ユークリッド領域

数学、特に環論において、ユークリッド整域（ユークリッド環とも呼ばれる）は、整数のユークリッド除法を適切に一般化できるユークリッド関数を導入できる整域である。この一般化されたユークリッドアルゴリズムは、整数環におけるユークリッドの元のアルゴリズムと多くの点で同様の用途に利用できる。任意のユークリッド整域において、ユークリッドアルゴリズムを適用して、任意の2つの要素の最大公約数を計算できる。特に、任意の2つの要素の最大公約数は存在し、それらの線形結合として表すことができる（ベズーの恒等式）。特に、整数のユークリッド除法と体上の1変数多項式のユークリッド除法のための効率的なアルゴリズムの存在は、数式処理において基本的な重要性を持つ。

ユークリッド整域のクラスと、より大きなクラスである主イデアル整域（PID）を比較することは重要です。任意のPIDは、ユークリッド整域（あるいは整数環）とほぼ同じ「構造的性質」を持ちますが、最大公約数を計算するためのユークリッド互除法や拡張ユークリッド互除法に相当するものがありません。したがって、整域 $Rが与えられた場合、$ $R$ にユークリッド関数が存在することを知ることは非常に有用です。特に、これは $R$ がPIDであることを意味します。しかし、「明らかな」ユークリッド関数が存在しない場合、 $R$ がPIDであるかどうかを判断することは、一般的に、Rがユークリッド整域であるかどうかを判断するよりもはるかに簡単な問題です。

ユークリッド整域のすべてのイデアルは主イデアルであり、これは算術の基本定理の適切な一般化を意味する。すなわち、すべてのユークリッド整域は一意の因数分解整域でもある。ユークリッド整域は、次のクラス包含関係の連鎖に現れる。

rngs ⊃環⊃可換環⊃ 整域⊃整閉域⊃最大公約数域⊃一意分解域⊃主イデアル域⊃ユークリッド域⊃体⊃代数閉体

意味

$R を$ $整域$ とする。R上のユークリッド関数とは、 $R$ $\$ ${0}$ から非負整数への関数 f であって、以下の基本的な剰余除法の性質を満たすもので $ある$ 。

(EF1) $a$ と $bが$ $Rの$ 要素であり、 $b$ がゼロでない場合、 $a$ $=$ $bq$ $+$ $r$ となるような $q$ と $rが$ $R$ の要素として存在し、 $r$ $= 0$ または $f$ $($ $r$ $) <$ $f$ $($ $b$ $)$ となる。

ユークリッド領域とは、少なくとも1つのユークリッド関数を持つことができる整域のことである。一般に、ユークリッド領域は多くの異なるユークリッド関数を持つことができるため、特定のユークリッド関数 $f$ はユークリッド領域の定義には含まれない。

この文脈において、 $q$ と $rはそれぞれ、$ $aを$ $b$ で割ったときの商と余り（またはユークリッド除法による除法）と呼ばれます。整数や多項式の場合とは異なり、商は一般に一意に定義されませんが、商が選択されると、余りは一意に定義されます。

ほとんどの代数学の教科書では、ユークリッド関数には次の追加特性が求められる。

(EF2) $R$ のすべての非ゼロ $a$ および $b$ に対して、 $f$ $($ $a$ $) \leq$ $f$ $($ $ab$ $)$ 。

しかし、(EF1)だけでユークリッド領域を定義するのに十分であることを示すことができます。もし、(EF1)を満たす関数 $gが整列領域$ $R$ に与えられているならば、 (EF1)と(EF2)の両方を同時に満たす関数も $Rに与えることができます。実際、$ $R$ $\$ ${0}$ の $aに対して、$ $f$ $($ $a$ $)$ を次のように定義できます。 ^[¹^]

f(a)=\min _{x\in R\setminus \{0\}}g(xa)

$言葉で言えば、 f (a)は、$ $a$ によって生成される主イデアルのすべての非ゼロ要素の集合上で $g$ が達成する最小値と定義できる。

ユークリッド関数 $fは、$ $f$ $($ $ab$ $) =$ $f$ $($ $a$ $)$ $f$ $($ $b$ $)$ かつ $f$ $($ $a$ $)$ がゼロにならない場合に乗法的である。したがって、 $f$ $(1) = 1 と$ なる。より一般的には、 $f$ $($ $a$ $) = 1 は$ $a が$ 単位元である場合に限る。

