名前付き行列のリスト

この記事では、数学、科学、工学で使われる重要な行列のクラスをいくつか挙げます。行列（複数形はmatrix、あまり一般的ではないがmatrixs）は、エントリと呼ばれる数値の長方形の配列です。行列は研究と応用の両方で長い歴史があり、行列を分類する方法は多様です。最初のグループは、定数行列を含む、エントリの具体的な条件を満たす行列です。重要な例としては、次に示す 単位行列があります。

${\displaystyle I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

次元のゼロ行列。例: ${\displaystyle m\times n}$

${\displaystyle O_{2\times 3}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$。

行列を分類する他の方法としては、固有値による分類や、行列と他の行列の積に条件を課す方法などがあります。最後に、数学だけでなく、物理学や化学などの他の科学の多くの領域には、主にこれらの領域に適用される特定の行列があります。

以下のリストは、行列の任意の次元（サイズ）に対して要素が一定である行列で構成されています。行列のエントリはa _ijで示されます。以下の表では、2 つの整数iとjのクロネッカー デルタδ _{ij を}使用しています。これは、 i = jの場合は 1 、それ以外の場合は 0 です。

以下に、エントリが特定の条件に従う行列の一覧を示します。その多くは、列数と行数が同じ行列である正方行列にのみ適用されます。正方行列の主対角線は、左上隅と右下隅を結ぶ対角線、つまりエントリa _i、iです。もう一方の対角線は、反対対角線 (またはカウンター対角線) と呼ばれます。

行列に関する概念の多くは、与えられた行列の積や逆行列の性質に関するものである。m行n列の行列Aとn行k列の行列Bの行列積は、 m行k列の行列Cであり、次のように表される 。

${\displaystyle (C)_{i,j}=\sum _{r=1}^{n}A_{i,r}B_{r,j}.}$^[2]

この行列積はABと表記される。数値の積とは異なり、行列積は可換ではない。つまり、AB はBAと等しい必要はない。^[2]この可換性の破綻にはいくつかの概念が関係している。正方行列Aの逆行列は、 AB = Iとなるような行列B (必ずAと同じ次元) である。同様に、BA = Iである。逆行列が存在する必要はない。存在する場合、Bは一意に決定され、Aの逆行列とも呼ばれ、A ⁻¹と表記される。

以下の行列は主に統計学と確率論に応用されています。

• ベルヌーイ行列 — 要素 +1、-1 を持ち、それぞれの要素の確率が等しい正方行列。
• 中心化行列— ベクトルと乗算すると、ベクトルの各要素からその要素の平均を減算するのと同じ効果を持つ行列。
• 相関行列—いくつかのランダム変数のペアワイズ相関係数によって形成される対称n×n行列。
• 共分散行列—複数のランダム変数のペアワイズ共分散によって形成される対称n×n行列。分散行列と呼ばれることもあります。
• 分散行列—共分散行列の別名。
• 二重確率行列— 各行と各列の合計が 1 になる非負行列 (したがって、行列は左確率と右確率の両方である)
• フィッシャー情報行列— ランダム変数の尤度関数の対数の、パラメータに関する偏微分の分散を表す行列。
• ハット行列— 統計学において適合値と観測値を関連付けるために使用される正方行列。
• 直交確率行列— ある直交行列の要素の絶対値の2乗を要素とする二重確率行列
• 精度行列— 共分散行列を反転して形成される対称n×n行列。情報行列とも呼ばれます。
• 確率行列—確率過程を記述する非負行列。任意の行のエントリの合計は 1 です。
• 遷移行列—マルコフ連鎖においてある状態から別の状態に変化する条件の確率を表す行列
• ユニタリ行列— ユニタリ行列の要素の絶対値の2乗を要素とする二重確率行列

以下の行列は主にグラフ理論とネットワーク理論に応用されています。

• 隣接行列— グラフを表す正方行列。頂点iと頂点jが隣接している場合、 ij_はゼロ以外の値になります。
• 二部隣接行列—二部グラフの隣接性を記述する隣接行列の特別なクラス。
• 次数行列—グラフ内の各頂点の次数を定義する対角行列。
• エドモンズ行列— 二部グラフの正方行列。
• 接続行列— 2 つのオブジェクト クラス (通常はグラフ理論のコンテキストでは頂点とエッジ)間の関係を表す行列。
• ラプラシアン行列— グラフの次数行列から隣接行列を引いた行列で、グラフ内の全域木の数を見つけるために使用されます。
• ザイデル隣接行列— 通常の隣接行列に似ていますが、隣接の場合は -1、非隣接の場合は +1、対角線上は 0 となる行列です。
• 歪んだ隣接行列 —ゼロ以外の各a _ijが、 i → j の方向が最初に指定された方向と一致するか反対であるかに応じて 1 または -1 になる隣接行列。
• Tutte 行列— バランスのとれた二部グラフの Edmonds 行列の一般化。

• カビボ・小林・益川行列—粒子物理学においてフレーバー変化の弱い崩壊の強さを記述するために使用されるユニタリー行列。
• 密度行列— 量子システムの統計的状態を記述する行列。エルミート、非負、トレース1。
• 基本行列 (コンピューター ビジョン) —ステレオ画像内の対応する点を関連付けるコンピューター ビジョンの 3 × 3 行列。
• ファジー連想行列— 機械学習プロセスで使用される人工知能の行列。
• ガンマ行列—量子場理論における 4 × 4 行列。
• ゲルマン行列—パウリ行列の一般化。これらの行列は特殊ユニタリ群SU(3)の無限小生成元の注目すべき表現の 1 つです。
• ハミルトン行列—量子力学や線形二次レギュレータ(LQR) システムなど、さまざまな分野で使用される行列。
• 不規則行列—コンピュータ サイエンスで使用される行列で、各行の要素の数が異なります。
• オーバーラップ行列—量子化学において量子システムの基底ベクトルの集合の相互関係を記述するために使用されるグラミアン行列の一種。
• S 行列—漸近的（無限の過去と未来）粒子状態を結び付ける量子力学の行列。
• 散乱行列- マイクロ波工学における行列で、マルチポート システム内で電力がどのように移動するかを説明します。
• 状態遷移行列— 制御システムにおける状態行列の指数。
• 置換マトリックス—バイオインフォマティクスのマトリックスで、アミノ酸またはDNA配列の変異率を表します。
• サプニック行列—コンピュータサイエンスで使用される正方行列。
• Z 行列—化学における行列であり、分子をその相対的な原子構造に基づいて表します。

• ウィルソン行列、テスト目的の例として使用する行列。

• ジョルダン標準形式— ほぼ対角化された行列で、非ゼロ要素は主対角要素と上対角要素にのみ現れます。
• 線形独立性— 2 つ以上のベクトルは、他のベクトルの線形結合から 1 つのベクトルを構築する方法がない場合、線形独立です。
• 指数行列—指数級数によって定義されます。
• 円錐曲線の行列表現
• 擬似逆行列—逆行列の一般化。
• 行階段形式— この形式の行列は、行列に前方消去法を適用した結果です(ガウス消去法で使用される)。
• ロンスキ行列式— 関数とその導関数の行列式で、行nが行 1 の( n −1)^{次導関数となるもの。}

• 完璧なマトリックス

• ホグベン、レスリー（2006）、線形代数ハンドブック（離散数学とその応用）、ボカラトン：チャップマン＆ホール/CRC、ISBN 978-1-58488-510-8