意味のある平均ではありません。

幾何平均は幾何学の観点から理解することができます。2 つの数との幾何平均は、長さが および の辺を持つ長方形の面積に等しい正方形の 1 辺の長さです。同様に、3 つの数、、およびの幾何平均は、長さが 3 つの指定された数に等しい辺を持つ直方体と体積が等しい立方体の 1辺の長さです。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

幾何平均は、算術平均および調和平均とともに、3 つの古典的なピタゴラス平均の 1 つです。少なくとも 1 組の異なる値を含むすべての正のデータ セットでは、調和平均は常に 3 つの平均のうち最小の値となり、算術平均は常に 3 つの平均のうち最大の値となり、幾何平均は常にその中間の値となります (算術平均と幾何平均の不等性を参照)。

データ セットの幾何平均は次のように求められます。 ${\textstyle \left\{a_{1},a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right\}}$

${\displaystyle {\biggl (}\prod _{i=1}^{n}a_{i}{\biggr )}^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}{\vphantom {t}}}}.}$^[3]

つまり、要素の積のn乗根です。たとえば、 の場合、積は となり、幾何平均は 24 の 4 乗根で、およそ 2.213 になります。 ${\textstyle 1,2,3,4}$${\textstyle 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}$${\textstyle 24}$

幾何平均は対数の算術平均の指数として表すこともできます。^[4]対数恒等式を使用して式を変換すると、乗算は合計として、累乗は乗算として表すことができます。

いつ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}>0}$

${\displaystyle {\biggl (}\prod _{i=1}^{n}a_{i}{\biggr )}^{\frac {1}{n}}=\exp {\biggl (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln a_{i}{\biggr )},}$

以来${\displaystyle \textstyle {\vphantom {\Big |}}\ln {\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}{\vphantom {t}}}}={\frac {1}{n}}\ln(a_{1}a_{2}\cdots a_{n})={\frac {1}{n}}(\ln a_{1}+\ln a_{2}+\cdots +\ln a_{n}).}$

これは、対数平均と呼ばれることもあります（対数平均と混同しないでください）。これは、対数変換された の値（つまり、対数スケールの算術平均）の算術平均であり、指数を使用して元のスケールに戻します。つまり、 の一般化 f 平均です。自然対数の代わりに、任意の底の対数を使用できます。たとえば、 、、の幾何平均は、底が2の対数を使用して計算できます。 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle f(x)=\log x}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 8}$${\displaystyle 16}$

${\displaystyle {\sqrt[{4}]{1\cdot 2\cdot 8\cdot 16}}=2^{(\log _{2}\!1\,+\,\log _{2}\!2\,+\,\log _{2}\!8\,+\,\log _{2}\!16)/4}=2^{(0\,+\,1\,+\,3\,+\,4)/4}=2^{2}=4.}$

上記に関連して、与えられた点のサンプルに対して、幾何平均は、 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle f(a)=\sum _{i=1}^{n}(\log a_{i}-\log a)^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(\log {\frac {a_{i}}{a}}\right)^{2}}$、

一方、算術平均は、

${\displaystyle f(a)=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-a)^{2}}$。

したがって、幾何平均は、指数がサンプルの指数と最もよく一致するサンプルの概要を提供します (最小二乗の意味で)。

コンピュータの実装では、単純に多くの数値を掛け合わせると、算術オーバーフローまたはアンダーフローが発生する可能性があります。この問題を回避する 1 つの方法は、対数を使用して幾何平均を計算することです。

データ セットの幾何平均は、データ セットのすべてのメンバーが等しい場合を除き、データ セットの算術平均よりも小さくなります。その場合、幾何平均と算術平均は等しくなります。これにより、算術幾何平均(常に 2 つの平均の中間にある交点) を定義できます。

幾何平均は、 2つの数列( )と( )が定義されている場合、算術調和平均でもあります。 ${\textstyle a_{n}}$${\textstyle h_{n}}$

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+h_{n}}{2}},\quad a_{0}=x}$

そして

${\displaystyle h_{n+1}={\frac {2{a_{n}}{h_{n}}}{a_{n}+h_{n}}},\quad h_{0}=y}$

ここで、 は2 つのシーケンスの前の値の調和平均です。 と は、との幾何平均に収束します。 シーケンスは共通の限界に収束し、幾何平均は保存されます。 ${\textstyle h_{n+1}}$${\textstyle a_{n}}$${\textstyle h_{n}}$${\textstyle x}$${\textstyle y}$