定義に関する注記

多くの著者は、「ユークリッド関数」の代わりに、「次数関数」、「評価関数」、「ゲージ関数」、「ノルム関数」などの他の用語を使用しています。^{[ 2 ]}また、一部の著者は、ユークリッド関数の定義域が環 $R$ 全体であることを要求しています。^{[ 2 ]} $しかし、(EF1) はf (0)$ の値に関係しないため、これは本質的に定義に影響を与えません。定義は、ユークリッド関数が任意の整列集合の値を取ることを許可することによって一般化されることがあります。この緩和は、ユークリッド特性の最も重要な意味に影響を与えません。

性質 (EF1) は次のように言い換えることができます。非零生成子 $bを持つ$ $R$ の任意の主イデアル $I$ に対して、商環 $R$ $/$ $I$ $のすべての非零クラスには、$ $f$ $($ $r$ $) <$ $f$ $($ $b$ $)$ を満たす代表元 $r$ が存在します。f の取りうる値は整列しているため、この性質は、クラス内で $f$ $($ $r$ $)$ の最小値を持つ任意の $r$ $\notin$ $I$ に対して $f$ $($ $r$ $) <$ $f$ $($ $b$ $)を示すことで確立できます。このように確立されたユークリッド関数については、(EF1) における$ $q$ と $r$ を決定するための有効な方法が存在する必要はないことに注意してください。

例

ユークリッド領域の例としては、以下のようなものがあります。

任意のフィールド。すべての非ゼロの $x$ に対して $f (x) = 1$ と定義します。
$Z$ は整数環である。f $(n) = | n | を$ $n$ の絶対値と定義する。^[³^]
$Z [i]$ $は$ ガウス整数の環です。f $(a + bi) = a 2 + b 2$ をガウス整数 $a$ $+$ $bi$ のノルムと定義します。
$Z [ω]$ (ここで⁠ $\omega ={\tfrac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}$ ⁠ $は、 1 の$ 原始立方根です)、アイゼンシュタイン整数の環。f $(a + bω) = a 2 - ab + b 2 を、アイゼンシュタイン整数$ $a + bω$ のノルム。
$Z [φ]は$ 黄金整数の環であり、ここで⁠ $\varphi ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ は黄金比です。f $(a + bφ) = | a 2 + ab - b 2 | を$ $a$ $+$ $bφ$ の場のノルムの絶対値。
$K [X]は$ 体 $K$ 上の多項式環である。各非零多項式 $P$ に対して、 $f$ $($ $P$ $)を$ $P$ の次数と。^[⁴^]
$K [[X]] は$ 、体 $K上の$ 形式的冪級数の環です。各非零冪級数 $P$ に対して、 $f$ $($ $P$ $)を$ $P$ の位数、すなわち $P$ に現れる $X$ の最小冪の次数と。特に、2 つの非零冪級数 $P$ と $Q$ に対して、 $f$ $($ $P$ $) \leq$ $f$ $($ $Q$ $)は、$ $P が$ $Q$ を割り切る場合に限ります。
任意の離散付値環。f $($ $x$ $)$ $を$ $、 xを$ 含む最大イデアル $M$ の最高べき乗と定義する。同等に、 $gを$ $M$ の生成元とし、 $vを$ $gv$ $が$ $x$ の関連元となる唯一の整数とすると、 $f$ $($ $x$ $) =$ $v$ と定義する。前の例 $K$ $[[$ $X$ $]]$ は、この特殊な場合である。
有限個の非零素イデアル $P$ $1$ $, ...,$ $P$ $n$ を持つデデキント整域を定義する。 $f(x)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)$ ここで、 $v i$ は理想 $P$ $i$ に対応する離散評価である。^[⁵^]

