センサーアレイ とは、電磁信号や音響信号を収集・処理するために、通常は特定の幾何学的パターンで配置されたセンサー群のことです。センサーアレイを使用する利点は、単一のセンサーを使用する場合と比べて、観測に新たな次元が加わり、より多くのパラメータを推定し、推定性能を向上させることができる点にあります。例えば、ビームフォーミングに使用される無線アンテナ素子のアレイは、信号の方向のアンテナゲインを 増加させ、他の方向のゲインを減少させることで、信号をコヒーレントに増幅し、信号対雑音比 （SNR ）を向上させることができます。センサーアレイの応用例としては、入射する電磁波の到来方向を推定することが挙げられます。関連する処理方法は、 アレイ信号処理 と呼ばれます。3つ目の例としては、複雑な混合物やセンシング環境における指紋検出に複数の化学センサーを利用する化学センサーアレイがあります。アレイ信号処理の応用例としては、 レーダー ／ソナー 、無線通信、地震学 、機械状態監視、天体観測、故障診断 などが挙げられます。
アレイ信号処理を用いることで、センサーアレイによって収集されたデータにノイズによって隠された入射信号の時間的・空間的特性（またはパラメータ）を推定し、明らかにすることができる。これはパラメータ推定 として知られている。
図1：線形アレイと入射角
図1は、6素子の均一線形アレイ（ULA）を示しています。この例では、センサアレイは信号源の遠方場にあると仮定し、平面波として扱うことができます。
パラメータ推定では、アレイ内の各アンテナまでの距離が異なるという事実を利用します。つまり、各アンテナの入力データは互いに位相がずれた複製になります。式（1）は、最初のアンテナからアレイ内の各アンテナに到達するまでの余分な時間の計算を示しています。ここで、cは 波の速度 です。
Δ t 私 = （ 私 − 1 ） d コス θ c 、 私 = 1 、 2 、 。 。 。 、 M （ 1 ） {\displaystyle \Delta t_{i}={\frac {(i-1)d\cos \theta }{c}},i=1,2,...,M\ \ (1)} 各センサーにはそれぞれ異なる遅延が関連付けられています。遅延は小さいものの、無視できるものではありません。周波数領域では、センサーが受信する信号間の位相差として現れます。遅延は入射角とセンサーアレイの形状に密接に関係しています。アレイの形状が分かれば、遅延または位相差を用いて入射角を推定できます。式（1）はアレイ信号処理の数学的基礎です。センサーが受信する信号を単純に合計し、平均値を計算することで結果が得られます。
y = 1 M ∑ 私 = 1 M x 私 （ t − Δ t 私 ） （ 2 ） {\displaystyle y={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{M}{\boldsymbol {x}}_{i}(t-\Delta t_{i})\ \ (2)} 受信信号は位相がずれているため、この平均値は元のソースと比較して信号が強化されるわけではありません。経験的に、受信信号それぞれの遅延を見つけて加算前に除去できれば、平均値は
y = 1 M ∑ 私 = 1 M x 私 （ t ） （ 3 ） {\displaystyle y={\frac {1}{M}}\sum _{i=1}^{M}{\boldsymbol {x}}_{i}(t)\ \ (3)} これにより信号が強化されます。センサーアレイの各チャネルに対して適切に選択された遅延セットを使用して信号を時間シフトし、信号が建設的に加算されるようにするプロセスは、ビームフォーミング
各マイクロホンで記録された信号に、追加の伝搬時間によって生じる遅延と等しく逆位相の時間遅延を加えると、互いに完全に同位相の信号が得られます。これらの同位相信号を加算すると、建設的干渉が生じ、アレイ内のアンテナ数に応じてSNRが増幅されます。これは遅延加算ビームフォーミングとして知られています。到来方向（DOA）推定では、考えられるすべての方向に対して時間遅延を繰り返しテストすることができます。推定が間違っていると、信号は破壊的に干渉され、出力信号が減衰しますが、正しい推定であれば、上述のように信号が増幅されます。
問題は、入射角を推定する前に、余分な移動時間によって生じる遅延と「等しく」逆向きの時間遅延をどうやって知ることができるかということである。それは不可能である。解決策は、一連の角度を試すことである。θ ^ ∈ [ 0 、 π ] \displaystyle {\hat {\theta }}\in [0,\pi ]} ビームステアリング とも呼ばれます。
遅延加算ビームフォーミングは時間領域のアプローチです。実装は簡単ですが、到来方向（DOA）の推定精度が低い場合があります。この問題を解決するのが周波数領域のアプローチです。フーリエ変換は、信号を時間領域から周波数領域に変換します。これにより、隣接するセンサ間の時間遅延が位相シフトに変換されます。したがって、任意の時刻 t におけるアレイ出力ベクトルは次のように表すことができます。x （ t ） = x 1 （ t ） [ 1 e − j ω Δ t ⋯ e − j ω （ M − 1 ） Δ t ] T {\displaystyle {\boldsymbol {x}}(t)=x_{1}(t){\begin{bmatrix}1&e^{-j\omega \Delta t}&\cdots &e^{-j\omega (M-1)\Delta t}\end{bmatrix}}^{T}} x 1 （ t ） {\displaystyle x_{1}(t)} R = E { x （ t ） x T （ t ） } {\displaystyle {\boldsymbol {R}}=E\{{\boldsymbol {x}}(t){\boldsymbol {x}}^{T}(t)\}} M × M 行列は、入力信号の空間情報とスペクトル情報を保持します。平均ゼロのガウス白色雑音 を仮定すると、空間共分散行列の基本モデルは次のように表されます。
