アトキンソン指数

アトキンソン指数（アトキンソン指標またはアトキンソン不平等指標とも呼ばれる）は、英国の経済学者アンソニー・バーンズ・アトキンソンによって開発された所得不平等の指標である。この指標は、分布のどちらの端が観察された不平等に最も寄与したかを判断するのに役立つ。^{[ 1 ]}

アトキンソン指数は次のように定義されます。

${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})={\begin{cases}1-{\frac {1}{\mu }}\left({\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}y_{i}^{1-\varepsilon }\right)^{1/(1-\varepsilon )}&{\mbox{for}}\ 0\leq \varepsilon \neq 1\\1-{\frac {1}{\mu }}\left(\prod _{i=1}^{N}y_{i}\right)^{1/N}&{\mbox{for}}\ \varepsilon =1\\1-{\frac {1}{\mu }}\min \left(y_{1},...,y_{N}\right)&{\mbox{for}}\ \varepsilon =+\infty \end{cases}}}$

どこ$\displaystyle y_i}}$は個人所得（i = 1, 2, ..., N）であり、${\displaystyle \mu }$は平均所得です。

言い換えれば、アトキンソン指数は、指数1−εのヘルダー一般化平均と所得の算術平均の比の1の補数である（通常通り、指数0の一般化平均は幾何平均として解釈される）。

係数を課すことで、この指標を規範的な尺度に変換することができる。${\displaystyle \varepsilon }$所得に重み付けをする。所得分布の特定の部分の変化に重みを大きくするには、${\displaystyle \varepsilon }$、つまり「不平等回避」のレベルを適切に表す。アトキンソン指数は、所得分布の下位層の変化に対してより敏感になる。${\displaystyle \varepsilon }$不平等回避のレベルが低下すると（つまり、${\displaystyle \varepsilon }$0 に近づくと、アトキンソン指数は分布の下限の変化に対して感度が低くなります。アトキンソン指数は、${\displaystyle \varepsilon }$一般的な制約により、最高所得に非常に敏感である${\displaystyle \varepsilon }$は非負である。^{[ 2 ]}

アトキンソン${\displaystyle \varepsilon }$このパラメータは、不平等による社会福祉損失の所得不平等に対する感度を、対応する一般化エントロピー指数で測定して調整するため、「不平等回避パラメータ」と呼ばれることが多い。アトキンソン指数は、対応する社会福祉関数を参照して定義され、平均所得に1マイナスのアトキンソン指数を乗じることで、均等に分配された所得の福祉等価値が得られる。したがって、アトキンソン指数は、完全な不平等が導入された場合に、社会福祉を低下させることなく犠牲にできる現在の所得の割合を示す。${\displaystyle \varepsilon =0}$（不平等に対する嫌悪感がない場合）、所得から得られる限界社会厚生は所得に左右されない、つまり、所得のわずかな増加は、貧しい人であろうと裕福な人であろうと、同じ社会厚生を生み出す。この場合、等しく分配された所得の厚生等価額は平均所得に等しく、アトキンソン指数はゼロとなる。

のために${\displaystyle \varepsilon =+\infty }$（無限の不平等嫌悪）最も貧しい個人の所得の限界社会厚生は、わずかに裕福な個人の所得の限界社会厚生よりも無限に大きく、アトキンソン社会厚生関数はサンプル中の最小所得に等しくなります。この場合、アトキンソン指数は平均所得から最小所得を引いた値を平均所得で割った値に等しくなります。典型的な大きな所得分布では、所得がゼロまたはゼロに近い値になることが多いため、アトキンソン指数は非常に大きな値に対して1または1に非常に近い値になる傾向があります。${\displaystyle \varepsilon }$。

アトキンソン指数は0から1の間で変化し、特定の所得分布を完全に再分配することによって得られる社会的効用の大きさを測る指標である。${\displaystyle \varepsilon }$パラメータ。功利主義的な倫理基準といくつかの制約的な仮定（均質な人口と一定の代替効用の弾力性）の下では、${\displaystyle \varepsilon }$これは、所得の限界効用の所得弾力性に等しい。

不平等回避を伴うアトキンソン指数${\displaystyle \varepsilon }$は（単調スケーリングの下で​​）パラメータを持つ一般化エントロピー指数と同等である。${\displaystyle \alpha =1-\varepsilon }$

不平等回避パラメータを用いたアトキンソン指数の導出式${\displaystyle \epsilon }$制約条件を満たす対応するGE指数から${\displaystyle \varepsilon =1-\alpha }$次のように与えられます。 $${\displaystyle A=1-[\varepsilon (\varepsilon -1)GE(\alpha )+1]^{(1/(1-\varepsilon ))}\qquad \varepsilon \neq 1}$$$${\displaystyle A=1-e^{-GE(\alpha )}\qquad \varepsilon =1}$$

