離散コサイン変換

DCTは、以下のような多くの用途で広く使用されています。

DCT-IIは重要な画像圧縮技術です。JPEGなどの画像圧縮規格や、H.26x、MJPEG、MPEG、DV、Theora、Daalaなどのビデオ圧縮規格で使用されています。そこでは、2次元DCT-IIは${\displaystyle N\times N}$ブロックが計算され、結果が量子化され、エントロピー符号化されます。この場合、${\displaystyle N}$は通常 8 であり、DCT-II 式がブロックの各行と各列に適用されます。結果として、8  × 8 の変換係数配列が生成され、${\displaystyle (0,0)}$（左上の）要素はDC（ゼロ周波数）成分であり、垂直および水平インデックス値が増加するエントリは、より高い垂直および水平空間周波数を表します。

DCTの整数近似である整数DCT ^{[ 3 ] [ 2 ]}は、2003年に導入されたAdvanced Video Coding（AVC）^{[ 53 ] [ 2 ]}と、 2013年に導入されたHigh Efficiency Video Coding（HEVC）^{[ 5 ] [ 2 ]}で使用されています。整数DCTは、静止画の符号化にHEVCビデオ符号化フォーマットのサブセットを使用するHigh Efficiency Image Format （HEIF）でも使用されています^{[ 5 ]}。AVCは4 ×4と8 ×8のブロックを使用します。HEVCとHEIFは、4 ×4から32 ×32ピクセルまでのさまざまなブロックサイズを使用します^{[ 5 ] [ 2 ]}。2019年現在    AVCは、ビデオコンテンツの録画、圧縮、配信に最も一般的に使用されているフォーマットであり、ビデオ開発者の91%が使用しており、次いでHEVCが43%の開発者によって使用されています。^{[ 44 ]}

多次元 DCT (MD DCT) にはいくつかの用途があり、主に 3-D DCT には 3-D DCT-II などがあり、ハイパースペクトルイメージング符号化システム^{[ 86 ]} 、可変時間長 3-D DCT 符号化^{[ 87 ]} 、ビデオ符号化アルゴリズム^{[ 88 ]} 、適応型ビデオ符号化^{[ 89 ]}、3-D 圧縮^{[ 90 ]}など、いくつかの新しい用途があります。ハードウェア、ソフトウェアの強化、およびいくつかの高速アルゴリズムの導入により、MD DCT を使用する必要性が急速に高まっています。DCT -IV は、実数値多相フィルタリングバンク^{[ 91 ]} 、ラップ直交変換^{[ 92 ] [ 93 ]}、およびコサイン変調ウェーブレット基底^{[ 94 ]の高速実装における用途で人気を集めています。}

DCTは、特にデータ圧縮において、デジタル信号処理において重要な役割を果たします。DCTは、デジタル信号プロセッサ（DSP）やデジタル信号処理ソフトウェアに広く実装されています。多くの企業がDCT技術に基づいたDSPを開発しています。DCTは、エンコード、デコード、ビデオ、オーディオ、多重化、制御信号、信号伝送、アナログ-デジタル変換などのアプリケーションに広く使用されています。DCTは、高精細テレビ（HDTV）エンコーダ/デコーダチップにも一般的に使用されています。^{[ 2 ]}

デジタルメディアにおける DCT 圧縮の一般的な問題は、DCT ブロックによって引き起こされるブロック状の圧縮アーティファクトです。 ^{[ 95 ] [ 4 ]} DCT アルゴリズムでは、画像 (または画像シーケンス内のフレーム) は正方形のブロックに分割され、それぞれが独立して処理されます。次に、各ブロック内で DCT ブロックが取得され、結果として得られる DCT 係数が量子化されます。このプロセスは、主に高いデータ圧縮率でブロック状のアーティファクトを引き起こす可能性があります。^{[ 95 ]}これは、デジタルビデオでよく見られるモスキートノイズ効果を引き起こす可能性もあります。^{[ 96 ]}

