対数恒等式の一覧

定義上、以下のことがわかっています。

$${\displaystyle \log _{b}(y)=x\iff b^{x}=y,}$$

どこ${\displaystyle b\neq 0}$そして${\displaystyle b\neq 1}$。

設定${\displaystyle x=0}$そこから、次のことがわかります。

$${\displaystyle b^{x}=y\iff b^{(0)}=y\iff 1=y\iff y=1}$$

そこで、これらの値を式に代入すると、次のようになります。

$${\displaystyle \log _{b}(y)=x\iff \log _{b}(1)=0,}$$

これで最初のプロパティが得られます。

設定${\displaystyle x=1}$そこから、次のことがわかります。

$${\displaystyle b^{x}=y\iff b^{(1)}=y\iff b=y\iff y=b}$$

そこで、これらの値を式に代入すると、次のようになります。

$${\displaystyle \log _{b}(y)=x\iff \log _{b}(b)=1,}$$

これで2つ目のプロパティが得られます。

これらは、上記に挙げた他の性質を証明できる3つの主要な対数法則、規則、または原理です^{[ 3 ]}。これらの対数の性質はそれぞれ対応する指数法則に対応しており、その導出と証明はこれらの事実に基づいています。各対数法則を導出または証明する方法は複数あり、これは可能な方法の1つにすぎません。 

させて${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} _{+}}$、 どこ${\displaystyle a,b\neq 1}$させて${\displaystyle x\in \mathbb {R} _{+}}$。 ここ、${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$これらは、対数に使用する2つの底です。底が1の場合、対数関数は適切に定義されないため、底は1にすることはできません。${\displaystyle x}$は対数が評価する値となるので、正の数でなければなりません。 項を扱うことになるので${\displaystyle \log _{b}(x)}$非常に頻繁に、それを新しい変数として定義します。${\displaystyle m=\log _{b}(x)}$。

式をより扱いやすくするために、指数式に書き換えることができる。 $${\displaystyle b^{m}=x}$$

応募する${\displaystyle \log _{a}}$平等の両側に、

$${\displaystyle \log _{a}(b^{m})=\log _{a}(x)}$$

さて、べき乗の対数の性質を用いると、${\displaystyle \log _{a}(b^{m})=m\log _{a}(b)}$、

$${\displaystyle m\log _{a}(b)=\log _{a}(x)}$$

隔離${\displaystyle m}$すると、次のようになります。

$${\displaystyle m={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}}$$

再置換${\displaystyle m=\log _{b}(x)}$方程式に戻して、

$${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}}$$

これで証明が完了する。${\displaystyle \log _{b}(x)={\frac {\log _{a}(x)}{\log _{a}(b)}}}$。

この公式にはいくつかの結果が伴う。

$${\displaystyle \log _{b}a={\frac {1}{\log _{a}b}}}$$$${\displaystyle \log _{b^{n}}a={\log _{b}a \over n}}$$$${\displaystyle \log _{b}a=\log _{b}e\cdot \log _{e}a=\log _{b}e\cdot \ln a}$$$${\displaystyle b^{\log _{a}d}=d^{\log _{a}b}}$$$${\displaystyle -\log _{b}a=\log _{b}\left({1 \over a}\right)=\log _{1/b}a}$$

$${\displaystyle \log _{b_{1}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{n}}a_{n}=\log _{b_{\pi (1)}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{\pi (n)}}a_{n},}$$

どこ${\textstyle \pi }$は、添え字1, ..., nの任意の順列です。例えば

$${\displaystyle \log _{b}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{d}c\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{a}c\cdot \log _{d}z.}$$

確率論において、対数確率の和を扱う場合、以下の加算および減算の規則は特に有用である。

減算の恒等式が定義されていないことに注意してください。${\displaystyle a=c}$ゼロの対数は定義されていないため、${\displaystyle a}$そして${\displaystyle c}$方程式の右辺で入れ替える必要があるかもしれない${\displaystyle c\gg a}$丸め誤差による「1 +」の損失を避けるため。多くのプログラミング言語には、log1p(x)これを計算する特定の関数があります。${\displaystyle \log _{e}(1+x)}$アンダーフローなし（${\displaystyle x}$小さいです。