R = V S V H + σ 2 私 （ 4 ） {\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {V}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {V}}^{H}+\sigma ^{2}{\boldsymbol {I}}\ \ (4)} どこσ 2 \displaystyle \sigma ^{2}} 私 {\displaystyle {\boldsymbol {I}}} V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} V = [ v 1 ⋯ v k ] T {\displaystyle {\boldsymbol {V}}={\begin{bmatrix}{\boldsymbol {v}}_{1}&\cdots &{\boldsymbol {v}}_{k}\end{bmatrix}}^{T}} v 私 = [ 1 e − j ω Δ t 私 ⋯ e − j ω （ M − 1 ） Δ t 私 ] T {\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{i}={\begin{bmatrix}1&e^{-j\omega \Delta t_{i}}&\cdots &e^{-j\omega (M-1)\Delta t_{i}}\end{bmatrix}}^{T}}
スペクトルベースのビームフォーミング手法をいくつか以下に示します。
バートレットビームフォーマーは、従来のスペクトル分析（スペクトログラム ）をセンサアレイに自然に拡張したものです。そのスペクトルパワーは次のように表されます。
P ^ B 1 r t l e t t （ θ ） = v H R v （ 5 ） {\displaystyle {\hat {P}}_{Bartlett}(\theta )={\boldsymbol {v}}^{H}{\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {v}}\ \ (5)} このパワーを最大化する角度は、到来角の推定値である。
最小分散歪みのない応答ビームフォーマー（Caponビームフォーミングアルゴリズムとも呼ばれる）[ 1 ]
P ^ C 1 p o n （ θ ） = 1 v H R − 1 v （ 6 ） {\displaystyle {\hat {P}}_{Capon}(\theta )={\frac {1}{{\boldsymbol {v}}^{H}{\boldsymbol {R}}^{-1}{\boldsymbol {v}}}}\ \ (6)} MVDR/Caponビームフォーマーは従来の（Bartlett）方式よりも優れた解像度を実現できますが、このアルゴリズムはフルランク行列の逆行列計算が必要なため、計算複雑度が高くなります。GPUコンピューティング の技術進歩により、このギャップは縮小し始め、リアルタイムCaponビームフォーミングが可能になっています。[ 2 ]
MUSIC（多重信号分類 ）ビームフォーミングアルゴリズムは、信号部分とノイズ部分の両方について、式（4）で示される共分散行列を分解することから始まります。固有値分解は次のように表されます。
R = U s Λ s U s H + U n Λ n U n H （ 7 ） {\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {U}}_{s}{\boldsymbol {\Lambda }}_{s}{\boldsymbol {U}}_{s}^{H}+{\boldsymbol {U}}_{n}{\boldsymbol {\Lambda }}_{n}{\boldsymbol {U}}_{n}^{H}\ \ (7)} MUSICは、Caponアルゴリズムの分母において、空間共分散行列のノイズ部分空間を使用する。
P ^ M U S 私 C （ θ ） = 1 v H U n U n H v （ 8 ） {\displaystyle {\hat {P}}_{MUSIC}(\theta )={\frac {1}{{\boldsymbol {v}}^{H}{\boldsymbol {U}}_{n}{\boldsymbol {U}}_{n}^{H}{\boldsymbol {v}}}}\ \ (8)} そのため、MUSICビームフォーマーはサブスペースビームフォーマーとも呼ばれます。Caponビームフォーマーと比較すると、到来方向推定精度がはるかに優れています。
SAMV ビームフォーミングアルゴリズムは、共分散行列の時間不変な統計的特性を明示的に利用する、疎信号再構成に基づくアルゴリズムです。これにより、超解像度を 実現し、相関の高い信号に対してもロバスト性を発揮します。
スペクトルベースのビームフォーマーの主な利点の 1 つは計算複雑度が低いことですが、信号が相関またはコヒーレントである場合は、正確な DOA 推定が得られない可能性があります。代替アプローチは、最大尤度 (ML) 最小二乗 法です。最小二乗アプローチでは、二次ペナルティ関数が使用されます。二次ペナルティ関数 (または目的関数 ) の最小値 (または最小二乗誤差) を取得するには、その導関数 (線形) を取り、それをゼロに等しいとおいて、線形方程式の連立方程式を解きます。
MLビームフォーマーでは、空間共分散行列と信号モデルに対して二次ペナルティ関数が使用されます。MLビームフォーマーのペナルティ関数の例は次のとおりです。
L M L （ θ ） = ‖ R ^ − R ‖ F 2 = ‖ R ^ − （ V S V H + σ 2 私 ） ‖ F 2 （ 9 ） {\displaystyle L_{ML}(\theta )=\|{\hat {\boldsymbol {R}}}-{\boldsymbol {R}}\|_{F}^{2}=\|{\hat {\boldsymbol {R}}}-({\boldsymbol {V}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {V}}^{H}+\sigma ^{2}{\boldsymbol {I}})\|_{F}^{2}\ \ (9)} どこ‖ ⋅ ‖ F {\displaystyle \|\cdot \|_{F}} θ {\displaystyle \theta } V {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} 確率的 モデルに対応する決定論的MLビームフォーマーと確率的MLビームフォーマーという2つの主要なカテゴリがあります。