ユークリッド空間ではない領域の例としては、以下のようなものがあります。

主イデアル整域ではないすべての整域。例えば、体上の少なくとも 2 つの不定元に関する多項式の環、整数係数を持つ一変数多項式の環、または数環 $Z [\sqrt - 5]$ など。
$Q$ $($ $\sqrt$ $-19$ $)$ の整数環は、 $a$ と $b$ が整数で両方とも偶数または両方とも奇数である数 $⁠$ $a$ $+$ $b$ $\sqrt$ $-$ $19$ $/$ $2$ $⁠$ からなり、ユークリッドではない主イデアル整域である。これはテオドール・モツキンによって証明され、最初に知られたケースであり^[⁶^]、その後、 $D$ = −19、−43、−67、−163の $Q$ $($ $\sqrt$ $D$ $)に対しても証明された。$
環 $A = R [X, Y]/(X 2 + Y 2 + 1)$ もまた、ユークリッド環ではない主イデアル整域^{[ 7 ]}である。これがユークリッド整域ではないことを示すには、すべての非零素数に対して次のことを示せば十分である。 $p\in A$ 地図 $\displaystyle A^{\times }\to (A/p)^{\times }}$ 商マップによって誘発される $A\to A/p$ 全射ではない。^{[ 8 ]}

物件

Rを定義域とし、fをR上のユークリッド関数とする。このとき、次のようになる。

Rは主イデアル整域(PID)です。実際、I がRの非零イデアルである場合、 f ( a )の最小値 (その集合上) を持つI \ {0}の任意の要素aはIの生成元です。^[⁹^]その結果、Rは一意分解整域であり、ネーター環でもあります。一般的な主イデアル整域に関して、分解の存在 (つまり、Rが原子整域であること) は、ユークリッド整域では特に簡単に証明できます。 (EF2) を満たすユークリッド関数fを選択すると、 x はf ( x ) 個を超える非単位因子に分解できないため、 xから始めて可約因子を繰り返し分解すると、必ず既約要素への分解が得られます。
fが全体的に最小値をとるRの任意の要素はRにおいて可逆である。もし(EF2) を満たすfが選ばれた場合、その逆も成り立ち、f はRの可逆要素でちょうど最小値をとる。
ユークリッド除法がアルゴリズム的である、つまり商と余りを計算するアルゴリズムが存在する場合、拡張ユークリッドアルゴリズムは整数の場合とまったく同じように定義できる。^{[ 10 ]}
^{ユークリッド整域が体でない場合、}^普遍側因子と呼ばれる非単位元a^が存在^し^、次の性質を持ちます。aで割り切れない任意^の元xは、ある単位 u とある元 y に対して、x = ay + ^uと書くこと^ができます^。これは、a を f ( a ) が可能な限り小さい非単位元とすることで得られます^。^この奇妙な^性質は、すべての主イデアル整域がこの性質を持つわけではないため、一部の主イデアル整域がユークリッド整域ではないことを示すために使用できます。たとえば、d = −19、−43、−67、−163 の場合、整数環は $\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$ これはユークリッドではないPID ですが(この性質を持たないため)、d = −1、−2、−3、−7、−11の場合はユークリッドです。^{[ 11 ]}

しかし、自明な類群を持つQの多くの有限拡大では、整数環はユークリッド的である (必ずしも体ノルムの絶対値に関してではない。以下を参照)。拡張リーマン予想を仮定すると、K がQの有限拡大であり、 Kの整数環が無限個の単位を持つ PID である場合、整数環はユークリッド的である。^[¹⁵^] 特にこれは、自明な類群を持つ完全実二次数体の場合に適用される。さらに (ERH を仮定せずに)、体KがQのガロア拡大であり、自明な類群を持ち、単位ランクが厳密に 3 より大きい場合、整数環はユークリッド的である。^[¹⁶^]このことから直ちに導かれる系は、数体がQ上のガロア体であり、その類群が自明であり、拡大の次数が8より大きい場合、整数環は必然的にユークリッド的であるということである。

ノルムユークリッド場

代数的数体Kには、その上に標準的なノルム関数が存在します。それは、代数的要素αをαのすべての共役の積に写像する体ノルムNの絶対値です。このノルムは、数体Kの整数環(例えばO _K ) を非負の有理整数に写像するため、この環上のユークリッドノルムの候補となります。このノルムがユークリッド関数の公理を満たす場合、数体Kはノルムユークリッドまたは単にユークリッドと呼ばれます。^[¹⁷^]^[¹⁸^] 厳密に言えば、体は自明にユークリッド領域であるため、ユークリッドなのは整数環ですが、用語は標準的です。

