準算術平均

数学と統計学において、準算術平均、一般化f平均、コルモゴロフ・ナグモ・ド・フィネッティ平均^[1]は、算術平均や幾何平均などのよく知られた平均を関数を用いて一般化したものです。ソ連の数学者アンドレイ・コルモゴロフにちなんでコルモゴロフ平均とも呼ばれています。これは、通常の一般化平均よりも広範に一般化されています。 ${\displaystyle f}$

f が実数直線の区間を実数に写す関数であり、連続かつ単射である場合、数値のf平均 は と定義され、次のようにも書ける。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in I}$${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)}$

${\displaystyle M_{f}({\vec {x}})=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})\right)}$

逆関数が存在するためには、f が単射である必要があります。は区間上で定義されているため、は のドメイン内にあります。 ${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}}$${\displaystyle f^{-1}}$

fは単調かつ連続なので、 f は厳密に単調な関数となり、したがってf平均はタプルの最大値よりも大きくならず、 の最小値よりも小さくなりません。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

• 、実数直線、 （または0 に等しくない任意の線形関数）の場合、f平均は算術平均に対応します。${\displaystyle I=\mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=x}$${\displaystyle x\mapsto a\cdot x+b}$${\displaystyle a}$
• 、正の実数、の場合、f平均は幾何平均に対応します。 f平均の特性によれば、対数の底が正で 1 でない限り、結果は対数の底に依存しません。${\displaystyle I=\mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle f(x)=\log(x)}$
• かつの場合、f平均は調和平均に対応します。${\displaystyle I=\mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$
• かつの場合、f平均は指数 を持つべき乗平均に対応します。${\displaystyle I=\mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle f(x)=x^{p}}$${\displaystyle p}$
• かつ の場合、f平均は対数半環の平均であり、これはLogSumExp (LSE) 関数 (対数和)の定数シフトバージョンです。はnで割ることに相当します。対数除算は線形減算であるためです。 LogSumExp 関数は滑らかな最大値、つまり最大値関数の滑らかな近似です。${\displaystyle I=\mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)=\exp(x)}$${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=\mathrm {LSE} (x_{1},\dots ,x_{n})-\log(n)}$${\displaystyle -\log(n)}$

任意の単一関数に対して次の特性が成り立ちます。 ${\displaystyle M_{f}}$${\displaystyle f}$

対称性:引数が入れ替わっても の値は 変化しません。${\displaystyle M_{f}}$

冪等性:すべてのxに対して、 . ${\displaystyle M_{f}(x,\dots ,x)=x}$

単調性:は各引数において単調です ( は単調なので)。 ${\displaystyle M_{f}}$${\displaystyle f}$

連続性: は 各引数において連続です ( 連続しているため)。 ${\displaystyle M_{f}}$${\displaystyle f}$

置換: 要素の多重度が維持されていれば、平均を変更することなく、要素のサブセットを事前に平均化できます。これにより、次のことが成立 します。${\displaystyle m=M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k})}$

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots ,x_{n})=M_{f}(\underbrace {m,\dots ,m} _{k{\text{ times}}},x_{k+1},\dots ,x_{n})}$

パーティショニング: 平均の計算は、同じサイズのサブブロックの計算に分割できます。${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n\cdot k})=M_{f}(M_{f}(x_{1},\dots ,x_{k}),M_{f}(x_{k+1},\dots ,x_{2\cdot k}),\dots ,M_{f}(x_{(n-1)\cdot k+1},\dots ,x_{n\cdot k}))}$

自己分配性: 2 つの変数の任意の準算術平均について: ${\displaystyle M}$${\displaystyle M(x,M(y,z))=M(M(x,y),M(x,z))}$

平均性: 2 つの変数の任意の準算術平均について: ${\displaystyle M}$${\displaystyle M(M(x,y),M(z,w))=M(M(x,z),M(y,w))}$

バランス: 2 つの変数の任意の準算術平均の場合: ${\displaystyle M}$${\displaystyle M{\big (}M(x,M(x,y)),M(y,M(x,y)){\big )}=M(x,y)}$

中心極限定理 ：規則性条件下では、十分に大きなサンプルに対して、ほぼ正規分布となる。 ^[2] 同様の結果は、準算術平均の一般化であるバジュラクタレヴィッチ平均と偏差平均にも適用できる。 ^{[3] [4]}${\displaystyle {\sqrt {n}}\{M_{f}(X_{1},\dots ,X_{n})-f^{-1}(E_{f}(X_{1},\dots ,X_{n}))\}}$

