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論理学において、偽[1]または真でないは、負の真理値を持つ状態であり、無項 論理接続詞である。命題論理の真理関数系では、偽は、その否定である真理とともに、2つの仮定された真理値のうちの1つである。[2] 偽の通常の表記は、0（特にブール論理とコンピュータサイエンス）、O（接頭辞表記ではO pq）、およびアップタック記号 である。[3] [4]
別のアプローチは、いくつかの形式理論（例えば、直観主義命題計算）で使用され、命題定数（つまり、ヌル接続詞） が導入され、その真理値は上記の意味で常に偽である。[5] [6] [7]これは不合理な命題として扱うことができ、しばしば不合理と呼ばれる。
古典論理とブール論理では
ブール論理では、各変数は真 (1) または偽 (0) のいずれかの 真理値を表します。
古典的な 命題計算では、各命題に真または偽の真理値が割り当てられます。古典論理の一部のシステムでは偽を表す専用の記号 (0 または ) を使用しますが、他のシステムではp ∧ ¬ pや¬( p → p )などの式を使用します。
ブール論理と古典論理の両方のシステムでは、真と偽は否定に関して反対であり、偽の否定は真になり、真の否定は偽になります。
以下で説明するように、古典論理とブール論理だけでなく、他のほとんどの論理システムでも、偽の否定は真実と同等です。
偽、否定、矛盾
ほとんどの論理システムでは、否定、物質条件、偽は次のように関連しています。
- ¬ p ≡ ( p → ⊥)
実際、これは直観主義論理などのいくつかのシステムにおける否定の定義であり、 [8]否定が基本的な接続詞である命題計算で証明することができます。p → pは通常定理または公理であるため、結果として偽（ ¬⊥ ）の否定は真になります。
矛盾とは、真であると想定されている文が偽を伴うことが示されたときに生じる状況である（すなわち、φ ⊢ ⊥）。上記の同値性を使用して、 φ が矛盾であるという事実は、たとえば⊢ ¬φから導き出される。偽を伴う文自体が矛盾と呼ばれることもあり、矛盾と偽は区別されないこともある。特に、英語ではラテン語のfalsum がどちらも表すのに使用されているためであるが、偽は特定の命題の1 つである。
論理体系には、爆発の原理（ラテン語ではex falso quodlibet）（すべてのφに対して⊥ ⊢ φ ）が含まれる場合と含まれない場合があります。この原理によれば、矛盾と偽は、それぞれが他方を必然的に伴っているため、同等です。
一貫性
「 」接続詞を使用する形式理論は、その定理の中に偽がない場合に限り、一貫性があると定義されます。命題定数がない場合は、代わりにいくつかの代替物（上記で説明したものなど）を使用して一貫性を定義することができます。
参照
WikiquoteにFalsehoodに関連する引用句があります。
- 矛盾
- 論理的真実
- トートロジー（論理）（論理的真実の象徴）
- 真理値表
参考文献
- ^ 名詞形はfalsityです。
- ^ ジェニファー・フィッシャー『論理の哲学について』トムソン・ワズワース、2007年、ISBN 0-495-00888-5、17ページ。
- ^ ウィラード・ヴァン・オーマン・クワイン『論理学の方法』第4版、ハーバード大学出版局、1982年、ISBN 0-674-57176-2、34ページ。
- ^ 「真理値 | 論理」。ブリタニカ百科事典。2020年8月15日閲覧。
- ^ ジョージ・エドワード・ヒューズとDEロンディ『形式論理学の要素』メシューエン、1965年、151ページ。
- ^ レオン・ホルステン、リチャード・ペティグルー『Continuum Companion to Philosophical Logic』、Continuum International Publishing Group、2011年、ISBN 1-4411-5423-X、199ページ。
- ^ グレアム・プリースト『非古典的論理学入門：IfからIsへ』第2版、ケンブリッジ大学出版局、2008年、ISBN 0-521-85433-4、105ページ。
- ^ Dov M. GabbayとFranz Guenthner（編）、Handbook of Philosophical Logic、第6巻、第2版、Springer、2002年、ISBN 1-4020-0583-0、p. 12。