線形弾性

線形弾性は、固体が所定の荷重条件によってどのように変形し、内部応力を受けるかを示す数学モデルです。これは、より一般的な非線形弾性理論を簡略化したものであって、連続体力学の分野です。

線形弾性の基本的な「線形化」仮定は、無限小ひずみまたは「小さな」変形 (またはひずみ) と、応力とひずみの成分間の線形関係です。さらに、線形弾性は降伏を生じない応力状態に対してのみ有効です。

これらの仮定は、多くの工学材料や工学設計のシナリオに当てはまります。そのため、線形弾性は、多くの場合、有限要素解析の助けを借りて、構造解析や工学設計で広く使用されています。

線形弾性境界値問題を支配する方程式は、線形運動量のバランスに関する3 つのテンソル 偏微分方程式と 6 つの微小ひずみ-変位関係に基づいています。微分方程式系は、一連の線形代数構成関係によって完成されます。

座標系の選択に依存しない直接テンソル形式では、これらの支配方程式は次のようになる。 ^[1]

• コーシー運動量方程式は、ニュートンの運動の第二法則を表す。対流形式では次のように表される。$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}+\mathbf {F} =\rho {\ddot {\mathbf {u} }}}$$
• ひずみ-変位方程式:$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}$$
• 構成方程式。弾性材料の場合、フックの法則は材料の挙動を表し、未知の応力とひずみを関連付けます。フックの法則の一般的な方程式は次のとおりです。$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {C}}:{\boldsymbol {\varepsilon }},}$$

ここで、はコーシー応力テンソル、は微小ひずみテンソル、は変位ベクトル、は 4 次剛性テンソル、は単位体積あたりの体積力、は質量密度、はナブラ演算子、は転置、は時間に関する2 番目の物質微分、 は2 つの 2 次テンソルの内積です (繰り返されるインデックスの合計が暗黙的に示されます)。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle {\mathsf {C}}}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$${\displaystyle (\bullet )^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle {\ddot {(\bullet )}}}$${\displaystyle {\mathsf {A}}:{\mathsf {B}}=A_{ij}B_{ij}}$

直交座標系に関する成分で表現すると、線形弾性の支配方程式は次のようになる。^[1]

• 運動方程式:ここで、下付き文字は の省略形であり、はコーシー応力テンソル、は体積力密度、は質量密度、は変位を示します。$${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}}$$${\displaystyle {(\bullet )}_{,j}}$${\displaystyle \partial {(\bullet )}/\partial x_{j}}$${\displaystyle \partial _{tt}}$${\displaystyle \partial ^{2}/\partial t^{2}}$${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle u_{i}}$
  これらは、6 つの独立した未知数 (応力) を持つ3 つの独立した方程式です。
  工学表記法では、次のようになります。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial t^{2}}}\\{\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=\rho {\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$
• ひずみ - 変位方程式:ここで、はひずみです。これらは、ひずみと変位を 9 つの独立した未知数 (ひずみと変位) と関連付ける 6 つの独立した方程式です。$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(u_{j,i}+u_{i,j})}$$${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon _{ji}\,\!}$
  工学表記法では、次のようになります。$${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\\\epsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\\\epsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\gamma _{xy}={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\\\gamma _{yz}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\\\gamma _{zx}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\end{aligned}}}$$
• 構成方程式。フックの法則の方程式は、剛性テンソルです。 これらは、応力とひずみを関連付ける6つの独立した方程式です。応力テンソルとひずみテンソルの対称性の要件により、多くの弾性定数が等しくなり、異なる要素の数が21に削減されます^[2]。$${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}}$$${\displaystyle C_{ijkl}}$ ${\displaystyle C_{ijkl}=C_{klij}=C_{jikl}=C_{ijlk}}$

等方性均質媒体の弾性静的境界値問題は、15 個の独立した方程式と同数の未知数 (3 つの平衡方程式、6 つのひずみ変位方程式、および 6 つの構成方程式) のシステムです。境界条件を指定すると、境界値問題が完全に定義されます。システムを解くには、境界値問題の境界条件に従って、変位定式化と応力定式化の2 つのアプローチを取ることができます。