${\displaystyle {\sqrt {a_{i}h_{i}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{\frac {a_{i}+h_{i}}{h_{i}a_{i}}}}}={\sqrt {\frac {a_{i}+h_{i}}{{\frac {1}{a_{i}}}+{\frac {1}{h_{i}}}}}}={\sqrt {a_{i+1}h_{i+1}}}}$

算術平均と調和平均を、反対の有限指数の一般化平均のペアに置き換えると、同じ結果が得られます。

正の数からなる空でないデータ セットの幾何平均は、常にその算術平均以下になります。等式は、データ セット内のすべての数が等しい場合にのみ得られます。そうでない場合、幾何平均は小さくなります。たとえば、2 と 3 の幾何平均は 2.45 ですが、算術平均は 2.5 です。特に、これは、非同一数の集合が平均保存拡散の対象となる場合、つまり、集合の要素が算術平均を変えずに互いに「広がる」場合、幾何平均が減少することを意味します。^[5]

が連続した正の実数値関数である 場合、この区間におけるその幾何平均は${\displaystyle f:[a,b]\to (0,\infty )}$

${\displaystyle {\text{GM}}[f]=\exp \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\ln f(x)dx\right)}$

たとえば、 単位区間にわたって恒等関数をとると、0 から 1 までの正の数の幾何平均は に等しいことがわかります。 ${\displaystyle f(x)=x}$${\displaystyle {\frac {1}{e}}}$

多くの場合、幾何平均はある量の平均成長率を決定するための最良の尺度です。たとえば、ある年に売上が 80% 増加し、次の年に 25% 増加した場合、1.80 と 1.25 の幾何平均は 1.50 なので、結果は 50% の一定成長率と同じになります。平均成長率を決定するために、各ステップで測定された成長率の積を取る必要はありません。量をシーケンス として与えます。ここで、 は初期状態から最終状態までのステップ数です。連続した測定との間の成長率はです。これらの成長率の幾何平均は、次のようになります。 ${\displaystyle a_{0},a_{1},...,a_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle a_{k+1}}$${\displaystyle a_{k+1}/a_{k}}$

${\displaystyle \left({\frac {a_{1}}{a_{0}}}{\frac {a_{2}}{a_{1}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{n-1}}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left({\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)^{\frac {1}{n}}.}$

幾何平均の基本的な性質は、他の平均には当てはまらないが、長さが等しい 2つのシーケンスに対して、${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \operatorname {GM} \left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)={\frac {\operatorname {GM} (X_{i})}{\operatorname {GM} (Y_{i})}}}$。

このため、正規化された結果、つまり基準値に対する比率として提示される結果を平均化する場合、幾何平均が唯一の正しい平均となります。 ^[6] これは、基準コンピュータと比較してコンピュータのパフォーマンスを提示する場合、または複数の異種ソース（平均寿命、教育年数、乳児死亡率など）から単一の平均指標を計算する場合に当てはまります。このシナリオでは、算術平均または調和平均を使用すると、基準として使用されるものに応じて結果の順位が変わります。たとえば、次のコンピュータプログラムの実行時間の比較を見てみましょう。

表1

算術平均と幾何平均は、コンピュータ C が最も高速であることに「同意」しています。ただし、適切に正規化された値を提示し、算術平均を使用することで、他の 2 台のコンピュータのいずれかが最高速であることを示すことができます。A の結果で正規化すると、算術平均によると A が最高速のコンピュータになります。

表2

B の結果で正規化すると、算術平均では B が最速のコンピュータになりますが、調和平均では A が最速のコンピュータになります。

表3

C の結果で正規化すると、算術平均では C が最速のコンピュータになりますが、調和平均では A が最速のコンピュータになります。

表4

いずれの場合も、幾何平均によって得られる順位は、正規化されていない値で得られる順位と同じになります。

しかし、この推論には疑問が投げかけられている。^[7] 一貫性のある結果を出すことは、必ずしも正しい結果を出すことと同じではない。一般的に、各プログラムに重みを割り当て、加重平均実行時間を計算し（算術平均を使用）、その結果をコンピュータの 1 つに正規化する方が厳密である。上記の 3 つの表は、各プログラムに異なる重みを与えているだけであり、算術平均と調和平均の一貫性のない結果を説明している（表 4 は両方のプログラムに等しい重みを与え、表 2 は 2 番目のプログラムに 1/1000 の重みを与え、表 3 は 2 番目のプログラムに 1/100、最初のプログラムに 1/10 の重みを与えている）。パフォーマンス数値を集計するために幾何平均を使用することは、可能であれば避けるべきである。算術平均のように時間を加算するのとは対照的に、実行時間を乗算することには物理的な意味がないからである。時間に反比例するメトリック (スピードアップ、IPC ) は、調和平均を使用して平均化する必要があります。