DCT ブロックはグリッチ アートでよく使われます。^{[ 4 ]}アーティストのRosa Menkman は、グリッチ アートで DCT ベースの圧縮アーティファクトを使用しています。^{[ 97 ]}特に、JPEGデジタル画像やMP3オーディオなどのほとんどのデジタル メディアフォーマットに見られる DCT ブロックです。^{[ 4 ]}もう 1 つの例は、ドイツの写真家Thomas RuffのJpegsで、意図的にJPEGアーティファクトを写真のスタイルの基礎として使用しています。^{[ 98 ] [ 99 ]}

${\displaystyle X_{k}={\frac {1}{2}}(x_{0}+(-1)^{k}x_{N-1})+\sum _{n=1}^{N-2}x_{n}\cos \left[\,{\tfrac {\ \pi }{\,N-1\,}}\,n\,k\,\right]\qquad {\text{ for }}~k=0,\ \ldots \ N-1~.}$

一部の著者はさらに${\displaystyle x_{0}}$そして${\displaystyle x_{N-1}}$規約${\displaystyle {\sqrt {2\,}}\,}$そしてそれに応じて${\displaystyle X_{0}}$そして${\displaystyle X_{N-1}}$規約${\displaystyle 1/{\sqrt {2\,}}\,}$さらに全体のスケール係数を掛けると${\textstyle {\sqrt {{\tfrac {2}{N-1\,}}\,}}}$、DCT-I行列を直交化しますが、実偶数DFTとの直接的な対応関係を崩します。

DCT-I は、(全体のスケール係数 2 を除いて) DFT と完全に等価です。${\displaystyle 2(N-1)}$偶対称性を持つ実数。例えば、DCT-I は${\displaystyle N=5}$実数${\displaystyle a\ b\ c\ d\ e}$これは、8 つの実数の DFT と完全に同等です。${\displaystyle a\ b\ c\ d\ e\ d\ c\ b}$（偶対称性）を2で割った値。（対照的に、DCTタイプII～IVでは、等価DFTにおいてサンプルの半分のシフトが生じる。）

ただし、DCT-I は定義されていないことに注意してください。${\displaystyle N}$2未満の場合、他のすべてのDCTタイプは任意の正の値に対して定義されます。${\displaystyle N}$。

したがって、DCT-Iは境界条件に対応します。${\displaystyle x_{n}}$周囲にも${\displaystyle n=0}$そしてそのあたり${\displaystyle n=N-1}$;同様に${\displaystyle X_{k}}$。

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cos \left[\,{\tfrac {\,\pi \,}{N}}\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)k\,\right]\qquad {\text{ for }}~k=0,\ \dots \ N-1~.}$

DCT-IIはおそらく最も一般的に使用されている形式で、単にDCTと呼ばれることが多い。^{[ 6 ] [ 7 ]}

この変換は、（全体のスケール係数2を除いて）DFTと完全に等価である。${\displaystyle 4N}$偶数対称性の実数入力で、偶数インデックスの要素はゼロです。つまり、DFT の半分です。${\displaystyle 4N}$入力${\displaystyle y_{n},}$どこ$\displaystyle y_{2n}=0}$、$\displaystyle y_{2n+1}=x_{n}}$のために${\displaystyle 0\leq n<N}$、$\displaystyle y_{2N}=0}$、 そして${\displaystyle y_{4N-n}=y_{n}}$のために${\displaystyle 0<n<2N}$. DCT-II変換も可能${\displaystyle 2N}$信号に続いて半シフトによる乗算が行われます。これはMakhoulによって実証されています。

一部の著者はさらに${\displaystyle X_{0}}$用語による${\displaystyle 1/{\sqrt {N\,}}\,}$そして残りの行列に全体のスケール係数を掛ける${\textstyle {\sqrt {{2}/{N}}}}$（DCT-III の対応する変更については下記を参照）。これにより、DCT-II 行列は直交化されますが、半シフト入力の実偶数 DFT との直接的な対応関係は崩れます。これはMatlabで使用される正規化です。^{[ 100 ]} JPEGなどの多くのアプリケーションでは、スケール係数を後続の計算ステップ (例えばJPEG の量子化ステップ^{[ 101 ]} ) と組み合わせることができるため、スケーリングは任意です。また、DCT をより少ない乗算で計算できるようなスケーリングを選択できます。^{[ 102 ] [ 103 ]}