円筒座標（）では、運動方程式は^[1]で表されます。 ひずみ-変位関係は 、構成関係は直交座標の場合と同じですが、添え字、、がそれぞれ、、を表す点が異なります。 ${\displaystyle r,\theta ,z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}(\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta })+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial z}}+{\frac {2}{r}}\sigma _{r\theta }+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{rz}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta z}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial \sigma _{zz}}{\partial z}}+{\frac {1}{r}}\sigma _{rz}+F_{z}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{z}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}~;~~\varepsilon _{\theta \theta }={\frac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)~;~~\varepsilon _{zz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)~;~~\varepsilon _{\theta z}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)~;~~\varepsilon _{zr}={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle z}$

球座標（）における運動方程式は^[1]${\displaystyle r,\theta ,\phi }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \sigma _{rr}}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{rr}-\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi }+\sigma _{r\theta }\cot \theta )+F_{r}=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{r}}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\theta }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \theta }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}[(\sigma _{\theta \theta }-\sigma _{\phi \phi })\cot \theta +3\sigma _{r\theta }]+F_{\theta }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\theta }}{\partial t^{2}}}\\&{\frac {\partial \sigma _{r\phi }}{\partial r}}+{\cfrac {1}{r}}{\frac {\partial \sigma _{\theta \phi }}{\partial \theta }}+{\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial \sigma _{\phi \phi }}{\partial \phi }}+{\cfrac {1}{r}}(2\sigma _{\theta \phi }\cot \theta +3\sigma _{r\phi })+F_{\phi }=\rho ~{\frac {\partial ^{2}u_{\phi }}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$$

球座標におけるひずみテンソルは $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\frac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\frac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\frac {1}{2r}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+\left({\frac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\right]\\\varepsilon _{r\phi }&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\frac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\frac {u_{\phi }}{r}}\right).\end{aligned}}}$$

等方性媒体では、剛性テンソルは応力（結果として生じる内部応力）と歪み（結果として生じる変形）の関係を示します。等方性媒体の場合、剛性テンソルに優先方向はありません。つまり、力が加えられる方向に関係なく、加えられた力は（力の方向に対して）同じ変位を与えます。等方性の場合、剛性テンソルは次のように記述されます。^[要出典] ここで、はクロネッカーのデルタ、Kは体積弾性率（または非圧縮性）、はせん断弾性率（または剛性）、2 つの弾性係数です。媒体が不均質である場合、媒体が区分的に一定または弱く不均質であれば、等方性モデルが適切です。強く不均質な滑らかなモデルでは、異方性を考慮する必要があります。媒体が均質である場合、弾性係数は媒体内の位置に依存しません。構成方程式は次のように記述できます。 $${\displaystyle C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\tfrac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})}$$${\displaystyle \delta _{ij}}$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle \sigma _{ij}=K\delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \left(\varepsilon _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\varepsilon _{kk}\right).}$$

この式は、応力を、スカラー圧力に関連する可能性のある左側のスカラー部分と、せん断力に関連する可能性のある右側のトレースレス部分に分離します。より単純な式は次のとおりです。 ^{[3] [4]} ここで、λ はラメの最初のパラメータです。構成方程式は単なる線形方程式の集合であるため、ひずみは応力の関数として次のように表すことができます。^[5] これも、左側がスカラー部分で、右側がトレースレスせん断部分です。より簡単に言うと、 はポアソン比、はヤング率です。 $${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}}$$ $${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{9K}}\delta _{ij}\sigma _{kk}+{\frac {1}{2\mu }}\left(\sigma _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\delta _{ij}\sigma _{kk}\right)}$$$${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2\mu }}\sigma _{ij}-{\frac {\nu }{E}}\delta _{ij}\sigma _{kk}={\frac {1}{E}}[(1+\nu )\sigma _{ij}-\nu \delta _{ij}\sigma _{kk}]}$$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle E}$

弾性静力学は、弾性体にかかるすべての力がゼロになり、変位が時間の関数ではない平衡状態における線形弾性の研究です。平衡方程式は、工学表記法（せん断応力 をタウとする）では、 $${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0.}$$

