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幾何学におけるピトーの定理は、接線四辺形において2組の向かい合う辺の合計の長さが同じになることを述べています。この定理はフランスの技術者アンリ・ピトーにちなんで名付けられました。[1]
発言と会話
接線四辺形は通常、4辺すべてが同じ内接円に接する凸 四辺形として定義されます。ピトーの定理によれば、これらの四辺形の場合、向かい合う2辺の長さの合計は同じです。両方の長さの合計は、四辺形の半周に等しくなります。 [2]
逆の含意も真です。凸四辺形が、長さの合計が同じである向かい合う辺のペアを持つときはいつでも、その四辺形には内接円があります。したがって、これは正確な特徴付けです。つまり、接線四辺形は、向かい合う辺の長さの合計が等しい四辺形です。[2]
証明のアイデア
ピトーの定理を証明する 1 つの方法は、任意の接線四辺形の辺を、その内接円が各辺に接する点で分割することです。これにより、4 辺が、四辺形の頂点と円との接点の間で 8 つの線分に分割されます。同じ頂点で交わるこれらの線分のうち 2 つは同じ長さになり、等しい長さの線分のペアを形成します。任意の 2 つの向かい合う辺は、これらのペアから 1 つの線分を取ります。したがって、向かい合う 2 つの辺の 4 つの線分の長さは、他の向かい合う 2 つの辺の 4 つの線分の長さと同じで、長さの合計も同じです。
歴史
アンリ・ピトーは1725年に彼の定理を証明したが、その逆は1846年にスイスの数学者ヤコブ・シュタイナーによって証明された。 [2]
一般化
ピトーの定理は接線多角形に一般化され、その場合、交互の辺の2つの和は等しくなります。同じ証明の考え方が適用されます。[3]
参考文献
- ^ プリツカー、ボリス（2017）、幾何学的万華鏡、ドーバー出版、p.51、ISBN 9780486812410。
- ^ abc Josefsson, Martin (2011)、「接線四辺形のさらなる特徴付け」(PDF)、Forum Geometricorum、11 : 65–82、MR 2877281、2016-03-04に オリジナル(PDF)からアーカイブ、 2014-03-16取得特に65～66ページを参照。
- ^ de Villiers, Michael (1993)、「ターンブルの定理の統一的一般化」、国際科学技術数学教育ジャーナル、24 (2): 65–82、doi :10.1080/0020739930240204、MR 2877281。
外部リンク
- アレクサンダー・ボゴモルニー、「四辺形が表記可能になるのはいつですか？」（Cut-the-knot より）
- 「ピトーの定理の一般化」