スペクトル法

ここでは、基本的な多変数微積分とフーリエ級数の理解を前提としています。${\displaystyle g(x,y)}$は 2 つの実変数の既知の複素数値関数であり、g は x と y に関して周期的である (つまり、${\displaystyle g(x,y)=g(x+2\pi ,y)=g(x,y+2\pi )}$) ならば、我々は次のような関数f ( x , y )を見つけることに興味がある。

$${\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)f(x,y)=g(x,y)\quad {\text{for all }}x,y}$$

ここで、左辺の式は、それぞれfのxおよびyに関する2階偏微分を表します。これはポアソン方程式であり、物理的には、熱伝導の問題、あるいはポテンシャル理論の問題などとして解釈できます。

fとgをフーリエ級数で表すと次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}f&=:\sum _{j,k}a_{j,k}e^{i(jx+ky)},\\[5mu]g&=:\sum _{j,k}b_{j,k}e^{i(jx+ky)},\end{aligned}}}$$

そして、これを微分方程式に代入すると、次の式が得られます。

$${\displaystyle \sum _{j,k}-a_{j,k}(j^{2}+k^{2})e^{i(jx+ky)}=\sum _{j,k}b_{j,k}e^{i(jx+ky)}.}$$

偏微分を無限和に置き換えたが、これは例えばfが連続な2階微分を持つと仮定すれば正当である。フーリエ展開の一意性定理により、フーリエ係数を項ごとに等しくしなければならず、次のようになる。

これはフーリエ係数a _j、kの明示的な式です。

周期境界条件の場合、ポアソン方程式はb _0,0 = 0の場合にのみ解を持ちます。したがって、解像度の平均値に等しいa _0,0を自由に選択できます。これは、積分定数を選択することに相当します。

これをアルゴリズムにするには、有限個の周波数のみを解く必要があります。これにより、に比例する誤差が生じます。${\displaystyle h^{n}}$、 どこ${\displaystyle h:=1/n}$そして${\displaystyle n}$最も頻繁に治療される頻度である。

我々は、強制非線形非線形バーガース方程式をスペクトル法を用いて解くことを目的とする。

与えられた${\displaystyle u(x,0)}$周期領域において${\displaystyle x\in \left[0,2\pi \right)}$、 探す${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}}$そのため $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\rho {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+f\quad \forall x\in \left[0,2\pi \right),\forall t>0}$$ ここでρは粘性係数である。弱保存形式では、これは次のようになる。 $${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial u}{\partial t}},\,v\right\rangle =\left\langle {\frac {\partial }{\partial x}}{\left(-{\frac {u^{2}}{2}}+\rho {\frac {\partial u}{\partial x}}\right)},\,v\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0}$$ここで、内積表記法 に従う。部分積分と周期性を用いると、 $${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial u}{\partial t}},v\right\rangle =\left\langle {\frac {u^{2}}{2}}-\rho {\frac {\partial u}{\partial x}},{\frac {\partial v}{\partial x}}\right\rangle +\left\langle f,v\right\rangle \quad \forall v\in {\mathcal {V}},\forall t>0.}$$

フーリエ・ガラーキン法を適用するには、両方を選択します。 $${\displaystyle {\mathcal {U}}^{N}:={\biggl \{}u:u(x,t)=\sum _{k=-N/2}^{N/2-1}{\hat {u}}_{k}(t)e^{ikx}{\biggr \}}}$$ そして $${\displaystyle {\mathcal {V}}^{N}:=\operatorname {span} \left\{e^{ikx}:k\in -{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\}}$$ どこ${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(t):={\frac {1}{2\pi }}\langle u(x,t),e^{ikx}\rangle }$これにより問題は、${\displaystyle u\in {\mathcal {U}}^{N}}$そのため $${\displaystyle \langle \partial _{t}u,e^{ikx}\rangle =\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle +\left\langle f,e^{ikx}\right\rangle \quad \forall k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.}$$

直交関係を用いる${\displaystyle \langle e^{ilx},e^{ikx}\rangle =2\pi \delta _{lk}}$どこ${\displaystyle \delta _{lk}}$はクロネッカーデルタであり、それぞれについて上記の3つの項を簡略化します。${\displaystyle k}$見る $${\displaystyle \left\langle \partial _{t}u,e^{ikx}\right\rangle ={\biggl \langle }\partial _{t}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }={\biggl \langle }\sum _{l}\partial _{t}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }=2\pi \partial _{t}{\hat {u}}_{k},}$$$${\displaystyle \left\langle f,e^{ikx}\right\rangle ={\biggl \langle }\sum _{l}{\hat {f}}_{\!l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }=2\pi {\hat {f}}_{\!k},}$$ そして $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {\tfrac {1}{2}}u^{2}-\rho \partial _{x}u,\partial _{x}e^{ikx}\right\rangle &={\biggl \langle }{\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}\sum _{p}{\hat {u}}_{p}e^{ipx}{\Bigr )}{\Bigl (}\sum _{q}{\hat {u}}_{q}e^{iqx}{\Bigr )}-\rho \partial _{x}\sum _{l}{\hat {u}}_{l}e^{ilx},\partial _{x}e^{ikx}{\biggr \rangle }\\&={\biggl \langle }{\tfrac {1}{2}}\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},ike^{ikx}{\biggr \rangle }-{\biggl \langle }\rho i\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},ike^{ikx}{\biggr \rangle }\\&=-{\tfrac {1}{2}}ik{\biggl \langle }\sum _{p}\sum _{q}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}e^{i\left(p+q\right)x},e^{ikx}{\biggr \rangle }-\rho k{\biggl \langle }\sum _{l}l{\hat {u}}_{l}e^{ilx},e^{ikx}{\biggr \rangle }\\&=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}.\end{aligned}}}$$

それぞれの3つの用語をまとめてください${\displaystyle k}$取得する $${\displaystyle 2\pi {\frac {\partial {\hat {u}}_{k}}{\partial t}}=-i\pi k\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-2\pi \rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+2\pi {\hat {f}}_{\!k}\quad k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.}$$ で割ると${\displaystyle 2\pi }$ついに到着します $${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {u}}_{k}}{\partial t}}=-{\frac {ik}{2}}\sum _{p+q=k}{\hat {u}}_{p}{\hat {u}}_{q}-\rho {}k^{2}{\hat {u}}_{k}+{\hat {f}}_{\!k}\quad k\in \left\{-{\tfrac {1}{2}}N,\dots ,{\tfrac {1}{2}}N-1\right\},\forall t>0.}$$ フーリエ変換された初期条件${\displaystyle {\hat {u}}_{k}(0)}$そして強制する${\displaystyle {\hat {f}}_{k}(t)}$この連立常微分方程式系は、時間積分（例えば、ルンゲ・クッタ法を用いる）によって解を求めることができる。非線形項は畳み込みであり、これを効率的に評価するための変換ベースの手法がいくつか存在する。詳細は、BoydおよびCanutoらの文献を参照されたい。