• ${\displaystyle {\frac {\partial \sigma _{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zx}}{\partial z}}+F_{x}=0}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial \sigma _{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial \tau _{zy}}{\partial z}}+F_{y}=0}$
• ${\displaystyle {\frac {\partial \tau _{xz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \tau _{yz}}{\partial y}}+{\frac {\partial \sigma _{z}}{\partial z}}+F_{z}=0}$

このセクションでは、等方性均質のケースについてのみ説明します。

この場合、境界のあらゆる場所で変位が規定されます。 このアプローチでは、ひずみと応力が定式化から排除され、変位が支配方程式で解く未知数として残ります。 最初に、ひずみ-変位方程式が構成方程式（フックの法則）に代入され、ひずみが未知数として排除されます。 微分すると（およびが空間的に均一であると仮定）、次のようになります。 平衡方程式に代入すると、次のようになります。 または（シュワルツの定理 により、二重（ダミー）（＝合計）インデックス k,k を j,j に置き換え、 の後のインデックス ij を ji と入れ替える） ここで、と はラメパラメータです。 このようにして、残る未知数は変位だけになるため、この定式化の名前が付けられています。 この方法で得られた支配方程式は、以下に示す定常ナビエ-コーシー方程式の特殊なケースである弾性静力学方程式と呼ばれます。 $${\displaystyle \sigma _{ij}=\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}+2\mu \varepsilon _{ij}=\lambda \delta _{ij}u_{k,k}+\mu \left(u_{i,j}+u_{j,i}\right).}$$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle \sigma _{ij,j}=\lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right).}$$$${\displaystyle \lambda u_{k,ki}+\mu \left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right)+F_{i}=0}$$$${\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ji}+F_{i}=0}$$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$

変位場が計算されると、変位をひずみ-変位方程式に置き換えてひずみを解き、その後構成方程式で使用して応力を解きます。

弾性静力学方程式は次のように記述されます。 $${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,ij}+\beta ^{2}u_{i,mm}=-F_{i}.}$$

弾性静力学方程式の両辺の発散を取り、体積力の発散がゼロ（領域内で同次）であると仮定すると（ ）、 ${\displaystyle F_{i,i}=0\,\!}$$${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,iij}+\beta ^{2}u_{i,imm}=0.}$$

合計したインデックスは一致する必要はなく、偏導関数は交換可能であることに注目すると、2 つの微分項は同じであることがわかり、次の式が得られます。ここから次の結論が導き出されます。$${\displaystyle \alpha ^{2}u_{j,iij}=0}$$$${\displaystyle u_{j,iij}=0.}$$

弾性静力学方程式の両辺のラプラシアンをとり、さらに と仮定すると、 ${\displaystyle F_{i,kk}=0\,\!}$$${\displaystyle (\alpha ^{2}-\beta ^{2})u_{j,kkij}+\beta ^{2}u_{i,kkmm}=0.}$$

発散方程式から、左辺の最初の項はゼロであり (注: 繰り返しますが、合計されたインデックスは一致する必要はありません)、次式が得られます。 このことから、次式が導き出されます。 または、座標フリー表記では、これは の重調和方程式に過ぎません。 $${\displaystyle \beta ^{2}u_{i,kkmm}=0}$$$${\displaystyle u_{i,kkmm}=0}$$${\displaystyle \nabla ^{4}\mathbf {u} =0}$${\displaystyle \mathbf {u} \,\!}$

この場合、表面の引張力は表面境界上のあらゆる場所で規定されます。このアプローチでは、ひずみと変位は排除され、応力は支配方程式で解くべき未知数として残ります。応力場が見つかると、構成方程式を使用してひずみが見つかります。

