内圏と外圏

三角形内の点の三線座標は、三角形の辺までのすべての距離の比です。内心は三角形のすべての辺から同じ距離にあるため、内心の三線座標は^{[ 6 ]です。}

$${\displaystyle \ 1:1:1.}$$

三角形内の点の重心座標は、その点が三角形の頂点位置の加重平均となるような重みを与えます。内心に対する重心座標は次のように与えられます。

$${\displaystyle a:b:c}$$

どこ${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、 そして${\displaystyle c}$は三角形の辺の長さ、または（正弦定理を用いて）等価に

$${\displaystyle \sin A:\sin B:\sin C}$$

どこ${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$、 そして${\displaystyle C}$これらは3つの頂点における角度です。

内心のデカルト座標は、三角形の辺の長さを周囲長に対する比率（つまり、上記の重心座標を正規化して合計が1になるようにしたもの）を重みとして使用して、3つの頂点の座標の加重平均です。重みは正なので、内心は上記のように三角形の内側にあります。3つの頂点が次の位置にある場合${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$、${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$、 そして${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$、そしてこれらの頂点の反対側の辺は対応する長さを持つ。${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、 そして${\displaystyle c}$すると、内心は

$${\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.}$$

内半径${\displaystyle r}$辺の長さが の三角形の内接円${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$^{[ 7 ]}で与えられる

$${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}},}$$

どこ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$は半周長です（ヘロンの公式を参照）。

内接円の接点は辺を長さのセグメントに分割する${\displaystyle s-a}$から${\displaystyle A}$、${\displaystyle s-b}$から${\displaystyle B}$、 そして${\displaystyle s-c}$から${\displaystyle C}$（円の接線を参照）。^{[ 8 ]}

内心を表す${\displaystyle \triangle ABC}$として${\displaystyle I}$。

頂点からの距離${\displaystyle A}$中心へ${\displaystyle I}$は：

$${\displaystyle {\overline {AI}}=d(A,I)=c\,{\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}=b\,{\frac {\sin {\frac {C}{2}}}{\cos {\frac {B}{2}}}}.}$$

三角形に正弦定理を適用する${\displaystyle \triangle IAB}$。

私たちは${\displaystyle {\frac {\overline {AI}}{\sin {\frac {B}{2}}}}={\frac {c}{\sin \angle AIB}}}$私たちにはそれがあります${\displaystyle \angle AIB=\pi -{\frac {A}{2}}-{\frac {B}{2}}={\frac {\pi }{2}}+{\frac {C}{2}}}$。

したがって、${\displaystyle {\overline {AI}}=c\ {\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}}$。

2番目の式との等式も同様の方法で得られます。

内心から頂点までの距離と三角形の辺の長さを組み合わせると、方程式^{[ 9 ]に従う。}

$${\displaystyle {\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$$

さらに、^{[ 10 ]}

$${\displaystyle {\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2},}$$

どこ${\displaystyle R}$そして${\displaystyle r}$はそれぞれ三角形の外接半径と内接半径です。

三角形の中心の集合は、三線形座標の座標ごとの乗算による群の構造を与えることができ、この群では内心は単位元を形成する。^{[ 6 ]}

頂点から最も近い 2 つの接点までの距離は等しい。例: ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\tfrac {1}{2}}(b+c-a)=s-a.}$$

長さの辺からの高さが${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、 そして${\displaystyle c}$は${\displaystyle h_{a}}$、${\displaystyle h_{b}}$、 そして${\displaystyle h_{c}}$すると内半径${\displaystyle r}$はこれらの高度の調和平均の3 分の 1 です。つまり、^{[ 12 ]}

$${\displaystyle r={\frac {1}{{\dfrac {1}{h_{a}}}+{\dfrac {1}{h_{b}}}+{\dfrac {1}{h_{c}}}}}.}$$

内接円の半径の積${\displaystyle r}$そして外接円の半径${\displaystyle R}$辺の長さが 2 の三角形${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、 そして${\displaystyle c}$[ ^{13 ]​}

$${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$$

辺、内接円半径、外接円半径の間の関係は次のとおりです。^{[ 14 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.\end{aligned}}}$$

三角形の面積と周長を二等分する線は、三角形の内心（内接円の中心）を通ります。このような内心は、任意の三角形に対して1つ、2つ、または3つ存在します。^{[ 15 ]}