より一般的に言えば：

$${\displaystyle \log _{b}\sum _{i=0}^{N}a_{i}=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum _{i=1}^{N}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum _{i=1}^{N}b^{\left(\log _{b}a_{i}-\log _{b}a_{0}\right)}\right)}$$

指数に関する有用な恒等式：

$${\displaystyle x^{\frac {\log(\log(x))}{\log(x)}}=\log(x)}$$

あるいはより普遍的に言えば：

$${\displaystyle x^{\frac {\log(a)}{\log(x)}}=a}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}(a)}}+{\frac {1}{\log _{y}(a)}}}}=\log _{xy}(a)}$$$${\displaystyle {\frac {1}{{\frac {1}{\log _{x}(a)}}-{\frac {1}{\log _{y}(a)}}}}=\log _{\frac {x}{y}}(a)}$$

$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1}$$$${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1}$$$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}a>1}$$$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}0<a<1}$$$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{b}\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}b>0}$$$${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}(x)}{x^{b}}}=0\quad {\mbox{if }}b>0}$$

最後の極限は、「対数は、 xのべき乗や平方根よりもゆっくりと増加する」と要約されることが多い。

$${\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x},x>0}$$$${\displaystyle {d \over dx}\ln |x|={1 \over x},x\neq 0}$$$${\displaystyle {d \over dx}\log _{a}x={1 \over x\ln a},x>0,a>0,{\text{ and }}a\neq 1}$$

$${\displaystyle \ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\ dt}$$

積分範囲を変更するには${\displaystyle x}$に${\displaystyle 1}$積分順序を変更すると、積分の符号が変わります。

$${\displaystyle -\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt=\int _{x}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt}$$

したがって：

$${\displaystyle \ln {\frac {1}{x}}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{t}}\,dt}$$

$${\displaystyle \ln(n+1)=}$$$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{x_{i}}}\Delta x=}$$$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{1+{\frac {i-1}{k}}n}}\cdot {\frac {n}{k}}=}$$$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sum _{x=1}^{k\cdot n}{\frac {1}{1+{\frac {x}{k}}}}\cdot {\frac {1}{k}}=}$$$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\sum _{x=1}^{k\cdot n}{\frac {1}{k+x}}=\lim _{k\to \infty }\sum _{x=k+1}^{k\cdot n+k}{\frac {1}{x}}=\lim _{k\to \infty }\sum _{x=k+1}^{k(n+1)}{\frac {1}{x}}}$$

のために${\displaystyle \textstyle \Delta x={\frac {n}{k}}}$そして${\displaystyle x_{i}}$各区間におけるサンプル点です。

自然対数${\displaystyle \ln(1+x)}$よく知られたテイラー級数展開^{[ 5 ]}があり、収束する。${\displaystyle x}$開閉区間(−1, 1 ]内:

$${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-{\frac {x^{6}}{6}}+\cdots .}$$

この期間内に、${\displaystyle x=1}$の場合、級数は条件収束し、その他のすべての値に対しては絶対収束する。${\displaystyle x>1}$または${\displaystyle x\leq -1}$、この級数は収束しない${\displaystyle \ln(1+x)}$これらの場合、対数を評価するには異なる表現^{[ 6 ]または方法を使用する必要があります。}

高度な数学、特に解析的整数論や漸近解析では、スケーリングされた指数における調和数の差や比を含む式に遭遇することは珍しくありません。^{[ 7 ]}スケーリングされた指数における調和数の極限差と対数関数との関係を含む恒等式は、離散数列が漸近的に連続関数とどのように関係するかの興味深い例を提供します。この恒等式は次のように表されます。^{[ 8 ]}