DCT-IIは、以下の境界条件を意味する。${\displaystyle x_{n}}$周囲にも${\displaystyle n=-1/2}$そしてそのあたり${\displaystyle n=N-1/2\,}$;${\displaystyle X_{k}}$周囲にも${\displaystyle k=0}$そして奇妙な${\displaystyle k=N}$。

${\displaystyle X_{k}={\tfrac {1}{2}}x_{0}+\sum _{n=1}^{N-1}x_{n}\cos \left[\,{\tfrac {\,\pi \,}{N}}\left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)n\,\right]\qquad {\text{ for }}~k=0,\ \ldots \ N-1~.}$

これはスケールファクターを除いてDCT-IIの逆であるため（下記参照）、この形式は単に逆DCT（IDCT）と呼ばれることもあります。^{[ 7 ]}

一部の著者は${\displaystyle x_{0}}$用語による$\displaystyle {\sqrt {2}}}$2 倍ではなく、全体として${\displaystyle x_{0}/{\sqrt {2}}}$項）を乗算し、結果として得られる行列に全体のスケール係数を掛けます。${\textstyle {\sqrt {2/N}}}$（DCT-IIにおける対応する変更については上記を参照）により、DCT-IIとDCT-IIIは互いに転置行列となる。これによりDCT-III行列は直交行列となるが、半シフト出力の実偶数DFTとの直接的な対応関係は崩れる。

DCT-IIIは、以下の境界条件を意味する。${\displaystyle x_{n}}$周囲にも${\displaystyle n=0}$そして奇妙な${\displaystyle n=N;}$${\displaystyle X_{k}}$周囲にも${\displaystyle k=-1/2}$そしてそのあたり${\displaystyle k=N-1/2.}$

${\displaystyle X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}\cos \left[\,{\tfrac {\,\pi \,}{N}}\,\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)\,\right]\qquad {\text{ for }}k=0,\ \ldots \ N-1~.}$

DCT-IV行列は、さらに全体のスケール係数を掛けると直交行列（したがって、明らかに対称であるため、その逆行列）になります。${\textstyle {\sqrt {2/N}}.}$

異なる変換からのデータが重なり合うDCT-IVの変種は、修正離散コサイン変換（MDCT）と呼ばれている。^{[ 104 ]}

DCT-IVは、以下の境界条件を意味する。${\displaystyle x_{n}}$周囲にも${\displaystyle n=-1/2}$そして奇妙な${\displaystyle n=N-1/2}$;同様に${\displaystyle X_{k}}$。

タイプI～IVのDCTは、対称点に関して両方の境界を一貫して扱います。つまり、両方の境界でデータ点の周囲で偶数または奇数になるか、両方の境界で2つのデータ点の中間に位置するかのいずれかです。対照的に、タイプV～VIIIのDCTは、一方の境界ではデータ点の周囲で偶数または奇数になり、もう一方の境界では2つのデータ点の中間に位置する境界を意味します。

言い換えれば、DCTタイプI～IVは偶数次の実偶数DFTに相当します（${\displaystyle N}$は偶数か奇数か）であり、対応するDFTの長さは${\displaystyle 2(N-1)}$（DCT-Iの場合）または${\displaystyle 4N}$（DCT-IIおよびIIIの場合）または${\displaystyle 8N}$（DCT-IVの場合）。4つの追加の離散コサイン変換^{[ 105 ]}は、本質的に論理的に奇数次の実偶数DFTに対応し、その因子は${\displaystyle N\pm {1}/{2}}$コサイン関数の分母において。

しかし、これらのバリアントは実際にはほとんど使用されていないようです。その理由の一つとして、奇数長のDFTに対するFFTアルゴリズムは、偶数長のDFTに対するFFTアルゴリズムよりも一般的に複雑であること（例えば、最も単純な基数2アルゴリズムは偶数長にしか対応していない）が挙げられます。そして、この複雑さの増加は、後述するようにDCTにも引き継がれています。自明な実数偶数配列、単一の数値の長さ1のDFT（奇数長）は、${\displaystyle a}$、長さの DCT-V に対応します${\displaystyle N=1}$。

例えば、画像や行列の2次元DCT-IIは、上記の1次元DCT-IIを、行方向と列方向（またはその逆）に実行しただけのものです。多次元DCTの逆変換は、対応する1次元DCTの逆変換の分離可能な積に等しく（上記参照）、例えば、行・列アルゴリズムで1次元ずつ適用された1次元逆変換などがこれに該当します。

