ギャンブラーの誤謬

ギャンブラーの誤謬は、公平なコインを繰り返し投げる場合を例に説明できます。異なる投げの結果は統計的に独立しており、1回の投げで表が出る確率は1/2 (2分の1 ) です。2回の投げで2回とも表が出る確率は1/4 (4分の1 )であり、3回の投げで3回とも表が出る確率は 1/8 (8分の1) です。一般に、 A i を公平_なコインのi回目の投げで表が出る事象とすると、次のようになります。

${\displaystyle \Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\prod _{i=1}^{n}\Pr(A_{i})={1 \over 2^{n}}}$。

4回連続で表が出た後、次のコイン投げでも表が出た場合、5回連続で表が出たことになります。5回連続で表が出る確率は 1/32 (32分の1) なので、次のコイン投げでは表よりも裏が出る可能性が高いと考える人もいるかもしれません。しかし、これは間違いで、ギャンブラーの誤謬の一例です。「5回連続で表が出る」という事象と「最初の4回が表で、次に裏が出る」という事象はどちらも同じ確率で、それぞれ 1/32 です。最初の4回が表だったので、次のコイン投げで表が出る確率は次のようになります。

${\displaystyle \Pr \left(A_{5}|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}\right)=\Pr \left(A_{5}\right)={\frac {1}{2}}}$。

5回連続で表が出る確率は 1/32 = 0.03125 (3%強) ですが、誤解の原因は、これが最初のコインを投げる前の確率に過ぎないという点にあります。この例では、最初の4回の投げが終わると結果はもはや不明ではなくなるため、その時点での確率は 1 (100%) になります。連続したコイン投げがさらに1回続く確率は常に 0.5 です。前の4回が表だったため、5回目の投げは裏になる可能性が高い、つまり過去の幸運が将来の確率に影響を与えるという考え方が、この誤謬の根拠となっています。

公平なコインを21回投げた場合、21回とも表が出る確率は2,097,152分の1です。20回連続で表が出た後、再び表が出る確率は1/2です。公平なコインを仮定すると、次のようになります。

• 20回表が出て、1回裏が出る確率は0.5です^。20 × 0.5 = 0.5 ²¹
• 20回表が出て、その後1回表が出る確率は0.5です^。20 × 0.5 = 0.5 ²¹

20 回表が出て 1 回裏が出る確率と、20 回表が出て 1 回裏が出る確率はどちらも 2,097,152 分の 1 です。公平なコインを 21 回投げると、21 回すべて表が出る確率と 20 回すべて表が出て 1 回裏が出る確率は同じです。これらの 2 つの結果は、コインを 21 回投げたときに得られる他の組み合わせのいずれとも同じように起こり得ます。21 回投げたときのすべての組み合わせの確率は 0.5 ²¹、つまり 2,097,152 分の 1 になります。21 回投げたときのすべての結果は他の結果と同じくらい起こり得るため、以前の投げの結果によって確率が変わると考えるのは誤りです。ベイズの定理に従って、各投げの起こり得る結果は公平なコインの確率であり、それは1/2です。

この誤謬は、過去の失敗がその後の試みにおける成功確率を高めるという誤った考えにつながります。公平な16面サイコロの場合、各結果が発生する確率は1/16（6.25%）です。勝利を1を出すことと定義すると、16回の試行で少なくとも1回1が出る確率は次のようになります。

$1-[15/16]^16 = 64.39$

最初のロールで負ける確率は 15/16 (93.75%) です。この誤謬によれば、プレイヤーは一度負けた後、勝つ確率が高くなるはずです。少なくとも一度勝つ確率は次のようになります。

${\displaystyle 1-\left[{\frac {15}{16}}\right]^{15}\,=\,62.02\%}$

1回のコイントスで負けると、プレイヤーの勝率は2パーセントポイント低下します。5回負けて残り11回の試行がある場合、勝率は約0.5（50%）まで低下します。連続して負けた後、少なくとも1回勝つ確率は増加しません。実際、勝つチャンスが少なくなるため、成功する確率は実際に低下します。最終的に、勝率は1回のコイントスで勝つ確率、つまり1/16（6.25%）と等しくなり、これは残り1回の試行で起こります。