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }(H_{k(n+1)}-H_{k})=\ln(n+1)}$$ これは、調和数が大きくなるにつれてその挙動を特徴づけるものです。この近似（正確には${\displaystyle \ln(n+1)}$極限において）は、調和級数の増加セグメントにわたる総和が積分特性を示すことを反映しており、離散解析と連続解析の相互作用についての洞察を与えてくれます。また、大規模な和と級数の挙動を理解することが、それらの特性に関する洞察に満ちた結論につながることを示しています。${\displaystyle H_{k}}$は${\displaystyle k}$第 1 次高調波数、次のように定義される。

$${\displaystyle H_{k}=\sum _{j=1}^{k}{\frac {1}{j}}}$$

調和数は、数論と解析学における基本的な数列であり、対数的な増加で知られています。この結果は、整数の逆数（すなわち調和数）の和が、特に大きな区間にわたって拡張された場合、自然対数関数と定数によって近似できるという事実を利用しています。^{[ 9 ] [ 7 ] [ 10 ]}${\displaystyle k}$無限大に近づく、調和数の差${\displaystyle H_{k(n+1)}}$そして${\displaystyle H_{k}}$非ゼロ値に収束する。この持続的な非ゼロ差は、${\displaystyle \ln(n+1)}$、これにより調和級数が有限の極限に近づく可能性が排除され、その発散の明確な数学的表現が提供される。^{[ 11 ] [ 12 ]}和を積分で近似する手法（特に積分判定法または直接積分近似法を用いる）は、このような結果を導出する上で基本となる。この特定の恒等式は、以下の点を考慮すると、これらの近似の結果であると考えられる。

$${\displaystyle \sum _{j=k+1}^{k(n+1)}{\frac {1}{j}}\approx \int _{k}^{k(n+1)}{\frac {dx}{x}}}$$

調和数差の公式${\displaystyle \ln(m)}$これは、古典的な交代型アイデンティティの拡張である^{[ 8 ]}${\displaystyle \ln(2)}$:

$${\displaystyle \ln(2)=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=1}^{k}\left({\frac {1}{2n-1}}-{\frac {1}{2n}}\right)}$$

これは、の残差に関する二重級数として一般化できる。${\displaystyle m}$:

$${\displaystyle \ln(m)=\sum _{x\in \langle m\rangle \cap \mathbb {N} }\sum _{r\in \mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N} }\left({\frac {1}{x-r}}-{\frac {1}{x}}\right)=\sum _{x\in \langle m\rangle \cap \mathbb {N} }\sum _{r\in \mathbb {Z} _{m}\cap \mathbb {N} }{\frac {r}{x(x-r)}}}$$

どこ${\displaystyle \langle m\rangle }$は、​${\displaystyle m}$引き算${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x}}}$各学期から${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x-r}}}$（つまり、各項を絶対値でバランスさせることで）各項の寄与の大きさが小さくなり、級数の発散傾向を制御することで収束が保証されます。${\displaystyle m}$増加する。例えば：

$${\displaystyle \ln(4)=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=1}^{k}\left({\frac {1}{4n-3}}-{\frac {1}{4n}}\right)+\left({\frac {1}{4n-2}}-{\frac {1}{4n}}\right)+\left({\frac {1}{4n-1}}-{\frac {1}{4n}}\right)}$$

この方法は、密接に関連する項間の微妙な違いを利用して、数列を安定化させます。すべての残差の合計${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$各ブロック内の可能なすべてのオフセットに調整が均一に適用されるようにします。${\displaystyle m}$用語。この「補正」の均一分布は、定義されるさまざまな区間にわたって行われます。${\displaystyle x-r}$これは、非常に大きな数列を伸縮させるのと同様の働きをします。単純な調和級数において、そうでなければ発散的な挙動につながる可能性のある不一致を平坦化するのに役立ちます。この式の項の構造は、補間された調和数の構造と一致することに注意してください。${\displaystyle H_{x}}$定義域と値域の両方が否定されている場合（つまり、${\displaystyle -H_{-x}}$しかし、変数の解釈や役割は異なる。

$${\displaystyle \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C=x(\ln x-1)+C}$$$${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x\log _{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C={\frac {x(\ln x-1)}{\ln a}}+C}$$

