フーリエの正弦級数と余弦級数

数学、特に微積分とフーリエ解析の分野では、フーリエ正弦級数とフーリエ余弦級数は、ジョセフ・フーリエにちなんで名付けられた2つの数学級数である。

本稿では、f は実数値関数を表す。${\displaystyle \mathbb {R} }$これは周期2Lの周期関数です。

fが周期を持つ奇関数である場合${\displaystyle 2L}$すると、 fのフーリエ半範囲正弦級数は次のように定義される。 $${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}$$これは、完全フーリエ級数 の一種ですが、唯一の違いは、${\displaystyle a_{0}}$そして${\displaystyle a_{n}}$はゼロであり、この級数は区間の半分で定義されます。

式では $${\displaystyle b_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx,\quad n\in \mathbb {N} .}$$

fが周期を持つ偶関数である場合${\displaystyle 2L}$すると、フーリエ余弦級数は次のように定義される。 $${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}$$ どこ $${\displaystyle a_{n}={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\cos \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\,dx,\quad n\in \mathbb {N} _{0}.}$$

この考え方は、偶関数でも奇関数でもない関数にも一般化できますが、その場合、上記の式は異なる形になります。

• フーリエ級数
• フーリエ解析
• 最小二乗スペクトル解析

• バイアリー、ウィリアム・エルウッド（1893）。「第2章：三角級数の展開」。フーリエ級数の基礎的解説：球面調和関数、円筒調和関数、楕円調和関数、および数理物理学の問題への応用（第2 版）。ギン。30ページ 。
• カースロー、ホレイショ・スコット（1921）。「第7章：フーリエ級数」。『フーリエ級数と積分の理論入門』第1巻（第2 版）。マクミラン社。196ページ 。