アップサンプリング

デジタル信号処理において、アップサンプリング、拡張、補間は、マルチレートデジタル信号処理システムにおけるリサンプリングのプロセスに関連する用語である。アップサンプリングは拡張と同義語である場合もあれば、拡張とフィルタリング（補間）のプロセス全体を表す場合もある。^{[1] [2] [3]}信号またはその他の連続関数のサンプルのシーケンスに対してアップサンプリングを実行すると、信号をより高いレート（または写真の場合は密度）でサンプリングした場合に得られるシーケンスの近似値が生成されます。たとえば、44,100 サンプル/秒のコンパクトディスクオーディオを 5/4 倍にアップサンプリングすると、結果のサンプルレートは 55,125 になります。

整数倍のレート増加は2段階のプロセスとして説明でき、より効率的な同等の実装がある: ^[4]${\displaystyle L}$

1. 展開:元のサンプルをゼロで区切ったシーケンスを作成します。この操作の表記法は次のとおりです。${\displaystyle x_{L}[n],}$${\displaystyle x[n],}$${\displaystyle L-1}$  ${\displaystyle x_{L}[n]=x[n]_{\uparrow L}.}$
2. 補間:ローパス フィルターを使用して不連続部分を滑らかにし、ゼロを置き換えます。

このアプリケーションでは、フィルタは補間フィルタと呼ばれ、その設計については以下で説明します。補間フィルタがFIRタイプの場合、ゼロはドット積の計算にまったく影響しないため、効率が向上します。データ ストリームと計算の両方からゼロを省略するのは簡単です。マルチレート補間 FIR フィルタによって各出力サンプルに対して実行される計算は、ドット積です。^[a]

ここで、シーケンスは補間フィルタのインパルス応答であり、はゼロ以外 の値の最大値です。${\displaystyle h}$${\displaystyle K}$${\displaystyle k}$${\displaystyle h[j+kL]}$

この場合、  関数はハーフバンド フィルタとして設計できます。このフィルタでは、係数のほぼ半分がゼロになり、ドット積に含める必要がありません。間隔で取得されたインパルス応答係数はサブシーケンスを形成し、そのようなサブシーケンス (フェーズと呼ばれる) が多重化されます。インパルス応答の各フェーズは、データ ストリームの同じ連続値をフィルタリングし、連続した出力値の 1 つを生成します。一部のマルチプロセッサ アーキテクチャでは、これらのドット積が同時に実行され、その場合はポリフェーズフィルタと呼ばれます。 ${\displaystyle L=2,}$${\displaystyle h}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L}$

完全を期すために、各フェーズの実現方法として、配列のコピーで他のフェーズの係数をゼロに置き換え、元の入力速度よりも速い時間  でシーケンスを処理するという、あり得ない実装方法があることをここで述べておきます。すると、すべての出力がゼロになります。目的のシーケンスはフェーズの合計であり、各合計の項は完全にゼロになります。フェーズの有効な出力間でゼロを計算し、それを合計に追加することは、事実上デシメーションです。ゼロをまったく計算しない場合と同じ結果になります。この等価性は、第2 ノーブル恒等式として知られています。^[5]これは、多相法の導出で使用されることがあります。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle x_{L}[n]}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L-1}$${\displaystyle L}$${\displaystyle y}$${\displaystyle L-1}$${\displaystyle L-1}$

を任意の関数のフーリエ変換とし、そのサンプルが一定の間隔で数列に等しいものとする。すると、数列の離散時間フーリエ変換（DTFT）は、 ^[b]の周期的和のフーリエ級数表現となる。${\displaystyle X(f)}$${\displaystyle x(t),}$${\displaystyle T,}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle X(f):}$

の単位が秒の場合、 の単位はヘルツ (Hz)です。サンプリング時間を速くすると (間隔 で)、周期性が^[c]倍に増加します。${\displaystyle T}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$${\displaystyle T/L}$${\displaystyle L:}$

これは補間の望ましい結果でもある。これら両方の分布の例は、図2の最初と3番目のグラフに示されています。^[6] 

追加のサンプルにゼロが挿入されると、サンプル間隔が短くなります。 フーリエ級数のゼロ値の項を省略すると、次のように記述できます。 ${\displaystyle T/L.}$

${\displaystyle \sum _{n=0,\pm L,\pm 2L,...,\pm \infty }{}x(nT/L)\ e^{-i2\pi fnT/L}\quad {\stackrel {m\ \triangleq \ n/L}{\longrightarrow }}\sum _{m=0,\pm 1,\pm 2,...,\pm \infty }{}x(mT)\ e^{-i2\pi fmT},}$

これは、の値に関係なく、式 2と等しくなります 。その等価性は、図 2 の 2 番目のグラフに示されています。唯一の違いは、使用可能なデジタル帯域幅が に拡張され、新しい帯域幅内の周期的なスペクトル画像の数が増えることです。一部の著者は、これを新しい周波数成分と説明しています。^[7]   2 番目のグラフには、ローパスフィルターと、目的のスペクトル分布 (3 番目のグラフ) が得られることも示されています。フィルターの帯域幅は、元のシーケンスのナイキスト周波数です。 ^[A]   Hz 単位では、その値は です  が、フィルター設計アプリケーションでは通常、正規化された単位が必要です。 (図 2、表を参照) ${\displaystyle L.}$${\displaystyle L/T}$${\displaystyle L=3,}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle {\tfrac {0.5}{T}},}$

L / M はアップサンプリング係数を表します（L >  M  ）。

1. L倍にアップサンプリングする
2. M倍にダウンサンプリングする

アップサンプリングではデータ レートを上げたあとにローパス フィルタが必要になり、ダウンサンプリングではデシメーションの前にローパス フィルタが必要になります。したがって、両方の操作は、2 つのカットオフ周波数のうち低い方のフィルタで実行できます。L > M の場合、 補間 フィルタのカットオフ (  中間サンプルあたりのサイクル数) は低い方の周波数になります。 ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{L}}}$

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• 補間
• ポアソン和公式

• 「デジタルオーディオリサンプリングホームページ」。(帯域制限補間の手法について説明します)
• 「補間に多相フィルターを使用する Matlab の例」。