ギャンブラーの誤謬は、異なる事象の確率が独立でない場合に適用されません。このような場合、事象の統計的順列など、過去の事象の結果に基づいて将来の事象の確率が変化する可能性があります。例として、カードをデッキから元に戻さずに引く場合が挙げられます。デッキからエースが引かれ、元に戻されない場合、次に引かれるカードがエースである可能性は低くなり、他のランクのカードである可能性が高くなります。最初に引かれたカードがエースであり、ジョーカーがないと仮定した場合、再びエースを引く確率は4/52 ( 7.69 % )から 3/51 (5.88%) に減少し、他の各ランクの確率は 4/52 (7.69%) から 4/51 (7.84%) に増加します。この効果により、ブラックジャックなどのゲームでカードカウンティングシステムが機能します。

ギャンブラーの誤謬と逆ギャンブラーの誤謬のほとんどの例では、試行（コイン投げなど）は公平であると仮定されています。実際には、この仮定は成り立たない場合があります。たとえば、コインを21回投げた場合、公平なコインで21回とも表が出る確率は2,097,152分の1です。この確率は非常に小さいため、もしそうなった場合、コインが何らかの形で表が出るように偏っているか、隠された磁石などで操作されている可能性があります。^{[ 8 ]}この場合、賢明な賭けは「表」です。なぜなら、経験的証拠（21回連続で表）からのベイズ推論は、コインが表が出るように偏っている可能性が高いことを示唆しているからです。ベイズ推論は、異なる結果の長期的な割合が不明だが交換可能である場合（つまり、結果が生成されるランダムプロセスは偏っている可能性があるが、どの方向にも偏っている可能性が等しい場合）、および過去の観測が偏りの可能性のある方向を示している場合、観測データで最も多く発生した結果が再び発生する可能性が最も高いことを示すために使用できる。^{[ 9 ]}

例えば、偏ったコインである事前確率が1%だと仮定し、そのような偏ったコインが表になる確率が60%だとすると、21回表が出た後には、偏ったコインである確率は約32%に上昇します。

トム・ストッパード作の戯曲『ローゼンクランツとギルデンスターンは死んだ』の冒頭シーンでは、一方の男が絶えず頭をひっくり返し、もう一方が様々な可能性のある説明を検討する中で、これらの問題が議論されている。

外部要因によって事象の確率が変化する可能性がある場合、ギャンブラーの誤謬は成り立たないかもしれない。例えば、ゲームルールの変更によって一方のプレイヤーが有利になり、勝率が向上する可能性がある。同様に、経験の浅いプレイヤーは、対戦相手がその弱点を把握し、それを突いた戦術を用いるようになると、勝率が低下する可能性がある。これもバイアスの一例である。

ギャンブラーの誤謬は、少数の法則への信念から生じ、少数のサンプルがより大きな母集団を代表しているに違いないという誤った信念につながります。この誤謬によれば、代表的であるためには、連勝は最終的に均等化されなければなりません。^{[ 10 ]}アモス・トベルスキーとダニエル・カーネマンは、ギャンブラーの誤謬は、代表性ヒューリスティックと呼ばれる心理的ヒューリスティックによって生じる認知バイアスであると最初に提唱しました。代表性ヒューリスティックとは、人々は特定の事象の確率を、以前に経験した事象との類似性、およびそれら2つのプロセスを取り巻く事象の類似性を評価することによって評価するというものです。^{[ 11 ] [ 10 ]}この見解によれば、「たとえば、ルーレットホイールで赤が長く続くのを見た後、ほとんどの人は、黒が追加の赤の発生よりもより代表的なシーケンスをもたらすと誤って信じます」^{[ 11 ]}そのため、人々は、ランダムな結果の短い連続は、平均からの偏差が均等化されるという点で、より長い連続の特性を共有するはずだと期待します。人々がランダムに見えるコイン投げのシーケンスを作成するように求められた場合、表と裏の比率が偶然に予測されるよりも短いセグメントで0.5に近いシーケンスを作成する傾向があり、これはサンプルサイズに対する無感度として知られる現象です。^{[ 12 ]}カーネマンとトベルスキーは、これは人々がランダムなイベントの短いシーケンスがより長いシーケンスを代表するはずだと信じていることを意味すると解釈しています。^{[ 10 ]}代表性ヒューリスティックは、関連する現象であるクラスタリング錯覚の背後にも挙げられており、それによると、人々はランダムなイベントの連続を非ランダムと認識しますが、そのような連続は実際には人々が予想するよりもはるかに小さなサンプルで発生する可能性が高いです。^{[ 13 ]}