体がノルムユークリッドでないからといって、整数環がユークリッド環でないということではなく、単にその体のノルムがユークリッド関数の公理を満たさないということである。実際、数体の整数環はいくつかのクラスに分類できる。

主数ではないためユークリッド数ではない整数、例えば $\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)}$
主数であってユークリッド数ではないもの、例えば次の整数 $\mathbf {Q} ({\sqrt {-19}}\,)$
ユークリッド的であるがノルムユークリッド的ではないもの、例えば整数など $\displaystyle \mathbf {Q} (\sqrt {69}}\,)}$ ^{[ 19 ]}
ノルムユークリッドであるもの、例えばガウス整数（ $\mathbf {Q} ({\sqrt {-1}}\,)$ ）

ノルムユークリッド二次体は完全に分類されており、 $\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$ どこ $d$ 値を取る

−11、−7、−3、−2、−1、2、3、5、6、7、11、13、17、19、21、29、33、37、41、57、73 （ OEISの配列A048981）。^[²⁰^]

すべてのユークリッド虚二次体はノルムユークリッド体であり、前述のリストの最初の5つの体のいずれかである。

注記

↑ロジャース、ケネス（1971）、「ユークリッド領域の公理」、アメリカ数学月報、78（10）：1127–8、doi：10.2307/2316324、JSTOR 2316324、Zbl 0227.13007
1 2ダミット、デイビッド S.、フット、リチャード M. (2004).抽象代数学. ワイリー. p. 270. ISBN 978-0-471-43334-7。
↑フレイリーとカッツ、1967 年、p. 377、例 1
↑フレイリーとカッツ、1967 年、p. 377、例 2
↑サミュエル、ピエール（1971年10月1日）「ユークリッド環について」代数学ジャーナル19 （ 2）：282–301（p. 285）。doi ： 10.1016 /0021-8693(71) 90110-4。ISSN 0021-8693。
↑ Motzkin, Th (1949 年 12 月). 「ユークリッドのアルゴリズム」 .アメリカ数学会報. 55 (12): 1142– 1146. doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09344-8 . ISSN 0002-9904 .
↑サミュエル、ピエール (1964)。一意分解領域に関する講義(PDF)。タタ基礎研究所。pp. 27–28。
↑ 「多項式の商、PIDだがユークリッド領域ではない？」
↑フレイリーとカッツ、1967 年、p. 377、定理 7.4
↑フレイリーとカッツ、1967 年、p. 380、定理 7.7
1 2モツキン、セオドア(1949)、「ユークリッドのアルゴリズム」、アメリカ数学会紀要、55 (12): 1142–6、doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09344-8、Zbl 0035.30302
↑ Alaca, Şaban; Williams, Kenneth (2003). Introductory Algebraic Number Theory . Cambridge: Cambridge University Press. p. 44. ISBN 978-0-521-83250-2。
↑ロットマン、ジョセフ (2002).高度現代代数学(第 1版). プレンティスホール. p. 154. ISBN 0-13-087868-5。
↑ダミット、デイビッド；フット、リチャード（2003）。抽象代数学（第3版）。ワイリー。p. 277。ISBN 978-0-471-43334-7。
↑ Weinberger, Peter J. (1973). "On Euclidean rings of algebraic integers". In Diamond, Harold G. (ed.). Analytic Number Theory . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics Vol. 24. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. pp. 321–332 . doi : 10.1090/pspum/024/0337902 . ISBN 0-8218-1424-9。
↑ハーパー、マルコム；マーティ、M.ラム（2004）、「代数的整数のユークリッド環」（PDF）、カナダ数学ジャーナル、56（1）：71–76、CiteSeerX 10.1.1.163.7917、doi：10.4153/CJM-2004-004-5
↑リベンボイム、パウロ (1972).代数的数. ワイリー・インターサイエンス. ISBN 978-0-471-71804-8。
↑ Hardy, GH ; Wright, EM ; Silverman, Joseph ; Wiles, Andrew (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5。
↑ Clark, David A. (1994). "A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean". Manuscripta Mathematica . 83 ( 3– 4): 327– 330. CiteSeerX 10.1.1.360.6129 . doi : 10.1007/BF02567617 . Zbl 0817.11047 .
↑ LeVeque, William J. ( 2002) [1956]. Topics in Number Theory . Vol. I and II. Dover. pp. II:57, 81. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001 .