2D DCT-IIは、次の式で与えられます（上記のように、正規化およびその他のスケール係数は省略します）。

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{k_{1},k_{2}}&=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\left(\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}x_{n_{1},n_{2}}\cos \left[{\frac {\pi }{N_{2}}}\left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)k_{2}\right]\right)\cos \left[{\frac {\pi }{N_{1}}}\left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)k_{1}\right]\\&=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}x_{n_{1},n_{2}}\cos \left[{\frac {\pi }{N_{1}}}\left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)k_{1}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{2}}}\left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)k_{2}\right].\end{aligned}}}$

3 -D DCT-IIは、 2-D DCT-IIを3次元空間に拡張したものであり、数学的には次の式で計算できます。

${\displaystyle X_{k_{1},k_{2},k_{3}}=\sum _{n_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{n_{2}=0}^{N_{2}-1}\sum _{n_{3}=0}^{N_{3}-1}x_{n_{1},n_{2},n_{3}}\cos \left[{\frac {\pi }{N_{1}}}\left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)k_{1}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{2}}}\left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)k_{2}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{3}}}\left(n_{3}+{\frac {1}{2}}\right)k_{3}\right],\quad {\text{for }}k_{i}=0,1,2,\dots ,N_{i}-1.}$

3-D DCT-IIの逆変換は3-D DCT-IIIであり、次の式から計算できます。

${\displaystyle x_{n_{1},n_{2},n_{3}}=\sum _{k_{1}=0}^{N_{1}-1}\sum _{k_{2}=0}^{N_{2}-1}\sum _{k_{3}=0}^{N_{3}-1}X_{k_{1},k_{2},k_{3}}\cos \left[{\frac {\pi }{N_{1}}}\left(n_{1}+{\frac {1}{2}}\right)k_{1}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{2}}}\left(n_{2}+{\frac {1}{2}}\right)k_{2}\right]\cos \left[{\frac {\pi }{N_{3}}}\left(n_{3}+{\frac {1}{2}}\right)k_{3}\right],\quad {\text{for }}n_{i}=0,1,2,\dots ,N_{i}-1.}$

技術的には、各次元に沿って 1 次元 DCT のシーケンスによって 2 次元、3 次元 (または多次元) DCT を計算することは、行列アルゴリズムとして知られています。ただし、多次元 FFT アルゴリズムと同様に、異なる順序で計算を実行する (つまり、異なる次元のアルゴリズムをインターリーブまたは組み合わせる) ことで同じことを計算する他の方法も存在します。3-D DCT に基づくアプリケーションの急速な成長により、3-D DCT-II の計算用にいくつかの高速アルゴリズムが開発されています。ベクトル基数アルゴリズムは、MD DCT の計算に適用され、計算の複雑さを軽減し、計算速度を向上させます。ベクトル基数周波数間引き (VR DIF) は、3-D DCT-II を効率的に計算するアルゴリズムの例です。

3D DCT-II VR DIF

VR DIFアルゴリズムを適用するには、入力データを次のように定式化して再配置する必要があります。^{[ 106 ] [ 107 ]}変換サイズN  ×N  ×Nは2と仮定します 。

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\tilde {x}}(n_{1},n_{2},n_{3})=x(2n_{1},2n_{2},2n_{3})\\{\tilde {x}}(n_{1},n_{2},N-n_{3}-1)=x(2n_{1},2n_{2},2n_{3}+1)\\{\tilde {x}}(n_{1},N-n_{2}-1,n_{3})=x(2n_{1},2n_{2}+1,2n_{3})\\{\tilde {x}}(n_{1},N-n_{2}-1,N-n_{3}-1)=x(2n_{1},2n_{2}+1,2n_{3}+1)\\{\tilde {x}}(N-n_{1}-1,n_{2},n_{3})=x(2n_{1}+1,2n_{2},2n_{3})\\{\tilde {x}}(N-n_{1}-1,n_{2},N-n_{3}-1)=x(2n_{1}+1,2n_{2},2n_{3}+1)\\{\tilde {x}}(N-n_{1}-1,N-n_{2}-1,n_{3})=x(2n_{1}+1,2n_{2}+1,2n_{3})\\{\tilde {x}}(N-n_{1}-1,N-n_{2}-1,N-n_{3}-1)=x(2n_{1}+1,2n_{2}+1,2n_{3}+1)\\\end{array}}}$

