9点円

幾何学において、9 点円は任意の三角形に対して作図できる円です。三角形から定義される 9 つの重要な共円点を通過するため、このように呼ばれています。これらの 9 つの点は次のとおりです 。

• 三角形の各辺の中点
• 各高度のフィート
• 三角形の各頂点から垂心（3つの高度が交わる場所。これらの線分はそれぞれの高度上にある）までの線分の中点。 ^{[1] [2]}

九点円は、 フォイエルバッハの円（カール・ヴィルヘルム・フォイエルバッハにちなんで）、オイラーの円（レオンハルト・オイラーにちなんで）、 テルケムの円（オルリー・テルケムにちなんで）、六点円、十二点円、n点円、中接円、中円、外中円とも呼ばれる。その中心は三角形の九点中心である。 ^{[3] [4]}

上の図は、9 点円の 9 つの重要な点を示しています。点D、E、F は、三角形の 3 辺の中点です。点G、H、I は、三角形の高さの足です。点J、K、L は、各高さの頂点交点 (点A、B、C ) と三角形の垂心 (点S )の間の線分の中点です。

鋭角三角形の場合、6 つの点 (中点と高度の足) は三角形自体にあります。鈍角三角形の場合、 2 つの高度の足は三角形の外側にありますが、これらの足は依然として 9 点円に属します。

カール・ヴィルヘルム・フォイエルバッハは九点円の発見者として知られていますが、彼が発見したのは完全には九点円ではなく、三角形の三辺の中点と高さの足の重要性を認識した六点円でした。（図1の点 D、E、F、G、H、Iを参照。）（少し前に、シャルル・ブリアンションとジャン＝ヴィクトール・ポンスレが同じ定理を述べ、証明していました。）しかし、フォイエルバッハのすぐ後に、数学者オルリー・テルケム自身が円の存在を証明しました。彼は、三角形の頂点と垂心の間の3つの中点の重要性をさらに認識した最初の人物でした。（図1の点 J、K、Lを参照。）したがって、テルケムは九点円という名前を最初に使用しました。

1822 年、カール フォイエルバッハは、任意の三角形の 9 点円がその三角形の 3 つの外接円に外接し、内接円に内接することを発見しました。この結果はフォイエルバッハの定理として知られています。彼は次のことを証明しました。

...三角形の頂点を通る円は、三角形の 3 辺に接する 4 つの円すべてに接します...

^[5]

内接円と九点円が接する三角形の中心をフォイエルバッハ点と呼びます。

• 三角形の外接円の半径は、その三角形の9点円の半径の2倍です。^{[6] : p.153}

図3

• 9 点円は、対応する三角形の垂心からその外接円上の任意の点に向かう線分を二等分します。

図4

• 9点円の中心Nは垂心Hから外心 Oまでの線分を二等分する（垂心は両方の円の拡大中心となる）: ^{[6] : p.152}

${\displaystyle {\overline {ON}}={\overline {NH}}.}$

• 9点の中心Nは、オイラー線に沿って重心Gから垂心Hまでの4分の1の距離にある: ^{[6] :p.153}

${\displaystyle {\overline {HN}}=3{\overline {NG}}.}$

• ω を円周四辺形 の対角三角形の9点円とする。円周四辺形の二中線の交点は9点円に属する。^{[7] [8]}

• 基準三角形の9点円は、基準三角形の中点三角形（頂点は基準三角形の辺の中点にある）と直交三角形（頂点は基準三角形の標高の足元にある）の両方の外接円である。^{[6] : p.153}
• 三角形の頂点を通るすべての長方形双曲線の中心は、その 9 点円上にあります。例としては、カイペルト、イェジャベク、フォイエルバッハのよく知られた長方形双曲線があります。この事実は、フォイエルバッハの円錐定理として知られています。

• 4 点A、B、C、Hの直交中心系が与えられている場合、その系の 3 つの異なる点の任意の組み合わせによって形成される 4 つの三角形はすべて、同じ 9 点円を共有します。これは対称性の結果です。つまり、別の三角形の直交中心である頂点に隣接する 1 つの三角形の辺は、その 2 番目の三角形の線分です。3 番目の中点は、それらの共通辺にあります。(同じ「中点」が別々の 9 点円を定義しているため、それらの円は一致している必要があります。)
• その結果、これら4つの三角形の外接円の半径は同じになります。Nを共通の9点の中心とし、Pを直交座標系の平面上の任意の点とします。

${\displaystyle {\overline {NA}}^{2}+{\overline {NB}}^{2}+{\overline {NC}}^{2}+{\overline {NH}}^{2}=3R^{2}}$

ここでRは共通円周半径であり、

${\displaystyle {\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}+{\overline {PH}}^{2}=K^{2},}$

ここでKは一定とすると、Pの軌跡はNを中心とし半径が の円となる。 P がN に近づくと、対応する定数Kに対するPの軌跡は、9 点中心であるNに収束する。 さらに、9 点円はPの軌跡であり、${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {K^{2}-3R^{2}}}.}$

${\displaystyle {\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}^{2}+{\overline {PC}}^{2}+{\overline {PH}}^{2}=4R^{2}.}$

