レイリー商

数学 において、与えられた複素エルミート行列と非ゼロベクトルに対するレイリー商^[1] ( / ˈ r eɪ . l i / ) は次のように定義されます。^{[2] [3]}実行行列および実行ベクトルの場合、エルミートであるための条件は対称であるための条件に簡約され、共役転置は通常の転置になります。任意の非ゼロスカラー に対してとなることに注意してください。エルミート (または実対称) 行列は、実固有値 のみで対角化可能であることを思い出してください。与えられた行列に対して、レイリー商はが(対応する固有ベクトル)のときに最小値 (の最小の固有値)に達することが示されます。^[4]同様に、および となります。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$$${\displaystyle R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}.}$$ ${\displaystyle x^{*}}$ ${\displaystyle x'}$${\displaystyle R(M,cx)=R(M,x)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \lambda _{\min }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v_{\min }}$${\displaystyle R(M,x)\leq \lambda _{\max }}$${\displaystyle R(M,v_{\max })=\lambda _{\max }}$

レイリー商は、最小最大定理ですべての固有値の正確な値を取得するために使用されます。また、固有ベクトル近似から固有値近似を取得するために、固有値アルゴリズム(レイリー商反復など)でも使用されます。

レイリー商の値域（エルミート行列に限らず、任意の行列について）は数値範囲と呼ばれ、そのスペクトルを含みます。行列がエルミート行列の場合、数値半径はスペクトルノルムに等しくなります。関数解析では、はスペクトル半径として知られています。 -代数または代数量子力学の文脈では、レイリー・リッツ商を 固定のおよび代数を通じて変化する に関連付ける関数は、代数の ベクトル状態と呼ばれます。${\displaystyle \lambda _{\max }}$${\displaystyle C^{\star }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle R(M,x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$

量子力学では、レイリー商は、状態が で与えられるシステムの演算子に対応する観測量の期待値を与えます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$

複素行列 を固定すると、結果として得られるレイリー商マップ（ の関数として考えた場合）は、偏光恒等式を介してを完全に決定します。実際、 が非エルミートであると認めた場合でも、これは当てはまります。ただし、スカラー体を実数に制限すると、レイリー商はの対称部分のみを決定します。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

序論で述べたように、任意のベクトルxに対して、 が成り立ちます。ここで、 はそれぞれ の最小の固有値と最大の固有値です。これは、レイリー商がMの固有値の加重平均であることがわかるとすぐにわかります。 ここで、 は正規直交化後の - 番目の固有ペアであり、 は固有基底におけるxの 番目の座標です。これにより、対応する固有ベクトル で境界が達成されることを簡単に確認できます。 ${\displaystyle R(M,x)\in \left[\lambda _{\min },\lambda _{\max }\right]}$${\displaystyle \lambda _{\min },\lambda _{\max }}$${\displaystyle M}$$${\displaystyle R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}}$$${\displaystyle (\lambda _{i},v_{i})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle y_{i}=v_{i}^{*}x}$${\displaystyle i}$${\displaystyle v_{\min },v_{\max }}$

商が固有値の加重平均であるという事実は、2番目、3番目、…番目に大きい固有値を識別するために使用できます。 を 降順で並べた固有値とします。 および が に直交するように制約されている場合、のとき は最大値 を持ち、 のとき実現されます。 ${\displaystyle \lambda _{\max }=\lambda _{1}\geq \lambda _{2}\geq \cdots \geq \lambda _{n}=\lambda _{\min }}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle y_{1}=v_{1}^{*}x=0}$${\displaystyle R(M,x)}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle x=v_{2}}$

経験的共分散行列は、 データ行列とその転置行列の積として表すことができます。半正定値行列であるため、非負の固有値と直交（または直交化可能）な固有ベクトルを持ち、次のように示されます。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle A'A}$ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle M}$

まず、固有値は非負です。 ${\displaystyle \lambda _{i}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&Mv_{i}=A'Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&v_{i}'A'Av_{i}=v_{i}'\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&\left\|Av_{i}\right\|^{2}=\lambda _{i}\left\|v_{i}\right\|^{2}\\\Rightarrow {}&\lambda _{i}={\frac {\left\|Av_{i}\right\|^{2}}{\left\|v_{i}\right\|^{2}}}\geq 0.\end{aligned}}}$$