どこ${\displaystyle 0\leq n_{1},n_{2},n_{3}\leq {\frac {N}{2}}-1}$

隣の図は、VR DIFアルゴリズムを使用して3D DCT-IIを計算する際に必要な4つの段階を示しています。最初の段階は、上記の式で示されるインデックスマッピングを使用した3D再配置です。2番目の段階はバタフライ計算です。各バタフライは、すぐ下の図に示すように、8つの点をまとめて計算します。${\displaystyle c(\varphi _{i})=\cos(\varphi _{i})}$。

オリジナルの3次元DCT-IIは次のように記述できます。

${\displaystyle X(k_{1},k_{2},k_{3})=\sum _{n_{1}=1}^{N-1}\sum _{n_{2}=1}^{N-1}\sum _{n_{3}=1}^{N-1}{\tilde {x}}(n_{1},n_{2},n_{3})\cos(\varphi k_{1})\cos(\varphi k_{2})\cos(\varphi k_{3})}$

どこ${\displaystyle \varphi _{i}={\frac {\pi }{2N}}(4N_{i}+1),{\text{ and }}i=1,2,3.}$

偶数部分と奇数部分が${\displaystyle k_{1},k_{2}}$そして${\displaystyle k_{3}}$これらを考慮すると、3-D DCT-II の計算の一般式は次のように表すことができます。

${\displaystyle X(k_{1},k_{2},k_{3})=\sum _{n_{1}=1}^{{\tfrac {N}{2}}-1}\sum _{n_{2}=1}^{{\tfrac {N}{2}}-1}\sum _{n_{1}=1}^{{\tfrac {N}{2}}-1}{\tilde {x}}_{ijl}(n_{1},n_{2},n_{3})\cos(\varphi (2k_{1}+i)\cos(\varphi (2k_{2}+j)\cos(\varphi (2k_{3}+l))}$

どこ

${\displaystyle {\tilde {x}}_{ijl}(n_{1},n_{2},n_{3})={\tilde {x}}(n_{1},n_{2},n_{3})+(-1)^{l}{\tilde {x}}\left(n_{1},n_{2},n_{3}+{\frac {n}{2}}\right)}$

${\displaystyle +(-1)^{j}{\tilde {x}}\left(n_{1},n_{2}+{\frac {n}{2}},n_{3}\right)+(-1)^{j+l}{\tilde {x}}\left(n_{1},n_{2}+{\frac {n}{2}},n_{3}+{\frac {n}{2}}\right)}$

${\displaystyle +(-1)^{i}{\tilde {x}}\left(n_{1}+{\frac {n}{2}},n_{2},n_{3}\right)+(-1)^{i+j}{\tilde {x}}\left(n_{1}+{\frac {n}{2}}+{\frac {n}{2}},n_{2},n_{3}\right)}$

${\displaystyle +(-1)^{i+l}{\tilde {x}}\left(n_{1}+{\frac {n}{2}},n_{2},n_{3}+{\frac {n}{3}}\right)}$

${\displaystyle +(-1)^{i+j+l}{\tilde {x}}\left(n_{1}+{\frac {n}{2}},n_{2}+{\frac {n}{2}},n_{3}+{\frac {n}{2}}\right){\text{ where }}i,j,l=0{\text{ or }}1.}$