ギャンブラーの誤謬は、ギャンブル、あるいは偶然そのものが、連勝の場合には自らを修正できる公平なプロセスであるという誤った信念、いわゆる公正世界誤謬に起因することもある。^{[ 14 ]}他の研究者は、この誤謬への信念は、内的統制の所在に関する誤った信念の結果である可能性があると考えている。ギャンブルの結果が自分のスキルの結果であると信じている人は、偶然がスキルや才能を克服できるという考えを拒否するため、ギャンブラーの誤謬に陥りやすくなる可能性がある。^{[ 15 ]}

 研究者の中には、ギャンブラーの誤謬にはタイプ1 とタイプ 2 の2 つのタイプを定義できると考える人もいます。タイプ 1 は古典的なギャンブラーの誤謬で、ある結果が長期間続いた後に特定の結果が出るはずだと個人が信じるものです。 ギデオン ケレンとチャールズ ルイスによって定義されたタイプ 2 のギャンブラーの誤謬は、ルーレットを一定時間観察し、最も頻繁に出現する数字に賭けるなど、好ましい結果を検出するために必要な観察回数をギャンブラーが過小評価する場合に発生します。ランダム性が高いイベントの場合、好ましい結果につながるバイアスを検出するには非現実的に長い時間がかかり、不可能ではないにしても非常に困難です。^{[ 16 ]} 2 つのタイプの違いは、タイプ 1 はギャンブル条件が公平で完璧であると誤って仮定しているのに対し、タイプ 2 は条件にバイアスがあり、このバイアスは一定時間後に検出できると仮定している点です。

もう一つの類型は、回顧的ギャンブラーの誤謬として知られており、一見まれな出来事が、より一般的な出来事よりも長いシーケンスから生じたに違いないと個人が判断するときに発生します。サイコロを振った想像上のシーケンスは、6が3回連続して出た場合、6が2回しか出なかった場合と比べて3倍以上長いと信じられます。この効果は、単独の事例でも、連続して観察されることもあります。別の例としては、ある夜に10代の少女が避妊せずに性行為をして妊娠したと聞き、避妊せずに性行為をしたが妊娠しなかったと聞いた場合よりも、避妊せずに性行為をしていた期間が長いと結論付けることが挙げられます。ただし、各性交の結果として妊娠する確率は、以前の性交の回数とは無関係です。^{[ 17 ]}

別の心理学的観点では、ギャンブラーの誤謬はバスケットボールのホットハンドの誤謬の対義語と見なすことができるとされています。ホットハンドの誤謬では、人々は前の出来事と同じ結果を予測する傾向があり、これはポジティブ・リセンシーとして知られ、高得点者が得点し続けるという信念につながります。ギャンブラーの誤謬では、人々は前の出来事の反対の結果を予測します。これはネガティブ・リセンシーであり、ルーレットが過去 6 回黒に止まったので、次は赤に止まるはずだと信じます。エイトンとフィッシャーは、ホットハンドの誤謬が人間のパフォーマンスに関するものであるため、人々は無生物が「ホット」になることはないと信じているため、ホットハンドの誤謬に対してポジティブ・リセンシーを示すと理論づけています。^{[ 18 ]}人間のパフォーマンスはランダムとは認識されておらず、人々は結果を生み出すプロセスがランダムではないと信じている場合、連勝を続ける可能性が高くなります。 ^{[ 19 ]}ギャンブラーの誤謬を示す人は、ホットハンドの誤謬も示す可能性が高く、これは2つの誤謬の原因が1つの構成概念にあることを示唆している。^{[ 15 ]}