参考文献

ジョン・B・フレイリー;カッツ、ビクター J. (1967)。抽象代数の最初のコース(第 5 版)。アディソン・ウェスリー。ISBN 0-201-53467-3。
サミュエル、ピエール（1971）。「ユークリッド環について」。代数学ジャーナル。19 （2）：282–301。doi ： 10.1016 / 0021-8693（71）90110-4。

[1] ロジャース、ケネス（1971）、「ユークリッド領域の公理」、アメリカ数学月報、78（10）：1127–8、doi：10.2307/2316324、JSTOR 2316324、Zbl 0227.13007

[DummitAlgebra-2] 1 2ダミット、デイビッド S.、フット、リチャード M. (2004).抽象代数学. ワイリー. p. 270. ISBN 978-0-471-43334-7。

[3] フレイリーとカッツ、1967 年、p. 377、例 1

[4] フレイリーとカッツ、1967 年、p. 377、例 2

[5] サミュエル、ピエール（1971年10月1日）「ユークリッド環について」代数学ジャーナル19 （ 2）：282–301（p. 285）。doi ： 10.1016 /0021-8693(71) 90110-4。ISSN 0021-8693。

[6] Motzkin, Th (1949 年 12 月). 「ユークリッドのアルゴリズム」 .アメリカ数学会報. 55 (12): 1142– 1146. doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09344-8 . ISSN 0002-9904 .

[7] サミュエル、ピエール (1964)。一意分解領域に関する講義(PDF)。タタ基礎研究所。pp. 27–28。

[8] 「多項式の商、PIDだがユークリッド領域ではない？」

[9] フレイリーとカッツ、1967 年、p. 377、定理 7.4

[10] フレイリーとカッツ、1967 年、p. 380、定理 7.7

[Motzkin-11] 1 2モツキン、セオドア(1949)、「ユークリッドのアルゴリズム」、アメリカ数学会紀要、55 (12): 1142–6、doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09344-8、Zbl 0035.30302

[12] Alaca, Şaban; Williams, Kenneth (2003). Introductory Algebraic Number Theory . Cambridge: Cambridge University Press. p. 44. ISBN 978-0-521-83250-2。

[13] ロットマン、ジョセフ (2002).高度現代代数学(第 1版). プレンティスホール. p. 154. ISBN 0-13-087868-5。

[14] ダミット、デイビッド；フット、リチャード（2003）。抽象代数学（第3版）。ワイリー。p. 277。ISBN 978-0-471-43334-7。

[15] Weinberger, Peter J. (1973). "On Euclidean rings of algebraic integers". In Diamond, Harold G. (ed.). Analytic Number Theory . Proceedings of Symposia in Pure Mathematics Vol. 24. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. pp. 321–332 . doi : 10.1090/pspum/024/0337902 . ISBN 0-8218-1424-9。

[16] ハーパー、マルコム；マーティ、M.ラム（2004）、「代数的整数のユークリッド環」（PDF）、カナダ数学ジャーナル、56（1）：71–76、CiteSeerX 10.1.1.163.7917、doi：10.4153/CJM-2004-004-5

[RibAlgNum-17] リベンボイム、パウロ (1972).代数的数. ワイリー・インターサイエンス. ISBN 978-0-471-71804-8。

[HardyWright-18] Hardy, GH ; Wright, EM ; Silverman, Joseph ; Wiles, Andrew (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5。

[19] Clark, David A. (1994). "A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean". Manuscripta Mathematica . 83 ( 3– 4): 327– 330. CiteSeerX 10.1.1.360.6129 . doi : 10.1007/BF02567617 . Zbl 0817.11047 .

[20] LeVeque, William J. ( 2002) [1956]. Topics in Number Theory . Vol. I and II. Dover. pp. II:57, 81. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001 .

[

[ 2 ]

[

[

[

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[

[ 10 ]

ユークリッド整域が体でない場合、

普遍

が存在

の

[

[

[

[

[ 19 ]

[

ユークリッド領域

意味

定義に関する注記

例

物件

ノルムユークリッド場

関連項目

注記

参考文献

関連するトピック

数学

環論

整数

ユークリッド