応力テンソルには決定する必要のある 6 つの独立した成分がありますが、変位の定式化では、決定する必要のある変位ベクトルの成分は 3 つだけです。つまり、自由度の数を 3 に減らすために、応力テンソルにいくつかの制約を課す必要があります。構成方程式を使用すると、これらの制約は、やはり 6 つの独立した成分を持つひずみテンソルに適用される対応する制約から直接導出されます。ひずみテンソルの制約は、変位ベクトル フィールドの関数としてのひずみテンソルの定義から直接導出できます。つまり、これらの制約によって新しい概念や情報がもたらされることはありません。最も簡単に理解できるのは、ひずみテンソルの制約です。弾性媒体が、ひずみのない状態では微小な立方体の集合として視覚化される場合、媒体がひずんだ後、任意のひずみテンソルによって、歪んだ立方体が重なり合うことなく互いにフィットする状態が生まれます。言い換えれば、与えられたひずみに対して、そのひずみテンソルを導出できる連続的なベクトル場 (変位) が存在する必要があります。このことを保証するために必要なひずみテンソルの制約は、サン・ヴナンによって発見され、「サン・ヴナン適合方程式」と呼ばれています。これらは 81 の方程式で、そのうち 6 つは独立した非自明な方程式であり、さまざまなひずみ成分を関連付けます。これらは、インデックス表記で次のように表現されます。 エンジニアリング表記では、次のようになります。$${\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\\&{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)\end{aligned}}}$$

この式のひずみは構成方程式を用いて応力で表現され、応力テンソルに対する対応する制約が得られる。応力テンソルに対するこれらの制約は適合性のベルトラミ・ミッシェル方程式として知られている。 体積力が均一である特別な状況では、上記の式は次のように簡略化される^[6]。$${\displaystyle \sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}+F_{i,j}+F_{j,i}+{\frac {\nu }{1-\nu }}\delta _{i,j}F_{k,k}=0.}$$ $${\displaystyle (1+\nu )\sigma _{ij,kk}+\sigma _{kk,ij}=0.}$$

この状況下での適合性に必要な条件は、またはであるが、十分ではない。^[1]${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}^{4}{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {0}}}$${\displaystyle \sigma _{ij,kk\ell \ell }=0}$

これらの制約は、平衡方程式 (または弾性力学の運動方程式) とともに、応力テンソル フィールドの計算を可能にします。これらの方程式から応力フィールドが計算されると、構成方程式からひずみが得られ、ひずみ - 変位方程式から変位フィールドが得られます。

代替の解決法としては、応力テンソルを応力関数で表現し、自動的に平衡方程式の解を求める方法があります。応力関数は、適合性方程式に対応する単一の微分方程式に従います。

ナビエ・コーシー方程式または弾性静力学方程式の最も重要な解は、無限等方性媒体内の一点に作用する力に対する解である。この解は、 1848 年にウィリアム・トムソン(後のケルビン卿) によって発見された (Thomson 1848)。この解は、静電気学におけるクーロンの法則の類似物である。導出は、Landau & Lifshitz に示されている。^{[7] : §8}定義すると 、ポアソン比は、次のように表される。 ここで、は、その点に適用される力のベクトルであり、は、次のように直交座標で表すことができるテンソルグリーン関数である。 $${\displaystyle a=1-2\nu }$$ $${\displaystyle b=2(1-\nu )=a+1}$$${\displaystyle \nu }$$${\displaystyle u_{i}=G_{ik}F_{k}}$$${\displaystyle F_{k}}$${\displaystyle G_{ik}}$$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}\left[\left(1-{\frac {1}{2b}}\right)\delta _{ik}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x_{i}x_{k}}{r^{2}}}\right]}$$

簡潔に次のように書くこともできます。 また、明示的に次のように書くこともできます。 $${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}\left[{\frac {\delta _{ik}}{r}}-{\frac {1}{2b}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial x_{i}\partial x_{k}}}\right]}$$$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {x^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xy}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {xz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {yx}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {y^{2}}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {yz}{r^{2}}}\\{\frac {1}{2b}}{\frac {zx}{r^{2}}}&{\frac {1}{2b}}{\frac {zy}{r^{2}}}&1-{\frac {1}{2b}}+{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