第二に、固有ベクトルは互いに直交します。 つまり、固有値が異なる場合、つまり重複がある場合、基底は直交化できます。 ${\displaystyle v_{i}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&Mv_{i}=\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&v_{j}'Mv_{i}=v_{j}'\lambda _{i}v_{i}\\\Rightarrow {}&\left(Mv_{j}\right)'v_{i}=\lambda _{j}v_{j}'v_{i}\\\Rightarrow {}&\lambda _{j}v_{j}'v_{i}=\lambda _{i}v_{j}'v_{i}\\\Rightarrow {}&\left(\lambda _{j}-\lambda _{i}\right)v_{j}'v_{i}=0\\\Rightarrow {}&v_{j}'v_{i}=0\end{aligned}}}$$

レイリー商が最大の固有値を持つ固有ベクトルによって最大化されることを確立するために、任意のベクトルを固有ベクトル に基づいて分解することを検討します。 ここで、 は に直交投影された の座標です。したがって、次の式が得られ ます。これは、固有ベクトルの 正規直交性 により、次の式になります。${\displaystyle x}$${\displaystyle v_{i}}$$${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i},}$$$${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {x'v_{i}}{v_{i}'v_{i}}}={\frac {\langle x,v_{i}\rangle }{\left\|v_{i}\right\|^{2}}}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle v_{i}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}R(M,x)&={\frac {x'A'Ax}{x'x}}\\&={\frac {{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}'\left(A'A\right){\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}{\Bigr )}}{{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}'{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}v_{i}{\Bigr )}}}\\&={\frac {{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}'{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}(A'A)v_{i}{\Bigr )}}{{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}{v_{i}}'{v_{i}}{\Bigr )}}}\\&={\frac {{\Bigl (}\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}v_{j}{\Bigr )}'{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\lambda _{i}v_{i}{\Bigr )}}{{\Bigl (}\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\|{v_{i}}\|^{2}{\Bigr )}}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}R(M,x)&={\frac {\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\lambda _{i}}{\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\frac {(x'v_{i})^{2}}{(x'x)(v_{i}'v_{i})^{2}}}\\&=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}{\frac {(x'v_{i})^{2}}{(x'x)}}\end{aligned}}}$$

最後の表現は、レイリー商が、ベクトルと各固有ベクトルによって形成される角度の二乗余弦の合計であり、対応する固有値によって重み付けされていることを示しています。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle v_{i}}$

ベクトルがを最大化する場合、任意の非ゼロのスカラー倍数も を最大化するため、問題はという制約の下でを最大化するラグランジュ問題に還元できます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle R(M,x)}$${\displaystyle kx}$${\displaystyle R}$${\textstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}\lambda _{i}}$${\textstyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}^{2}=1}$

を定義します。これは線形計画となり、常に領域の角の 1 つで最大値に達します。最大点は、すべてに対してと を持ちます(固有値が大きさの降順で並べられている場合)。 ${\displaystyle \beta _{i}=\alpha _{i}^{2}}$${\displaystyle \alpha _{1}=\pm 1}$${\displaystyle \alpha _{i}=0}$${\displaystyle i>1}$

したがって、レイリー商は、最大の固有値を持つ固有ベクトルによって最大化されます。

あるいは、この結果はラグランジュ乗数法によっても得ることができる。最初の部分は、商がスケーリングの下で​​一定であることを示すことである。ここで、はスカラーである。 ${\displaystyle x\to cx}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle R(M,cx)={\frac {(cx)^{*}Mcx}{(cx)^{*}cx}}={\frac {c^{*}c}{c^{*}c}}{\frac {x^{*}Mx}{x^{*}x}}=R(M,x).}$$