算術的複雑度

3D DCT 計算全体に必要なのは${\displaystyle ~[\log _{2}N]~}$段階があり、各段階には${\displaystyle ~{\tfrac {1}{8}}\ N^{3}~}$蝶。3D DCT 全体では${\displaystyle ~\left[{\tfrac {1}{8}}\ N^{3}\log _{2}N\right]~}$計算されるバタフライは です。各バタフライには、7 回の実数乗算 (自明な乗算を含む) と 24 回の実数加算 (自明な加算を含む) が必要です。したがって、この段階で必要な実数乗算の総数は${\displaystyle ~\left[{\tfrac {7}{8}}\ N^{3}\ \log _{2}N\right]~,}$また、バタフライステージ後またはビット反転ステージ後に直接計算できる後続加算（再帰加算）を含む実際の加算の総数は^{[ 107 ]で与えられます。}${\displaystyle ~\underbrace {\left[{\frac {3}{2}}N^{3}\log _{2}N\right]} _{\text{Real}}+\underbrace {\left[{\frac {3}{2}}N^{3}\log _{2}N-3N^{3}+3N^{2}\right]} _{\text{Recursive}}=\left[{\frac {9}{2}}N^{3}\log _{2}N-3N^{3}+3N^{2}\right]~.}$

MD-DCT-IIを計算する従来の方法は、行列フレーム（RCF）アプローチを使用しますが、これは計算が複雑で、最新の高度なハードウェアプラットフォームでは生産性が低くなります。VR DIFアルゴリズムは、RCFアルゴリズムよりも少ない乗算回数で済みます。RCFアプローチに含まれる乗算と加算の回数は、次のようになります。${\displaystyle ~\left[{\frac {3}{2}}N^{3}\log _{2}N\right]~}$そして${\displaystyle ~\left[{\frac {9}{2}}N^{3}\log _{2}N-3N^{3}+3N^{2}\right]~,}$それぞれ。

3D DCT VRアルゴリズムに関連する乗算の​​総数は、RCF方式に関連する乗算の​​総数よりも40%以上少なくなっています。さらに、RCF方式はVR DIFアルゴリズムよりも行列転置やインデックス付け、データスワッピングが多く発生します。このため、3D DCT VRアルゴリズムはより効率的で、ビデオ圧縮やその他の3D画像処理アプリケーションなど、3D DCT-IIを使用する3Dアプリケーションに最適です。

高速アルゴリズムを選択する際の主な考慮事項は、計算と構造の複雑さを回避することです。コンピュータとDSPの技術が進歩するにつれて、算術演算（乗算と加算）の実行時間が改善され、規則的な計算構造が最も重要な要素になります。^{[ 108 ]}したがって、上記で提案した3-D VRアルゴリズムは、乗算回数の理論的な下限を達成していませんが、^{[ 109 ]}他の3-D DCTアルゴリズムと比較して、より単純な計算構造を持っています。単一のバタフライを使用してインプレースで実装でき、 3DのCooley–Tukey FFTアルゴリズムの特性を備えています。したがって、3-D VRは、バタフライスタイルのCooley–Tukey FFTアルゴリズムの特徴である単純な構造を維持しながら、3-D DCT-IIの計算における算術演算を削減するための良い選択肢となります。

右の画像は、8 × 8の水平周波数と垂直周波数の組み合わせを示しています。${\displaystyle (~N_{1}=N_{2}=8~)}$2次元DCT。左から右、上から下への各ステップは、周波数が半周期ずつ増加します。たとえば、左上のマスから右に1マス移動すると、水平方向の周波数が半周期増加します。さらに右に移動すると、2半周期増加します。下に移動すると、水平方向に2半周期、垂直方向に1半周期増加します。ソースデータ（8×8 ）は、これら64個の周波数マスの線形結合に変換されます。

MD DCT-IVは、1次元DCT-IVをM次元領域に拡張したものです。行列または画像の2次元DCT-IVは次のように表されます。

${\displaystyle X_{k,\ell }=\sum _{n=0}^{N-1}\;\sum _{m=0}^{M-1}\ x_{n,m}\cos \left(\ {\frac {\,(2m+1)(2k+1)\ \pi \,}{4N}}\ \right)\cos \left(\ {\frac {\,(2n+1)(2\ell +1)\ \pi \,}{4M}}\ \right)~,}$

のために${\displaystyle ~~k=0,\ 1,\ 2\ \ldots \ N-1~~}$そして${\displaystyle ~~\ell =0,\ 1,\ 2,\ \ldots \ M-1~.}$

MD DCT-IV は、通常の行列法を使用して計算することも、高速かつ効率的な計算のために多項式変換法^{[ 110 ]}を使用することもできます。このアルゴリズムの主なアイデアは、多項式変換を使用して多次元 DCT を一連の 1-D DCT に直接変換することです。