スケール不変性: 準算術平均は、 オフセットとスケーリングに対して不変です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \forall a\ \forall b\neq 0((\forall t\ g(t)=a+b\cdot f(t))\Rightarrow \forall x\ M_{f}(x)=M_{g}(x)}$

準算術平均を特徴付ける特性のセットはいくつかあります (つまり、これらの特性を満たす各関数は、何らかの関数fに対するf平均です)。

• 中間性は、準算術平均を特徴付けるのに本質的に十分である。^{[5] ：第17章}
• 自己分配性は、準算術平均を特徴付けるのに本質的に十分である。^{[5] ：第17章}
• 置換：コルモゴロフは、対称性、固定点、単調性、連続性、置換の5つの性質が準算術平均を完全に特徴付けることを証明した。^[6]
• 2変数の準算術平均の特徴付けにおいて連続性は不要である。詳細については[10]を参照。
• バランス: 興味深い問題は、この条件 (対称性、固定点、単調性、連続性の特性とともに) が平均が準算術的であることを意味するかどうかです。Georg Aumann は1930 年代に、答えは一般にはノーであるが^{[7]、さらに が}解析関数であると仮定すると答えは正になることを示しました。^[8]${\displaystyle M}$

平均は通常は同次ですが、ほとんどの関数ではf平均はそうではありません。実際、唯一の同次な準算術平均はべき乗平均（幾何平均を含む）です。Hardy–Littlewood–Pólya、68 ページを参照してください。 ${\displaystyle f}$

均質性プロパティは、入力値を何らかの（均質な）平均で正規化することによって実現できます。 ${\displaystyle C}$

${\displaystyle M_{f,C}x=Cx\cdot f^{-1}\left({\frac {f\left({\frac {x_{1}}{Cx}}\right)+\cdots +f\left({\frac {x_{n}}{Cx}}\right)}{n}}\right)}$

ただし、この変更により、平均の 単調性と分割特性が違反される可能性があります。

ルジャンドル型の厳密に凸な関数 を考えてみましょう。このとき、勾配マップは大域的に可逆であり、重み付き多変量準算術平均^[9]は によって定義されます 。ここで、は正規化された重みベクトルです (バランスのとれた平均のデフォルトは )。凸双対性から、準算術平均 に関連付けられた双対準算術平均が得られます。たとえば、対称正定値行列を取ります。行列準算術平均のペアは、行列調和平均を生成します。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle \nabla F}$${\displaystyle M_{\nabla F}(\theta _{1},\ldots ,\theta _{n};w)={\nabla F}^{-1}\left(\sum _{i=1}^{n}w_{i}\nabla F(\theta _{i})\right)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w_{i}={\frac {1}{n}}}$${\displaystyle M_{\nabla F^{*}}}$${\displaystyle M_{\nabla F}}$${\displaystyle F(X)=-\log \det(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M_{\nabla F}(\theta _{1},\theta _{2})=2(\theta _{1}^{-1}+\theta _{2}^{-1})^{-1}.}$

• 一般化平均
• ジェンセンの不等式

• アンドレイ・コルモゴロフ (1930)「平均の概念について」『数学と力学』(Kluwer 1991) 144-146 ページ。
• アンドレイ・コルモゴロフ (1930) 「戦争の概念」。アッティ・アッカド。ナズ。林政 12、388 ～ 391 ページ。
• John Bibby (1974)「平均の公理化と単調なシーケンスのさらなる一般化」、Glasgow Mathematical Journal、第15巻、63〜65ページ。
• Hardy, GH; Littlewood, JE; Pólya, G. (1952) Inequalities. 第 2 版. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1952.
• B. デ フィネッティ、「Sul concetto di media」、vol. 3、p. 36996、1931年、isstituto italiano degli attuari。

[10] MR4355191 - 正則性条件のない準算術平均の特徴付け

ブライ、P.キス、G.ショコル、P. アクタ数学。ハンガル。 165 (2021)、いいえ。 2、474–485。

[11]

MR4574540 - 厳密に増加する双対称マップの二分法の結果

ブライ、パル;キスして、ゲルゲリー。パトリシア・ショコル

J. Math. Anal. Appl. 526 (2023)、第2号、論文番号127269、9頁。