重調和方程式

数学において、重調和方程式は、線形弾性理論やストークス流の解法を含む連続体力学の分野で生じる4次偏微分方程式です。特に、外力に対して 弾性的に反応する薄い構造のモデリングに使用されます。

これは、または または と表記されます 。 ここで、 は、デル演算子の 4 乗であり、ラプラシアン演算子(または)の 2 乗であり、重調和演算子または双ラプラシアン演算子として知られています。直交座標では、次元で次のように表記できます。 ここの式にはインデックスの合計が含まれているため、多くの数学者は上の表記を好みます。これは、前者の方が、4 つのナブラ演算子のどのインデックスが 上で縮約されるかが明確になるからです。 $${\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =0}$$$${\displaystyle \nabla^{2}\nabla^{2}\varphi =0}$$$${\displaystyle \Delta ^{2}\varphi =0}$$${\displaystyle \nabla^{4}}$${\displaystyle \nabla^{2}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle n}$$${\displaystyle \nabla^{4}\varphi =\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\partial_{i}\partial_{i}\partial_{j}\partial_{j}\varphi =\left(\sum_{i=1}^{n}\partial_{i}\partial_{i}\right)\left(\sum_{j=1}^{n}\partial_{j}\partial_{j}\right)\varphi .}$$${\displaystyle \Delta ^{2}}$${\displaystyle \nabla^{4}}$

たとえば、3 次元の直交座標では、重調和方程式は次のような形式になります 。 別の例として、原点のないn次元の実座標空間では、 n =3 およびn =5 の場合のみ、 重 調和方程式の解が 示されます。$${\displaystyle {\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0.}$$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n}\setminus \mathbf {0} \right)}$$${\displaystyle \nabla^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}}$$$${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}}$$${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$

重調和方程式の解は重調和関数と呼ばれます。任意の調和関数は重調和ですが、その逆は必ずしも真ではありません。

2次元極座標では、重調和方程式は 変数分離によって解くことができます。結果はミッシェル解です。 $${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0}$$

2 次元の場合の一般解は 、 、、 が調和関数であり、 がの調和共役である 場合です。 $${\displaystyle xv(x,y)-yu(x,y)+w(x,y)}$$${\displaystyle u(x,y)}$${\displaystyle v(x,y)}$${\displaystyle w(x,y)}$${\displaystyle v(x,y)}$${\displaystyle u(x,y)}$

2 変数の調和関数が複素解析関数と密接に関連しているのと同様に、2 変数の重調和関数も複素解析関数と密接に関連しています。2 変数の重調和関数の一般形は と書くこともできます 。 ここで、 と は解析関数です。 $${\displaystyle \operatorname {Im} ({\bar {z}}f(z)+g(z))}$$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle g(z)}$

• 調和関数

• Weisstein、Eric W.「重調和方程式」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「重調和演算子」。MathWorld。