円筒座標 ( ) では次のように表記されます。 ここでrは点までの総距離です。 ${\displaystyle \rho ,\phi ,z\,\!}$$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu r}}{\begin{bmatrix}1-{\frac {1}{2b}}{\frac {z^{2}}{r^{2}}}&0&{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho z}{r^{2}}}\\0&1-{\frac {1}{2b}}&0\\{\frac {1}{2b}}{\frac {z\rho }{r^{2}}}&0&1-{\frac {1}{2b}}{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\end{bmatrix}}}$$

z 軸に沿った点力の変位を円筒座標で表すと特に便利です。と をそれぞれと方向の単位ベクトルとして定義すると、次のようになります。 ${\displaystyle F_{z}}$${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\rho }}}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {z} }}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle z}$$${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {F_{z}}{4\pi \mu r}}\left[{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho z}{r^{2}}}{\hat {\boldsymbol {\rho }}}+\left(1-{\frac {1}{4(1-\nu )}}\,{\frac {\rho ^{2}}{r^{2}}}\right){\hat {\mathbf {z} }}\right]}$$

力の方向の変位成分があり、静電気の電位の場合と同様に、 rが大きい場合は1/ rとして減少することがわかります。また、 ρ 方向の成分も追加されます。

もう一つの有用な解は、無限半空間の表面に作用する点力の解である。これは、法線力についてはブシネスク^{[8]によって、接線力についてはセルッティによって導出され、導出はランダウとリフシッツ[7]によって与えられている。 §8}この場合、解は再びグリーンテンソルとして表され、無限遠でゼロになり、表面に垂直な応力テンソルの成分はゼロになる。この解は、直交座標で次のように 表される [思い出してください:および= ポアソン比]: ${\displaystyle a=(1-2\nu )}$${\displaystyle b=2(1-\nu )}$${\displaystyle \nu }$

$${\displaystyle G_{ik}={\frac {1}{4\pi \mu }}{\begin{bmatrix}{\frac {b}{r}}+{\frac {x^{2}}{r^{3}}}-{\frac {ax^{2}}{r(r+z)^{2}}}-{\frac {az}{r(r+z)}}&{\frac {xy}{r^{3}}}-{\frac {axy}{r(r+z)^{2}}}&{\frac {xz}{r^{3}}}-{\frac {ax}{r(r+z)}}\\{\frac {yx}{r^{3}}}-{\frac {ayx}{r(r+z)^{2}}}&{\frac {b}{r}}+{\frac {y^{2}}{r^{3}}}-{\frac {ay^{2}}{r(r+z)^{2}}}-{\frac {az}{r(r+z)}}&{\frac {yz}{r^{3}}}-{\frac {ay}{r(r+z)}}\\{\frac {zx}{r^{3}}}-{\frac {ax}{r(r+z)}}&{\frac {zy}{r^{3}}}-{\frac {ay}{r(r+z)}}&{\frac {b}{r}}+{\frac {z^{2}}{r^{3}}}\end{bmatrix}}}$$

• 無限等方性半空間内の点力。^[9]
• 等方性半空間の表面上の点力。^[6]
• 2つの弾性体の接触：ヘルツ解（Matlabコードを参照）。^[10]接触力学のページも参照。

弾性力学は弾性波の研究であり、時間とともに変化する線形弾性を扱います。弾性波は、弾性または粘弾性材料内を伝播する機械波の一種です。材料の弾性により、波の復元力が生まれます。地震やその他の外乱の結果として地球上で発生した弾性波は、通常、地震波と呼ばれます。

線形運動量方程式は、慣性項を追加した単純な平衡方程式です。 $${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=\rho \,{\ddot {u}}_{i}=\rho \,\partial _{tt}u_{i}.}$$

材料が異方性フックの法則（材料全体で剛性テンソルが均一）に従う場合、弾性力学の変位方程式が得られます。 $${\displaystyle \left(C_{ijkl}u_{(k},_{l)}\right),_{j}+F_{i}=\rho {\ddot {u}}_{i}.}$$

物質が等方性かつ均質である場合、（一般または過渡的な）ナビエ-コーシー方程式が得られます。 $${\displaystyle \mu u_{i,jj}+(\mu +\lambda )u_{j,ij}+F_{i}=\rho \partial _{tt}u_{i}\quad {\text{or}}\quad \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +(\mu +\lambda )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mathbf {F} =\rho {\frac {\partial ^{2}\mathbf {u} }{\partial t^{2}}}.}$$