幾何平均は、一般化平均の限界がゼロになるときに導き出すことができます。同様に、加重幾何平均についても同様です。 ${\displaystyle p}$

幾何平均は、指数関数的成長(一定の比例成長) と変動成長の両方の比例成長を説明するのに算術平均よりも適しています。ビジネスでは、成長率の幾何平均は複合年間成長率(CAGR)として知られています。期間にわたる成長の幾何平均は、同じ最終金額を生み出す同等の一定の成長率をもたらします。

ある年にオレンジの木から 100 個のオレンジが実り、次の年には 180 個、210 個、300 個のオレンジが実ったとします。この場合、成長率はそれぞれ 80%、16.6666%、42.8571% となります。算術平均を使用すると、(線形) 平均成長率は 46.5079% となります (80% + 16.6666% + 42.8571%、その合計を 3 で割った値)。ただし、100 個のオレンジから始めて毎年 46.5079% 成長させると、結果は 300 個ではなく 314 個となり、線形平均では前年比成長率が過大評価されます 。

代わりに、幾何平均を使用することができます。80% の成長は 1.80 を掛けることに相当するため、1.80、1.166666、1.428571 の幾何平均をとります。つまり、1 年あたりの「平均」成長は 44.2249% です。100 個のオレンジから始めて、毎年 44.2249% ずつ成長させると、結果は 300 個のオレンジになります。 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1.80\times 1.166666\times 1.428571}}\approx 1.442249}$

幾何平均は、金融指数の計算に時々使用されています（平均は指数の構成要素にわたります）。たとえば、過去にはFT30指数で幾何平均が使用されていました。^[8]また、 CPIの計算にも使用されており^[9]、最近では英国と欧州連合で 「 RPIJ 」インフレ指標が導入されました。

これには算術平均を使用する場合と比較して、指数の動きが過小評価されるという効果があります。^[8]

社会統計の計算では幾何平均が比較的まれであったが、2010年から国連人間開発指数では、集計・比較される統計の非代替性をよりよく反映するという理由で、この計算方法に切り替えられた。

幾何平均は、比較される次元間の代替可能性のレベルを低下させると同時に、例えば出生時の平均余命が1パーセント低下した場合、HDIへの影響は教育や所得が1パーセント低下した場合と同じであることを保証する。したがって、達成度の比較の基準として、この方法は、単純な平均よりも次元間の本質的な違いを尊重するものでもある。^[10]

HDI (人間開発指数)の計算に使用されるすべての値が正規化されているわけではありません。一部の値は の形式になります。このため、幾何平均の選択は、上記の「プロパティ」セクションから予想されるほど明白ではありません。 ${\displaystyle \left(X-X_{\text{min}}\right)/\left(X_{\text{norm}}-X_{\text{min}}\right)}$

不平等回避パラメータが 1.0 であるアトキンソン指数に関連付けられた、平等に分配された福祉相当所得は、単に所得の幾何平均です。1 以外の値の場合、相当値はLp ノルムを要素数で割った値で、p は 1 から不平等回避パラメータを引いた値になります。

直角三角形の場合、その高さは斜辺から90°の頂点まで垂直に伸びる線分の長さです。この線分が斜辺を2つの線分に分割すると仮定すると、これらの線分の長さの幾何平均が高さの長さになります。この性質は幾何平均定理として知られています。

楕円の場合、短半径は焦点からの楕円の最大距離と最小距離の幾何平均です。また、長半径と直角半線の幾何平均でもあります。楕円の長半径は、中心からいずれかの焦点までの距離と、中心からいずれかの準線までの距離の幾何平均です。

別の考え方としては、次のようになります。

半径 の円を考えます。円上の正反対の 2 つの点を取り、両端から圧力を加えて、半長軸と半短軸の長さが と の楕円に変形します。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

円と楕円の面積は同じなので、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi r^{2}&=\pi ab\\r^{2}&=ab\\r&={\sqrt {ab}}\end{aligned}}}$

円の半径は、円を変形して形成される楕円の長半径と短半径の幾何平均です。

球体の地平線までの距離（大気が存在する場合の大気の屈折の影響を無視）は、球体の最も近い点までの距離と球体の最も遠い点までの距離の幾何平均に等しくなります。

幾何平均は、 SAラマヌジャンによる円の二乗の近似^[11]と、 「平均比例」による17角形の構築の両方で使用されます。 ^[12]

