マトリックスペンシル

線形代数において、行列ペンシルは、体（通常は実数または複素数）上で定義される行列値の多項式関数です。 ${\displaystyle K}$

を体（典型的には、定義は に一般化できる）、を非負の整数、を正の整数、を 行列（すなわち、すべての に対して）とする。すると、によって定義される行列ペンシルは、 によって定義される 行列値関数である。${\displaystyle K}$${\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$${\displaystyle \ell \geq 0}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle A_{0},A_{1},\dots ,A_{\ell}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A_{i}\in \mathrm {Mat} (K,n\times n)}$${\displaystyle i=0,\dots ,\ell }$${\displaystyle A_{0},\dots ,A_{\ell}}$${\displaystyle L\colon K\to \mathrm {Mat} (K,n\times n)}$

${\displaystyle L(\lambda )=\sum _{i=0}^{\ell }\lambda ^{i}A_{i}.}$

行列ペンシルの次数は、( 上の零行列) となる最大の整数として定義されます。 ${\displaystyle 0\leq k\leq \ell }$${\displaystyle A_{k}\neq 0}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle K}$

特殊なケースとしては、線形行列ペンシル（）がある。^[1]これを という表記で簡単に表し、より一般的な表記法を用いると となり、となる（ ではない）ことに注意する。 ${\displaystyle L(\lambda )=A-\lambda B}$${\displaystyle B\neq 0}$${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle A_{0}=A}$${\displaystyle A_{1}=-B}$${\displaystyle B}$

となるの値が少なくとも 1 つ存在する場合、そのペンシルは正則であると呼ばれます。そうでない場合は特異であると呼ばれます。となるすべての (複素) 数を行列ペンシルの固有値と呼びます。特に、行列ペンシルの固有値は の行列固有値です。特に線形ペンシルの場合、ペンシルの固有値は一般化固有値とも呼ばれます。${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \det(L(\lambda ))\neq 0}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \det(L(\lambda ))=0}$${\displaystyle (A,I)}$${\displaystyle A}$

鉛筆の固有値の集合は鉛筆のスペクトルと呼ばれ、 と書きます。線形鉛筆の場合は、 と書きます( ではありません)。 ${\displaystyle \sigma (A_{0},\dots ,A_{\ell })}$${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle \sigma (A,B)}$${\displaystyle \sigma (A,-B)}$

線形ペンシルが 1 つ以上の 0 固有値を持つ場合、その線形ペンシルは無限遠に1 つ以上の固有値を持つと言われます。 ${\displaystyle (A,B)}$${\displaystyle B}$

行列ペンシルは数値線形代数で重要な役割を果たします。ペンシルの固有値を求める問題は、一般化固有値問題と呼ばれます。このタスクの最も一般的なアルゴリズムはQZ アルゴリズムです。これは、行列を反転せずに固有値問題を解くQR アルゴリズムの暗黙的バージョンです(行列が特異な場合は不可能、または条件が悪ければ数値的に不安定)。 ${\displaystyle Ax=\lambda Bx}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$

ならば、およびによって生成された鉛筆は次のようになる。^[2]${\displaystyle AB=BA}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

1. 対角行列に似た行列のみで構成される、または
2. 対角行列のように行列が存在しない、または
3. 対角行列に似た行列が 1 つだけあります。

• 一般化固有値問題
• 一般化された関数ペンシル法
• 非線形固有値問題
• 二次固有値問題
• 一般化レイリー商

• ゴルブ、ジーン H.; ヴァン・ローン、チャールズ F. (1996)、マトリックス計算(第 3 版)、ボルチモア:ジョンズ・ホプキンス大学出版局、ISBN 0-8018-5414-8
• マーカス＆ミンク（1969）「行列理論と行列不等式の概観」、クーリエ・ドーバー出版
• Peter Lancaster & Qian Ye (1991)「対称行列ペンシルの変分法と数値法」、オーストラリア数学会報43: 1 ～ 17