内接円の半径は、高度の合計の9分の1以下である。^{[ 16 ]： 289}

中心からの二乗距離${\displaystyle I}$外心へ${\displaystyle O}$^{[ 17 ] : 232}で与えられます

$${\displaystyle {\overline {OI}}^{2}=R(R-2r)={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}$$

中心から中心までの距離${\displaystyle N}$^9点円の^{[ 17 ]}：²³²

$${\displaystyle {\overline {IN}}={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\tfrac {1}{2}}R.}$$

内心は中点三角形（頂点が辺の中点である三角形）内にある。^{[ 17 ]： 233、補題1}

内接円の半径は三角形の面積と関係がある。 ^{[ 18 ]}内接円の面積と三角形の面積の比は以下である。${\displaystyle \pi {\big /}3{\sqrt {3}}}$等号は正三角形の場合にのみ成立する。^{[ 19 ]}

仮定する${\displaystyle \triangle ABC}$半径を持つ内円${\displaystyle r}$そして中央${\displaystyle I}$。 させて${\displaystyle a}$長さは${\displaystyle {\overline {BC}}}$、${\displaystyle b}$長さ${\displaystyle {\overline {AC}}}$、 そして${\displaystyle c}$長さ${\displaystyle {\overline {AB}}}$。

さて、内接円は${\displaystyle {\overline {AB}}}$ある時点で${\displaystyle T_{C}}$、 など${\displaystyle \angle AT_{C}I}$正しい。したがって、半径${\displaystyle T_{C}I}$高度は​${\displaystyle \triangle IAB}$。

したがって、${\displaystyle \triangle IAB}$ベースの長さ${\displaystyle c}$身長${\displaystyle r}$面積も同様です${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr}$。

同様に、${\displaystyle \triangle IAC}$エリアがある${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br}$そして${\displaystyle \triangle IBC}$エリアがある${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar}$。

これら３つの三角形は分解されるため${\displaystyle \triangle ABC}$エリアを見ると${\displaystyle \Delta {\text{ of}}\triangle ABC}$は：

$${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,}$$

    そして    ${\displaystyle r={\frac {\Delta }{s}},}$

どこ${\displaystyle \Delta }$は、${\displaystyle \triangle ABC}$そして${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$は半周長です。

別の式については、以下を考慮してください。${\displaystyle \triangle IT_{C}A}$これは、一辺が等しい直角三角形です。${\displaystyle r}$そしてもう一方の辺は${\displaystyle r\cot {\tfrac {A}{2}}}$も同様です。${\displaystyle \triangle IB'A}$大きな三角形はこのような三角形が6つ集まってできており、その総面積は次のようになります。

$${\displaystyle \Delta =r^{2}\left(\cot {\tfrac {A}{2}}+\cot {\tfrac {B}{2}}+\cot {\tfrac {C}{2}}\right).}$$

出典: ^{[ 23 ]}

外側の円を横に${\displaystyle AB}$側面に触れる${\displaystyle AC}$拡張${\displaystyle G}$そして、この外接円の半径を${\displaystyle r_{c}}$そしてその中心は${\displaystyle J_{c}}$。 それから${\displaystyle J_{c}G}$高度は${\displaystyle \triangle ACJ_{c}}$、 それで${\displaystyle \triangle ACJ_{c}}$エリアがある${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br_{c}}$同様の議論により、${\displaystyle \triangle BCJ_{c}}$エリアがある${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar_{c}}$そして${\displaystyle \triangle ABJ_{c}}$エリアがある${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr_{c}}$したがって、その領域は${\displaystyle \Delta }$三角形の${\displaystyle \triangle ABC}$は

$${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}}$$。

したがって、対称性により、${\displaystyle r}$内接円の半径として、

$${\displaystyle \Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}}$$。

余弦定理により、

$${\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$$

これをアイデンティティと組み合わせる${\displaystyle \sin ^{2}\!A+\cos ^{2}\!A=1}$、 我々は持っています

$${\displaystyle \sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}}$$

しかし${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A}$、 など

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[5mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}}$$

これはヘロンの公式です。

これと組み合わせると${\displaystyle sr=\Delta }$、 我々は持っています

$${\displaystyle r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.}$$

同様に、${\displaystyle (s-a)r_{a}=\Delta }$与える

$${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}\\[4pt]&\implies r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.\end{aligned}}}$$

上記の式から、外接円は常に内接円よりも大きく、最大の外接円は最長辺に接する円であり、最小の外接円は最短辺に接する円であることがわかります。さらに、これらの式を組み合わせると次のようになります。^{[ 25 ]}

$${\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$$