アトキンソン指数は以下の性質を満たす。

1. インデックスは引数に関して対称です。$${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(y_{\sigma (1)},\ldots ,y_{\sigma (N)})}$$任意の順列に対して${\displaystyle \sigma }$。
2. この指数は非負であり、すべての所得が同じ場合にのみゼロとなる。${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=0}$もし${\displaystyle y_{i}=\mu }$すべての人々のために${\displaystyle i}$。
3. この指数は移転の原則を満たしています。${\displaystyle \Delta >0}$収入のある個人から作られる$\displaystyle y_i}}$収入のある別の人へ$\displaystyle y_j}}$そのため${\displaystyle y_{i}-\Delta >y_{j}+\Delta }$そうすれば、不平等指数は増加しない。
4. この指標は、個体群複製公理を満たしている。すなわち、既存の個体群を任意の回数複製して新しい個体群を形成した場合でも、不等式は変わらない。${\displaystyle A_{\varepsilon }(\{y_{1},\ldots ,y_{N}\},\ldots ,\{y_{1},\ldots ,y_{N}\})=A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})}$
5. この指標は、平均独立性、すなわち所得均質性の公理を満たしている。つまり、すべての所得に正の定数を掛けても、不平等は変わらない。${\displaystyle A_{\varepsilon }(y_{1},\ldots ,y_{N})=A_{\varepsilon }(ky_{1},\ldots ,ky_{N})}$いかなる場合でも${\displaystyle k>0}$。
6. この指標は（非加法的に）部分群分解可能であり、対応する一般化エントロピー指標は加法的に部分群分解可能である。^{[ 3 ]}これは、人口全体の不平等は、各グループ内の対応するGE指標とグループ平均所得のGE指標の合計として計算できることを意味する。

${\displaystyle GE(\alpha ;y_{gi}:g=1,\ldots ,G,i=1,\ldots ,N_{g})=\sum _{g=1}^{G}w_{g}GE(\alpha ;y_{g1},\ldots ,y_{gN_{g}})+GE(\alpha$ ;\mu _{1},\ldots ,\mu _{G})}

どこ${\displaystyle g}$インデックスグループ、${\displaystyle i}$グループ内の個人、${\displaystyle \mu _{g}}$グループの平均所得は${\displaystyle g}$、そして重み${\displaystyle w_{g}}$による${\displaystyle \mu _{g},\mu ,N}$そして${\displaystyle N_{g}}$加法的に分解可能な不等式指標のクラスは非常に限定的であり、実際には、一般化エントロピー指標のみが加法的に分解可能です。ジニ係数を含む多くの一般的な指標は、この性質を満たしていません。

• 所得格差指標
• 一般化エントロピー指数
• ジニ係数

• Atkinson, AB (1970) 不平等の測定について。Journal of Economic Theory、2 (3)、pp.  244–263、doi : 10.1016/0022-0531(70)90039-6。この不平等指数を提案した原著論文。
• Allison PD (1978)「不平等の尺度」、American Sociological Review、43、pp.  865–880。アトキンソン尺度の特性に関する技術的な議論が提示されている。アトキンソン指数の式に誤りがあり、Allison (1979) で修正されている。
• Allison, PD (1979) Jassoへの返答。American Sociological Review 44(5):870–72.
• Biewen M、Jenkins SP (2003)。複雑な調査データからの一般化エントロピーとアトキンソン不等式指標の推定。IZAディスカッションペーパー#763。アトキンソン指標の統計的推論を提供します。
• ランバート、P. (2002).所得の分配と再分配. 第3版、マンチェスター大学出版局、ISBN 978-0-7190-5732-8。
• Sen A、Foster JE (1997) 『経済的不平等について』オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-828193-1（本書に掲載されている数式の一部を実行するPythonスクリプト）
• 世界所得不平等データベース（2011年3月13日時点、 Wayback Machineにアーカイブ済み）、世界開発経済研究所提供
• 所得格差、1947年～1998年、米国国勢調査局より。

ソフトウェア：

• 無料オンライン計算ツールは、ジニ係数を計算し、ローレンツ曲線をプロットし、あらゆるデータセットの集中度に関する他の多くの指標を計算します。
• 無料計算機：アトキンソン不等式、ジニ不等式、フーバー不等式に対応したオンラインおよびダウンロード可能なスクリプト（PythonおよびLua ）
• Rデータ分析ソフトウェアのユーザーは、「ineq」パッケージをインストールすることで、ジニ係数、アトキンソン係数、タイル係数など、さまざまな不平等指標を計算できます。
• MATLAB不等式パッケージ（2008年10月4日アーカイブ）には、ジニ係数、アトキンソン係数、タイル係数の計算コード、およびローレンツ曲線のプロットコードが含まれています。多数のサンプルコードも利用可能です。
• Stataの不平等パッケージ：グループごとに不平等を分解するineqdeco 、一般化エントロピー指数とアトキンソン指数の設計整合分散を計算するsvygeiとsvyatk 、一般化ローレンツ曲線を取得するglcurvessc install ineqdeco 。これらのパッケージをインストールするには、Stataプロンプトになどと入力してください。