• 三角形の内接円と外接円の中心は、直交心度システムを形成します。この直交心度システムで作成された 9 点の円は、元の三角形の外接円です。直交心度システムの高度の足は、元の三角形の頂点です。
• 垂心系を形成しない任意の 4 点A、B、C、Dが与えられた場合、 △ ABC、△ BCD、△ CDA、△ DABの 9 点円は、A、B、C、Dのポンスレ点という点で一致します。これらの 9 点円の残りの 6 つの交点は、それぞれ 4 つの三角形の中点と一致します。注目すべきことに、これらの任意の 4 点の重心を中心とし、これらの 9 点円の交点 7 つすべてを通過する唯一の 9 点円錐曲線が存在します。さらに、前述のフォイエルバッハの円錐定理により、4 つの 9 点円の共通交点を中心とし、元の任意の 4 点と 4 つの三角形の垂心を通り、唯一の長方形円錐曲線が存在します。
• 4 つの点A、B、C、Dが与えられて円周四辺形を形成する場合、△ ABC、△ BCD、△ CDA、△ DABの 9 点円は円周四辺形の反心で一致します。9 点円はすべて、円周四辺形の外接円の半径の半分の半径で合同です。9 点円は 4 つのジョンソン円のセットを形成します。したがって、4 つの 9 点中心は円周であり、円周四辺形の反心を中心とする 4 つの 9 点円と合同な円上にあります。さらに、4 つの 9 点中心から形成される円周四辺形は、基準となる円周四辺形ABCDと係数 – ⁠で相似です。1/2⁠そしてその相似中心Nは外心Oと反心Mを結ぶ線上にあり、

${\displaystyle {\overline {ON}}=2{\overline {NM}}.}$

• 外心を通る線の直交極は、9 点円上にあります。
• 三角形の外接円、九点円、極円、および接三角形の外接円^[9]は同軸である。^[10]
• キーパート双曲線の中心の三線座標は

${\displaystyle {\frac {(b^{2}-c^{2})^{2}}{a}}:{\frac {(c^{2}-a^{2})^{2}}{b}}:{\frac {(a^{2}-b^{2})^{2}}{c}}}$

• イェジャベク双曲線の中心の三線座標は

${\displaystyle \cos(A)\sin ^{2}(BC):\cos(B)\sin ^{2}(CA):\cos(C)\sin ^{2}(AB)}$

• x  : y  : zを三線座標の変数点とすると、9点円の方程式は次のようになる。

${\displaystyle x^{2}\sin 2A+y^{2}\sin 2B+z^{2}\sin 2C-2(yz\sin A+zx\sin B+xy\sin C)=0。 }$

円は円錐曲線の一例であり、9 点円は三角形△ ABCと 4 番目の点Pとの関係で作成された一般的な 9 点円錐の一例です。ここで、特定の 9 点円のインスタンスは、 P が△ ABCの垂心である場合に発生します。三角形とPの頂点は、完全な四辺形と、四辺形の反対側の辺が交​​差する 3 つの「対角点」を決定します。四辺形には 6 つの「辺線」があり、9 点円錐はこれらの中点と交差し、対角点も含まれます。円錐は、P が△ ABC の内部にあるか、三角形と垂直角を共有する領域にある場合は楕円ですが、Pが 3 つの隣接する領域のいずれかにある場合は9 点双曲線が発生し、 P が△ ABCの外接円上にある場合は双曲線が長方形になります。

• ハートサークル、円形三角形の関連構築
• レスターの定理
• ポンセレポイント
• 合成幾何学

• アルトシラー・コート、ネイサン（1925）、カレッジ幾何学：三角形と円の現代幾何学入門（第2版）、ニューヨーク：バーンズ＆ノーブル、LCCN  52013504
• フォイエルバッハ、カール・ヴィルヘルム; Buzengeiger、Carl Heribert Ignatz (1822)、Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren。 Eine Analytisch-Trigonometrische Abhandlung (Monograph ed.)、ニュルンベルク: Wiessner。
• ケイ、デイビッド C. (1969)、カレッジジオメトリ、ニューヨーク：ホルト、ライナーハート、ウィンストン、LCCN  69012075
• フライヴェルト、デイヴィッド（2019）、「9点円に属する新しい点」、数学ガゼット、103（557）：222–232、doi：10.1017/mag.2019.53、S2CID  213935239
• フライヴェルト、デイヴィッド（2018）「複素数法の環状四辺形の幾何学における新しい応用」（PDF）、国際幾何学誌、7（1）：5–16

• rykap.com の「9 点円の Javascript デモ」
• クラーク・キンバリング著「三角形の中心百科事典」。9点の中心はX(5)、フォイエルバッハ点はX(11)、キーパート双曲線の中心はX(115)、イェジャベク双曲線の中心はX(125)とインデックス付けされている。
• 1892 年の JS MacKay の記事に基づく 9 点円の歴史: 9 点円の歴史
• Weisstein、Eric W.「9 点円」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「Orthopole」。MathWorld。
• ジャワ島のナインポイントサークルでカット・ザ・ノット
• フォイエルバッハの定理：結び目を切る際の証明
• ウォルター・フェントによる三角形の特別な線と円
• Wolfram Demonstrations Project のインタラクティブな 9 点円アプレット
• ダイナミック ジオメトリ スケッチでの 9 点円錐とオイラー線の一般化 9 点円を、オイラー線の関連する一般化を使用して 9 点円錐に一般化します。
• NJ Wildberger。クロモジオメトリー。3 つの異なる二次形式 (青、赤、緑) に関して 9 点円について説明します。
• シュテファン・ゲッツ、フランツ・ホフバウアー: Ein einfacher Beweis für den Satz von Feuerbach mit koordernfreien Vektoren