高次の積分を覚えるために、次のように定義すると便利です。

$${\displaystyle x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})}$$

どこ${\displaystyle H_{n}}$n^番目の高調波数は次のとおりです。

$${\displaystyle x^{\left[0\right]}=\log x}$$$${\displaystyle x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x}$$$${\displaystyle x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}x^{2}}$$$${\displaystyle x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}x^{3}}$$

それから：

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=nx^{\left[n-1\right]}}$$$${\displaystyle \int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C}$$

以下では、関数の主値を表すには大文字を、多値関数を表すには小文字を使用します。定義と恒等式は常に単値版を最初に示し、その後に多値版を別のセクションで示します。

• ln( r )は実数rの標準自然対数です。
• Arg( z )はarg関数の主値であり、その値は(−π , π ]に制限されます。これはArg( x + iy ) = atan2 ( y , x )を使用して計算できます。
• Log( z )は複素対数関数の主値であり、虚部は(−π , π ]の範囲にあります。
• ${\displaystyle \operatorname {Log} (z)=\ln(|z|)+i\operatorname {Arg} (z)}$
• ${\displaystyle e^{\operatorname {Log} (z)}=z}$

log( z )の多値バージョンは集合ですが、中括弧なしで書く方が簡単で、数式で使用する場合も明らかな規則に従います。

• log( z )は、 e ^v = zを満たす複素数vの集合である。
• arg( z )は、 zに適用されるarg関数の可能な値の集合です。

kが任意の整数の場合：

$${\displaystyle \log(z)=\ln(|z|)+i\arg(z)}$$$${\displaystyle \log(z)=\operatorname {Log} (z)+2\pi ik}$$$${\displaystyle e^{\log(z)}=z}$$

元本価値の形態：

$${\displaystyle \operatorname {Log} (1)=0}$$$${\displaystyle \operatorname {Log} (e)=1}$$

整数kに対する、複数の値形式：

$${\displaystyle \log(1)=0+2\pi ik}$$$${\displaystyle \log(e)=1+2\pi ik}$$

主要価値形式: ^{[ 16 ]}

$${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1})+\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}z_{2}){\pmod {2\pi i}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1})+\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}z_{2})\quad (-\pi <\operatorname {Arg} (z_{1})+\operatorname {Arg} (z_{2})\leq \pi$$ ;{\text{例、}}\operatorname {Re} z_{1}\geq 0{\text{かつ}}\operatorname {Re} z_{2}>0)} $${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1})-\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}/z_{2}){\pmod {2\pi i}}}$$$${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1})-\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}/z_{2})\quad (-\pi <\operatorname {Arg} (z_{1})-\operatorname {Arg} (z_{2})\leq \pi$$ ;{\text{例、}}\operatorname {Re} z_{1}\geq 0{\text{かつ}}\operatorname {Re} z_{2}>0)}

複数の値形式:

$${\displaystyle \log(z_{1})+\log(z_{2})=\log(z_{1}z_{2})}$$$${\displaystyle \log(z_{1})-\log(z_{2})=\log(z_{1}/z_{2})}$$

複素数の複素べき乗は、多くの可能な値をとることができる。

元本額の形式:

$${\displaystyle {z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})}}$$$${\displaystyle \operatorname {Log} {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1}){\pmod {2\pi i}}}$$

複数の値形式:

$${\displaystyle {z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\log(z_{1})}}$$

ここで、k ₁、k ₂は任意の整数である。

$${\displaystyle \log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\log(z_{1})+2\pi ik_{2}}$$$${\displaystyle \log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})+z_{2}2\pi ik_{1}+2\pi ik_{2}}$$