横方向等方性

横方向等方性材料は、等方性平面に垂直な軸を中心に対称な物理的特性を持つ材料です。この横方向平面には対称面が無限に存在するため、この平面内では材料特性はすべての方向で同じです。そのため、このような材料は「極性異方性」材料とも呼ばれます。地球物理学では、垂直横方向等方性 (VTI) はラジアル異方性とも呼ばれます。

このタイプの材料は六方対称性を示します(ただし、技術的には、これはランク 6 以上のテンソルには当てはまりません)。そのため、(ランク 4)弾性テンソルの独立定数の数は 5 に減少します (完全に異方性の 固体の場合は合計 21 個の独立定数)。電気抵抗率、透磁率などの (ランク 2) テンソルには、2 つの独立定数があります。

横方向等方性材料の例としては、繊維の断面が円形である、いわゆる軸上一方向繊維複合層があります。一方向複合材料では、励起の長波長 (低周波数) において、繊維方向に垂直な平面が等方性平面とみなされます。右の図では、繊維は等方性平面に垂直な軸に沿って配置されます。 ${\displaystyle x_{2}}$

有効特性の観点から、岩石の地質層は横方向に等方性であると解釈されることが多い。岩石学においてこのような層の有効弾性特性を計算することは、以下で説明する「バックス アップスケーリング」と呼ばれている。

物質マトリックスは、与えられた直交変換（ ）に対して対称性を持つとは、その変換を受けても変化しないことを意味する。このような変換に対する物質特性の不変性のためには、 ${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\implies \mathbf {f} =({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}}$

したがって、物質の対称性の条件は（直交変換の定義を使用して）

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}}$

直交変換は、直交座標系では次の 行列で表すことができます。${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.}$

したがって、対称条件は行列形式で次のように表すことができます。

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

横方向等方性材料の場合、マトリックスは次の形式になります。 ${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}~.}$

ここで、 -軸は対称軸です。物質マトリックスは、 -軸を中心に任意の角度で回転しても不変です。 ${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x_{3}}$

物理学における線形材料構成関係は、次の形式で表現できる。

${\displaystyle \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot \mathbf {d} }$

ここで、は物理量を表す2つのベクトルであり、は2次の物質テンソルである。行列形式では、 ${\displaystyle \mathbf {d} ,\mathbf {f} }$${\displaystyle {\boldsymbol {K}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathbf {f} }}}={\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\mathbf {d} }}}\implies {\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&K_{13}\\K_{21}&K_{22}&K_{23}\\K_{31}&K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}}$

上記のテンプレートに当てはまる物理的な問題の例を下の表に示します。^[1]

マトリックスで を使用すると、となります。 を使用すると、およびとなります。 エネルギー制限により、通常は が必要となるため、 が必要となります。 したがって、横方向等方性材料の材料特性は、マトリックスによって記述されます。 ${\displaystyle \theta =\pi }$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$${\displaystyle K_{13}=K_{31}=K_{23}=K_{32}=0}$${\displaystyle \theta ={\tfrac {\pi }{2}}}$${\displaystyle K_{11}=K_{22}}$${\displaystyle K_{12}=-K_{21}}$${\displaystyle K_{12},K_{21}\geq 0}$${\displaystyle K_{12}=K_{21}=0}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&0&0\\0&K_{11}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}}$

線形弾性においては、応力とひずみはフックの法則によって関係付けられる。すなわち、

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}$

または、Voigt記法を使用すると、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}}$

線形弾性材料における材料対称性の条件は、次のとおりである。^[2]

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}}$

どこ

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&A_{12}A_{13}&A_{11}A_{13}&A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&A_{22}A_{23}&A_{21}A_{23}&A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&A_{32}A_{33}&A_{31}A_{33}&A_{31}A_{32}\\2A_{21}A_{31}&2A_{22}A_{32}&2A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\2A_{11}A_{31}&2A_{12}A_{32}&2A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\2A_{11}A_{21}&2A_{12}A_{22}&2A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}}$

行列の特定の値を用いると、^{[3] 4階弾性剛性テンソルは2指数}Voigt表記 で次のように表されることがわかる。${\displaystyle \theta }$${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&(C_{11}-C_{12})/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{11}-2C_{66}&C_{13}&0&0&0\\C_{11}-2C_{66}&C_{11}&C_{13}&0&0&0\\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}.}$

弾性剛性マトリックスには5 つの独立した定数があり、これらは次のようによく知られている工学的弾性係数と関連しています。これらの工学的係数は実験的に決定されます。 ${\displaystyle C_{ij}}$

コンプライアンス行列（弾性剛性行列の逆行列）は

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\C_{13}^{2}-C_{12}C_{33}&C_{11}C_{33}-C_{13}^{2}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&0&0&0\\(C_{12}-C_{11})C_{13}&(C_{12}-C_{11})C_{13}&C_{11}^{2}-C_{12}^{2}&0&0&0\\0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0&0\\0&0&0&0&{\frac {\Delta }{C_{44}}}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {2\Delta }{(C_{11}-C_{12})}}\end{bmatrix}}}$

ここで、工学表記では、 ${\displaystyle \Delta :=(C_{11}-C_{12})[(C_{11}+C_{12})C_{33}-2C_{13}C_{13}]}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\mathsf {C}}}}^{-1}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {yx}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xy}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {zx}}}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {xz}}}{E_{\rm {x}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {z}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {xz}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {2(1+\nu _{\rm {xy}})}{E_{\rm {x}}}}\end{bmatrix}}}$