幾何平均は、映画やビデオで妥協のアスペクト比を選択する際に使用されてきました。2 つのアスペクト比が与えられた場合、それらの幾何平均はそれらの妥協点となり、ある意味で両方を均等に歪ませたり切り取ったりします。具体的には、異なるアスペクト比を持つ 2 つの等面積の長方形 (中心と平行な辺が同じ) が、アスペクト比が幾何平均である長方形で交差し、その外殻 (両方を含む最小の長方形) も同様に幾何平均のアスペクト比を持ちます。

SMPTEが2.35 と 4:3 のバランスをとって 16:9 のアスペクト比を選択するにあたり、幾何平均は となり、したがって... が選択されました。これはKerns Powers によって経験的に発見されました。彼は、等しい面積の長方形を切り取り、一般的なアスペクト比のそれぞれに一致するように形作りました。中心点を揃えて重ね合わせると、これらすべてのアスペクト比の長方形が、アスペクト比 1.77:1 の外側の長方形に収まり、すべてが同じアスペクト比 1.77:1 の小さな共通内側長方形も覆うことを発見しました。^{[13] Powers によって発見された値は、極端なアスペクト比}4:3 (1.33:1) とCinemaScope (2.35:1)のまさに幾何平均であり、偶然にも( )に近い値です。中間の比率は結果に影響せず、2 つの極端な比率のみが影響します。 ${\textstyle {\sqrt {2.35\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.7701}$${\textstyle 16:9=1.77{\overline {7}}}$  ${\textstyle 16:9}$${\textstyle 1.77{\overline {7}}:1}$

同じ幾何平均の手法を16:9と4:3に適用すると、おおよそ14:9（...）のアスペクト比が得られ、これも同様にこれらの比率の妥協点として使用されます。^[14]この場合、14は16と12の平均であるため、14:9は正確におよびの算術平均であり、正確な幾何平均はですが、算術平均と幾何平均という2つの異なる平均は、両方の数値が十分に近い（差は2%未満）ため、ほぼ等しくなります。 ${\textstyle 1.55{\overline {5}}}$${\textstyle 16:9}$${\textstyle 4:3=12:9}$${\textstyle {\sqrt {{\frac {16}{9}}\times {\frac {4}{3}}}}\approx 1.5396\approx 13.8:9,}$

幾何平均は、B および C シリーズの用紙フォーマットの計算にも使用されます。このフォーマットの面積は、およびの面積の幾何平均です。たとえば、B1 用紙の面積は です。これは、A0 ( ) 用紙と A1 ( ) 用紙 ( )の面積の幾何平均だからです。 ${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle A_{n-1}}$${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}}$${\displaystyle 1\mathrm {m} ^{2}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}$${\displaystyle {\sqrt {1\mathrm {m} ^{2}\cdot {\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\mathrm {m} ^{4}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathrm {m} ^{2}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\mathrm {m} ^{2}}$

同じ原理が C シリーズにも適用され、その面積は A シリーズと B シリーズの幾何平均になります。たとえば、C4 形式の面積は A4 と B4 の面積の幾何平均になります。

この関係から得られる利点は、A4 用紙が C4 封筒に収まり、両方が B4 封筒に収まることです。

• スペクトル平坦性:信号処理において、スペクトル平坦性は、スペクトルがどの程度平坦であるか、またはスパイク状であるかの尺度であり、パワースペクトルの幾何平均と算術平均の比として定義されます。
• 反射防止コーティング: 光学コーティングでは、屈折率n ₀とn _{2 の2 つの媒体間の反射を最小限に抑える必要がある場合、}反射防止コーティングの最適な屈折率n _{1 は}幾何平均で与えられます。${\displaystyle n_{1}={\sqrt {n_{0}n_{2}}}}$
• 減法混色：塗料混合物（着色力、不透明度、希釈度が等しい）のスペクトル反射率曲線は、各スペクトルの波長で計算された塗料の個々の反射率曲線の幾何平均にほぼ等しい。^[15]
• 画像処理：幾何平均フィルタは、画像処理におけるノイズフィルタとして使用されます。
• 労働報酬： 1875年にヨハン・フォン・テューネンが、最低賃金と雇用者の資本を使った労働の市場価値の幾何平均を自然賃金として提案した^。[16]

• 算術解と比較した2つの数値の幾何平均の計算
• 算術平均と幾何平均
• 幾何平均を使用する場合
• 異なる種類のデータで幾何平均を計算するための実用的なソリューション 2010-11-12 にWayback Machineでアーカイブされました
• MathWorld の幾何平均
• 幾何平均の幾何学的意味
• 大規模なデータセット用の幾何平均計算機
• 幾何平均を用いた議会の配分計算
• 非ニュートン微積分学のウェブサイト
• 幾何平均の定義と式
• 幾何平均の分布
• 幾何平均ですか?