この2つの誤謬の違いは、経済的意思決定にも見られます。2010年にHuber、Kirchler、Stocklが行った研究では、金融市場においてホットハンドとギャンブラーの誤謬がどのように現れるかを調べました。研究者たちは参加者に選択肢を与えました。一連のコイン投げの結果に賭けるか、専門家の意見を参考にするか、あるいはリスクのない代替案を選んで報酬は少なくなるか、という選択肢です。参加者は過去の成功経験に基づいて、24%の確率で専門家の意見を参考に意思決定を行いました。これはホットハンドの一例です。専門家の意見が正しかった場合、参加者の78%が再び専門家の意見を選びましたが、専門家の意見が間違っていた場合は57%にとどまりました。参加者はまた、ギャンブラーの誤謬も示しました。表か裏が連続して出たことに気づいた後、表か裏のどちらかを選ぶ頻度が減少したのです。この実験は、人々は一見ランダムなプロセスよりも人間のパフォーマンスを信頼するというエイトンとフィッシャーの理論を裏付けるのに役立った。^{[ 20 ]}

代表性ヒューリスティックやその他の認知バイアスは、ギャンブラーの誤謬の最も一般的な原因として挙げられますが、研究によると、神経学的要素も関係している可能性があります。機能的磁気共鳴画像法（fMRI）では、賭けやギャンブルで負けた後（リスク損失と呼ばれる）、脳の前頭頭頂ネットワークが活性化し、よりリスクの高い行動につながることが示されています。対照的に、リスク損失後には扁桃体、尾状核、腹側線条体の活動が低下します。扁桃体の活性化はギャンブラーの誤謬と負の相関関係にあるため、扁桃体の活動が高いほど、ギャンブラーの誤謬に陥る可能性は低くなります。これらの結果は、ギャンブラーの誤謬は、実行機能や目標指向的なプロセスを担う前頭前野に大きく依存し、情動的な意思決定を制御する脳領域への依存度が低いことを示唆しています。

ギャンブルや賭け事を続けたいという欲求は、選択と結果の連動学習法を支える線条体によって制御されています。線条体は予測の誤りを処理し、それに応じて行動が変化します。勝利後には肯定的な行動が強化され、敗北後にはその行動が回避されるように条件付けられます。ギャンブラーの誤謬を示す人では、この選択と結果の連動法が損なわれており、一連の損失の後もリスクを冒し続けます。^{[ 21 ]}

ギャンブラーの誤謬は根深い認知バイアスであり、克服するのは非常に難しい。ランダム性の性質について個人を教育しても、誤謬のあらゆる兆候を軽減または排除するのに必ずしも効果的であるとは証明されていない。1967年にビーチとスウェンソンが行った研究では、参加者は図形が描かれたインデックスカードのシャッフルされたデッキを見せられ、次にどの図形が続くかを推測するように指示された。実験グループの参加者には、ギャンブラーの誤謬の性質と存在について知らされ、推測をする際に連続依存性に頼らないように明確に指示された。対照グループにはこの情報は与えられなかった。2つのグループの反応スタイルは似ており、実験グループが依然として連続シーケンスの長さに基づいて選択を行っていることが示された。このことから、ランダム性について個人を教育するだけではギャンブラーの誤謬を軽減するには不十分であるという結論に至った。^{[ 22 ]}

ギャンブラーの誤謬に対する個人の感受性は、年齢とともに低下する可能性がある。1997年にFischbeinとSchnarchが行った研究では、5年生、7年生、9年生、11年生、および数学教育を専門とする大学生の5つのグループにアンケートを実施した。参加者はいずれも、確率に関する事前教育を受けていなかった。質問は、「ロニーはコインを3回投げ、すべて表が出た。ロニーはもう一度コインを投げるつもりだ。4回目に表が出る確率はどれくらいか？」というものだった。結果は、生徒が年を取るにつれて、「裏が出る確率よりも小さい」と答える可能性が低くなることを示しており、これは否定的な近時効果を示している。5年生の35%、7年生の35%、9年生の20%が否定的な近時効果を示した。11年生ではわずか10%しかこのように答えず、大学生は誰もそう答えなかった。フィッシュバインとシュナーチは、個人が代表性ヒューリスティックやその他の認知バイアスに頼る傾向は、年齢とともに克服できると理論づけた。^{[ 23 ]}