弾性力学波動方程式は、 として表すこともできます。 ここで 、 は音響微分演算子、 はクロネッカーのデルタです。 $${\displaystyle \left(\delta _{kl}\partial _{tt}-A_{kl}[\nabla ]\right)u_{l}={\frac {1}{\rho }}F_{k}}$$$${\displaystyle A_{kl}[\nabla ]={\frac {1}{\rho }}\,\partial _{i}\,C_{iklj}\,\partial _{j}}$$${\displaystyle \delta _{kl}}$

等方性媒体では、剛性テンソルは、 が体積弾性率（または非圧縮性）、がせん断弾性率（または剛性）、2 つの弾性係数 の 形をとります。材料が均質である場合（つまり、剛性テンソルが材料全体で一定である場合）、音響演算子は次のようになります。 $${\displaystyle C_{ijkl}=K\,\delta _{ij}\,\delta _{kl}+\mu \,(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk}-{\frac {2}{3}}\,\delta _{ij}\,\delta _{kl})}$$${\displaystyle K}$${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle A_{ij}[\nabla ]=\alpha ^{2}\partial _{i}\partial _{j}+\beta ^{2}(\partial _{m}\partial _{m}\delta _{ij}-\partial _{i}\partial _{j})}$$

平面波の場合、上記の微分演算子は音響代数演算子になります。 ここで は の固有値 で、固有ベクトルはそれぞれ伝播方向 に平行および直交します。関連する波は縦弾性波および剪断弾性波と呼ばれます。地震学の文献では、対応する平面波は P 波および S 波と呼ばれます (地震波 を参照)。 $${\displaystyle A_{ij}[\mathbf {k} ]=\alpha ^{2}k_{i}k_{j}+\beta ^{2}(k_{m}k_{m}\delta _{ij}-k_{i}k_{j})}$$$${\displaystyle \alpha ^{2}=\left(K+{\frac {4}{3}}\mu \right)/\rho \qquad \beta ^{2}=\mu /\rho }$$${\displaystyle A[{\hat {\mathbf {k} }}]}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {u} }}}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}\,\!}$

支配方程式から変位とひずみを除去すると、弾性力学のイグナチャック方程式が得られる^[11]。 $${\displaystyle \left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-S_{ijkl}{\ddot {\sigma }}_{kl}+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.}$$

局所等方性の場合、これは次のように表される。 $${\displaystyle \left(\rho ^{-1}\sigma _{(ik},_{k}\right),_{j)}-{\frac {1}{2\mu }}\left({\ddot {\sigma }}_{ij}-{\frac {\lambda }{3\lambda +2\mu }}{\ddot {\sigma }}_{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\rho ^{-1}F_{(i}\right),_{j)}=0.}$$

この定式化の主な特徴は次のとおりです。(1)コンプライアンスの勾配は回避されますが、質量密度の勾配が導入されます。(2)変分原理から導出できます。(3)牽引初期境界値問題の処理に有利です。(4)弾性波のテンソル分類が可能です。(5)弾性波伝播問題にさまざまな用途があります。(6)さまざまなタイプ(熱弾性、流体飽和多孔質、圧電弾性など)の相互作用場や非線形媒体を持つ古典的またはマイクロポーラ固体のダイナミクスに拡張できます。

異方性媒体の場合、剛性テンソルはより複雑になります。応力テンソルの対称性は、応力の要素が最大で 6 個あることを意味します。同様に、ひずみテンソルの要素も最大で 6 個あります。したがって、4 次剛性テンソルは行列(2 次テンソル) として記述できます。Voigt表記は、テンソル インデックスの標準的なマッピングです。 ${\displaystyle C_{ijkl}}$${\displaystyle \sigma _{ij}}$${\displaystyle \varepsilon _{ij}\,\!}$${\displaystyle C_{ijkl}}$${\displaystyle C_{\alpha \beta }}$$${\displaystyle {\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix}}{\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}}$$

この表記法を使用すると、任意の線形弾性媒体の弾性行列を次のように記述できます。 $${\displaystyle C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$

示されているように、行列は対称です。これは、 を満たすひずみエネルギー密度関数が存在する結果です。したがって、 の異なる要素は最大で 21 個あります。 ${\displaystyle C_{\alpha \beta }}$${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {\partial W}{\partial \varepsilon _{ij}}}}$${\displaystyle C_{\alpha \beta }\,\!}$