従来のペナルティ方程式を変更するもう一つの方法は、ペナルティ関数を微分することで最小化を簡略化することを検討することです。最適化 アルゴリズムを簡略化するために、一部のMLビームフォーマーでは、対数演算や観測値の確率密度関数（PDF）が使用される場合があります。
最適化問題は、ペナルティ関数の導関数をゼロに等しいとした後、その根を求めることで解決されます。方程式は非線形であるため、ニュートン・ラフソン法 などの数値探索法が通常用いられます。ニュートン・ラフソン法は、反復法による根探索法です。
x n + 1 = x n − f （ x n ） f ′ （ x n ） （ 10 ） {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}\ \ (10)} 探索は最初の推測から始まるx 0 {\displaystyle x_{0}}
決定論的最大尤度ビームフォーマー 決定論的最大尤度ビームフォーマー（DML ）では、ノイズは定常ガウス白色ランダムプロセスとしてモデル化され、信号波形は決定論的（ただし任意）で未知である。 確率的最大尤度ビームフォーマー 確率的最大尤度ビームフォーマー（SML ）では、ノイズは定常ガウス白色ランダム過程（DMLと同じ）としてモデル化され、信号波形はガウスランダム過程としてモデル化されます。 方向推定方法 方向推定法（MODE ）は、部分空間最大尤度ビームフォーマーであり、MUSICは 部分空間スペクトルベースのビームフォーマーである。部分空間MLビームフォーミングは、標本共分散行列の固有値分解 によって得られる。
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さらに読む Van Trees, Harry L. (2002). Detection, estimation, and modulation theory. 4: Optimum array processing . New York, NY: Wiley. doi : 10.1002/0471221104 . ISBN 9780471093909 。 H. KrimおよびM. Viberg、「アレイ信号処理研究の20年」、IEEE Transactions on Signal Processing Magazine、1996年7月 S. Haykin 編著、「アレイ信号処理」、イーグルウッド・クリフス、ニュージャージー州：プレンティス・ホール、1985年 SU Pillai、「アレイ信号処理」、ニューヨーク：Springer-Verlag、1989年 P. Stoica および R. Moses、「スペクトル解析入門」、Prentice-Hall、Englewood Cliffs、米国、1997 年。ダウンロード可能。 J. Li および P. Stoica、「ロバスト適応ビームフォーミング」、John Wiley、2006 年。 J. Cadzow、「複数音源位置特定―信号部分空間アプローチ」、IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing、第38巻、第7号、1990年7月 G. Bienvenu および L. Kopp、「固有システムアプローチを用いた高解像度アレイ処理の最適性」、IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Process、Vol. ASSP-31、pp. 1234–1248、1983年10月 I. Ziskind および M. Wax、「交互投影による複数音源の最尤推定」、IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Process、Vol. ASSP-36、pp. 1553–1560、1988年10月 B. Ottersten、M. Verberg、P. Stoica、A. Nehorai、「アレイ処理におけるパラメータ推定と検出のための厳密かつ大標本最大尤度法」、レーダーアレイ処理、Springer-Verlag、ベルリン、pp. 99–151、1993年 M. Viberg、B. Ottersten、T. Kailath、「重み付き部分空間フィッティングを用いたセンサアレイにおける検出と推定」、IEEE Transactions on Signal Processing、vol. SP-39、pp 2346–2449、1991年11月 Feder, M.; Weinstein, E. (1988年4月)「EMアルゴリズムを用いた重畳信号のパラメータ推定」IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 36 (4): 477–489 . Bibcode : 1988ITASS..36..477F . doi : 10.1109/29.1552 . Y. BreslerおよびMacovski、「ノイズ中の重畳指数信号の厳密な最尤パラメータ推定」、IEEE Transactions on Acoustic, Speech and Signal Proceeding、vol ASSP-34、pp. 1081–1089、1986年10月 R.O.シュミット、「方向探知とスペクトル解析における新しい数学的ツール」、SPIE第27回年次シンポジウム議事録、カリフォルニア州サンディエゴ、1983年8月
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![\displaystyle {\hat {\theta }}\in [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eff0445cdcff72045a4e48c0cc1941c413e2a2f)
