代数信号処理

代数的信号処理（ASP）は、理論信号処理（SP）の新たな分野です。信号処理の代数理論では、フィルタの集合は（抽象）代数として扱われ、信号の集合はモジュールまたはベクトル空間として扱われ、畳み込みは代数表現として扱われます。代数的信号処理の利点は、その汎用性と移植性の高さにあります。

プシェルとムーラによる代数的信号処理の元の定式化では、信号は${\displaystyle {\mathcal {A}}}$代数のためのモジュール${\displaystyle {\mathcal {A}}}$フィルターの作用によってフィルタリングが行われる。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$で${\displaystyle {\mathcal {A}}}$-モジュール。^{[ 1 ]}

させて${\displaystyle K}$例えば複素数などの体であり、${\displaystyle {\mathcal {A}}}$になる${\displaystyle K}$-代数（つまり、ベクトル空間）${\displaystyle K}$二項演算${\displaystyle \ast$ :{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}} （両方の引数に関して線形）をフィルタの集合として扱う。$\displaystyle {\mathcal {M}}}$は、一連の信号を表すベクトル空間です。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$代数準同型から構成される${\displaystyle \rho$ :{\mathcal {A}}\to \mathrm {End} ({\mathcal {M}})} ただし${\displaystyle \mathrm {End} ({\mathcal {M}})}$線形変換の代数${\displaystyle T:{\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}}}$合成（有限次元の場合、行列乗算に相当）を伴う。便宜上、次のように表記する。${\displaystyle \rho _{a}}$自己準同型の場合${\displaystyle \rho (a)}$代数準同型であるためには、${\displaystyle \rho }$線形変換であるだけでなく、以下の性質も満たす必要がある。$${\displaystyle \rho _{a\ast b}=\rho _{b}\circ \rho _{a}\quad \forall a,b\in {\mathcal {A}}}$$信号が与えられた場合${\displaystyle x\in {\mathcal {M}}}$フィルタによる信号の畳み込み${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$新しい信号を生成する${\displaystyle \rho _{a}(x)}$代数の表現論からいくつかの追加用語が必要となる。部分集合${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {A}}}$は、すべての要素が代数を生成すると言われている。${\displaystyle {\mathcal {A}}}$の要素に関する多項式として表すことができる${\displaystyle {\mathcal {G}}}$発電機の画像${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$はシフト演算子と呼ばれます。ほぼすべての例において、畳み込みは多項式として形成されます。${\displaystyle \mathrm {End} ({\mathcal {M}})}$シフト演算子によって生成される。ただし、これは任意の代数の表現には必ずしも当てはまらない。

表現理論の枠組みでは、同じ代数の2つの表現間の関係は、相互に絡み合う写像によって記述され、信号処理の文脈では、代数構造を尊重する信号の変換に相当します。${\displaystyle \rho$ :{\mathcal {A}}\to \mathrm {End} ({\mathcal {M}})} および${\displaystyle \rho ':{\mathcal {A}}\to \mathrm {End} ({\mathcal {M}}')}$は 2 つの異なる表現です${\displaystyle {\mathcal {A}}}$絡み合う写像は線形変換である${\displaystyle \alpha$ :{\mathcal {M}}\to {\mathcal {M}}'} で、

${\displaystyle \alpha \circ \rho _{a}=\rho '_{a}\circ \alpha \quad \forall a\in {\mathcal {A}}}$

直感的に言えば、これは信号をフィルタリングすることを意味します。${\displaystyle a}$そしてそれを変換して${\displaystyle \alpha }$これは、まず信号を変換することと同等です。${\displaystyle \alpha }$フィルタリング${\displaystyle a}$z変換^{[ 1 ]}は、絡み合う写像の典型的な例である。

グラフニューラルネットワーク（GNN）の一般的なアーキテクチャは実際には畳み込みニューラルネットワーク（CNN）であるという最近の見解に触発され、^{[ 6 ]}最近の研究では、代数的な観点から新しいニューラルネットワークアーキテクチャを開発することに焦点を当てています。^{[ 7 ] [ 8 ]}代数ニューラルネットワークは、複数の特徴と特徴集約、および非線形性を含む可能性のある代数畳み込みの合成です。

• スマートプロジェクト：カーネギーメロン大学電気・コンピュータ工学科における信号処理の代数理論。
• 講義12：「代数的ニューラルネットワーク」、ペンシルベニア大学（ESE 514）。