別の解決策として、ゲシュタルト心理学者のロニーとトリックは、この誤謬はグループ化によって解消できる可能性があると示唆している。コイン投げのような将来の出来事が、たとえ恣意的であっても一連の出来事の一部として説明されると、人は自動的にその出来事を過去の出来事と関連付けて考えてしまい、ギャンブラーの誤謬が生じる。人がすべての出来事を独立したものとして考えると、この誤謬は大幅に軽減される。^{[ 24 ]}

ロニーとトリックは実験参加者に対し、6回のコイン投げからなる2つのブロック、または7回のコイン投げからなる2つのブロックのどちらかに賭けると説明した。4回目、5回目、6回目の投げはすべて同じ結果で、表が3回出るか裏が3回出るかのいずれかだった。7回目の投げは、1つのブロックの終わり、または次のブロックの始まりのどちらかにグループ化された。参加者は、7回目の試行が最初のブロックの一部であり、3回の表または裏の連続の直後であった場合に、最も強いギャンブラーの誤謬を示した。研究者らは、ギャンブラーの誤謬を示さなかった参加者は、ギャンブラーの誤謬で選んだ参加者よりも賭けに対する自信が低く、賭ける回数も少なかったと指摘した。7回目の試行が2番目のブロックにグループ化され、連続の一部ではないと認識された場合、ギャンブラーの誤謬は発生しなかった。

ロニーとトリックは、ランダム性の本質について個人に教えるのではなく、それぞれの出来事を過去の出来事の続きではなく、新たな始まりとして捉えるように訓練することで、この誤謬を回避できると主張した。彼らは、こうすることで、過去の出来事との相互作用によって勝率が上がるという誤った期待を抱いて、負けている時にギャンブルに興じる人がいなくなるだろうと示唆した。

現実世界における数々の研究により、重大な局面にある様々な意思決定者においては、判断においてある程度の強い負の自己相関が見られる可能性が高いことが明らかになっている。

宝くじプレイヤー

宝くじとジャックポットは世界中のギャンブラーを魅了し、当選を期待する人にとって最大の決断はどの数字を選ぶかである。ほとんどの人は独自の戦略を持っているが、証拠によれば、現在の抽選で数字が当選として選ばれた後、次の宝くじでは同じ数字の選択が大幅に減少する。チャールズ・クロットフェルターとフィリップ・クックによる有名な研究は、1991年にこの効果を調査し、賭け手は選ばれた直後に数字の選択をやめ、最終的に3か月以内に選択の人気が回復すると結論付けた。^{[ 28 ]}その後すぐに、1994年にデク・テレルがクロットフェルターとクックの発見を検証する研究を作成した。テレルの研究の重要な変更点は、賭け金の合計が少ない数字を選んだ方が配当が高くなるパリミュチュエル宝くじを調査したことである。この調査では、両方のタイプの宝くじの参加者がギャンブラーの誤謬理論に沿った行動を示したと結論づけられたが、パリミュチュエル方式の賭けに参加した人は影響を受けにくかったようである。^{[ 27 ]}

ギャンブラーの誤謬の影響は、当選番号が選ばれた直後は、その番号が選ばれる頻度が著しく低下し、その後2ヶ月かけて徐々に回復していくという現象からも見て取れる。例えば、1988年4月11日には、41人のプレイヤーが244を当選番号として選んだ。3日後には、244を選んだのはわずか24人で、41.5%の減少となった。これはまさにギャンブラーの誤謬の典型的な例であり、宝くじのプレイヤーは、過去に当選番号が出たことで、今日同じ番号が出る可能性が低くなると信じているのである。