この不変性のため、特別な場合を研究すれば十分である。問題は、 制約条件に従う関数の 臨界点を見つけることである。言い換えれば、 がラグランジュ乗数である ときの臨界点を見つけることである。 の定常点は、 および で発生する 。${\displaystyle \|x\|^{2}=x^{T}x=1}$$${\displaystyle R(M,x)=x^{\mathsf {T}}Mx,}$$${\displaystyle \|x\|^{2}=x^{T}x=1.}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)=x^{\mathsf {T}}Mx-\lambda \left(x^{\mathsf {T}}x-1\right),}$$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\mathcal {L}}(x)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {d{\mathcal {L}}(x)}{dx}}=0\\\Rightarrow {}&2x^{\mathsf {T}}M-2\lambda x^{\mathsf {T}}=0\\\Rightarrow {}&2Mx-2\lambda x=0{\text{ (taking the transpose of both sides and noting that }}M{\text{ is Hermitian)}}\\\Rightarrow {}&Mx=\lambda x\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \therefore R(M,x)={\frac {x^{\mathsf {T}}Mx}{x^{\mathsf {T}}x}}=\lambda {\frac {x^{\mathsf {T}}x}{x^{\mathsf {T}}x}}=\lambda .}$$

したがって、の固有ベクトルはレイリー商の臨界点であり、それに対応する固有値は の定常値です。この特性は、主成分分析と正準相関の基礎となります。 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

シュトゥルム・リウヴィル理論は、aとbで指定された境界 条件を満たす関数の内積空間 で定義される 線型作用素 の作用に関するものである。この場合、レイリー商は $${\displaystyle L(y)={\frac {1}{w(x)}}\left(-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y\right)}$$$${\displaystyle \langle {y_{1},y_{2}}\rangle =\int _{a}^{b}w(x)y_{1}(x)y_{2}(x)\,dx}$$$${\displaystyle {\frac {\langle {y,Ly}\rangle }{\langle {y,y}\rangle }}={\frac {\int _{a}^{b}y(x)\left(-{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)\right)dx}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}dx}}.}$$

これは、分子の積分を分離し、部分積分を使用することによって得られる同等の形式で表されることがあります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\langle {y,Ly}\rangle }{\langle {y,y}\rangle }}&={\frac {\left\{\int _{a}^{b}y(x)\left(-{\frac {d}{dx}}\left[p(x)y'(x)\right]\right)dx\right\}+\left\{\int _{a}^{b}{q(x)y(x)^{2}}\,dx\right\}}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}\,dx}}\\&={\frac {\left\{\left.-y(x)\left[p(x)y'(x)\right]\right|_{a}^{b}\right\}+\left\{\int _{a}^{b}y'(x)\left[p(x)y'(x)\right]\,dx\right\}+\left\{\int _{a}^{b}{q(x)y(x)^{2}}\,dx\right\}}{\int _{a}^{b}w(x)y(x)^{2}\,dx}}\\&={\frac {\left\{\left.-p(x)y(x)y'(x)\right|_{a}^{b}\right\}+\left\{\int _{a}^{b}\left[p(x)y'(x)^{2}+q(x)y(x)^{2}\right]\,dx\right\}}{\int _{a}^{b}{w(x)y(x)^{2}}\,dx}}.\end{aligned}}}$$

1. 与えられた行列のペア ( A、B ) と与えられた非ゼロベクトルxに対して、一般化レイリー商は次のように定義されます。一般化レイリー商は、変換によってレイリー商に簡約できます。ここで、はエルミート正定値行列Bのコレスキー分解です。$${\displaystyle R(A,B;x):={\frac {x^{*}Ax}{x^{*}Bx}}.}$$${\displaystyle R(D,C^{*}x)}$${\displaystyle D=C^{-1}A{C^{*}}^{-1}}$${\displaystyle CC^{*}}$
2. 与えられた非ゼロベクトルのペア ( x , y ) と与えられたエルミート行列Hに対して、一般化レイリー商は次のように定義できます。これは、x  =  yのときにR ( H , x )と一致します。量子力学では、この量は「行列要素」または「遷移振幅」と呼ばれることもあります。$${\displaystyle R(H;x,y):={\frac {y^{*}Hx}{\sqrt {y^{*}y\cdot x^{*}x}}}}$$

• 数値範囲
• クーランのミニマックス原理
• 最小最大定理
• 振動解析におけるレイリー商
• ディリクレ固有値

• Shi Yu、Léon-Charles Tranchevent、Bart Moor、Yves Moreau、「機械学習のためのカーネルベースのデータ融合：バイオインフォマティクスとテキストマイニングにおける方法とアプリケーション」、第2章、Springer、2011年。