これら2つのコンプライアンス行列を比較すると、縦方向のヤング率は次のように表される ことがわかります。

${\displaystyle E_{L}=E_{\rm {z}}=C_{33}-2C_{13}C_{13}/(C_{11}+C_{12})}$

同様に、横方向のヤング率は

${\displaystyle E_{T}=E_{\rm {x}}=E_{\rm {y}}=(C_{11}-C_{12})(C_{11}C_{33}+C_{12}C_{33}-2C_{13}C_{13})/(C_{11}C_{33}-C_{13}C_{13})}$

面内せん断弾性率は

${\displaystyle G_{xy}=(C_{11}-C_{12})/2=C_{66}}$

極軸に沿った荷重の ポアソン比は

${\displaystyle \nu _{LT}=\nu _{zx}=C_{13}/(C_{11}+C_{12})}$。

ここで、L は縦方向（極方向）を表し、T は横方向を表します。

地球物理学では、地殻の岩石層は局所的に極性異方性（横方向等方性）であるという仮定が一般的であり、これは地球物理学上の関心事の最も単純なケースです。バッカスアップスケーリング^[4]は、長波長地震波に対する層状媒体の有効横方向等方性弾性定数を決定するためによく使用されます。

バッカス近似では次の仮定が立てられます。

• すべての材料は線形弾性である
• 固有のエネルギー散逸源（摩擦など）がない
• 無限波長限界で有効であるため、層の厚さが波長よりもはるかに小さい場合にのみ良好な結果が得られます。
• 層の弾性特性の分布の統計は定常であり、つまり、これらの特性には相関傾向はありません。

波長が短い場合、地震波の挙動は平面波の重ね合わせを使用して記述されます。横方向等方性媒体は、3 種類の弾性平面波をサポートします。

• 準P波（偏光方向は伝播方向とほぼ同じ）
• 準S波
• S 波 (準 S 波、対称軸、および伝播方向に対して直交する偏光)。

このような媒体における波動伝播の問題に対する解は、フーリエ合成を使用してこれらの平面波から構築することができます。

均質で等方性の材料の層状モデルは、Backusによって提案された横方向等方性媒体に拡大することができる。^[4]

バッカスは、等価媒体理論を提示し、不均質媒体を均質媒体に置き換えて、実際の媒体における波の伝播を予測することができるとしました。^[5]バッカスは、波長よりもはるかに細かいスケールでの層化が影響を及ぼし、多数の等方性層を、無限波長限界での静的負荷下で実際の媒体とまったく同じように動作する均質な横方向等方性媒体に置き換えることができることを示しました。

各層が 5つの横方向等方性パラメータで記述される場合、マトリックスを指定すると ${\displaystyle i}$${\displaystyle (a_{i},b_{i},c_{i},d_{i},e_{i})}$

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{i}}}}={\begin{bmatrix}a_{i}&a_{i}-2e_{i}&b_{i}&0&0&0\\a_{i}-2e_{i}&a_{i}&b_{i}&0&0&0\\b_{i}&b_{i}&c_{i}&0&0&0\\0&0&0&d_{i}&0&0\\0&0&0&0&d_{i}&0\\0&0&0&0&0&e_{i}\\\end{bmatrix}}}$

有効媒体の弾性係数は

${\displaystyle {\underline {\underline {{\mathsf {C}}_{\mathrm {eff} }}}}={\begin{bmatrix}A&A-2E&B&0&0&0\\A-2E&A&B&0&0&0\\B&B&C&0&0&0\\0&0&0&D&0&0\\0&0&0&0&D&0\\0&0&0&0&0&E\end{bmatrix}}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\langle a-b^{2}c^{-1}\rangle +\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle ^{2}\\B&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\langle bc^{-1}\rangle \\C&=\langle c^{-1}\rangle ^{-1}\\D&=\langle d^{-1}\rangle ^{-1}\\E&=\langle e\rangle \\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$すべてのレイヤーの体積加重平均を示します。

これには等方性層が含まれます。これは、、およびの場合に層が等方性であるためです。 ${\displaystyle b_{i}=a_{i}-2e_{i}}$${\displaystyle a_{i}=c_{i}}$${\displaystyle d_{i}=e_{i}}$

線形弾性横方向等方性媒体における波動伝播問題の解は、準P波、準S波、および準S波に直交するS波偏波の解を重ね合わせることで構築できます。ただし、速度の角度変化の方程式は代数的に複雑であり、平面波速度は伝播角度の関数です。^[6]材料を通過する弾性波の 方向依存波速度は、クリストッフェル方程式を使用して見つけることができ、 ^[7]で与えられます。${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}+{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{qS}(\theta )&={\sqrt {\frac {C_{11}\sin ^{2}(\theta )+C_{33}\cos ^{2}(\theta )+C_{44}-{\sqrt {M(\theta )}}}{2\rho }}}\\V_{S}&={\sqrt {\frac {C_{66}\sin ^{2}(\theta )+C_{44}\cos ^{2}(\theta )}{\rho }}}\\M(\theta )&=\left[\left(C_{11}-C_{44}\right)\sin ^{2}(\theta )-\left(C_{33}-C_{44}\right)\cos ^{2}(\theta )\right]^{2}+\left(C_{13}+C_{44}\right)^{2}\sin ^{2}(2\theta )\\\end{aligned}}}$

ここで、は対称軸と波の伝播方向の間の角度、は質量密度、 は弾性剛性行列の要素です。 Thomsen パラメータは、これらの式を簡略化して理解しやすくするために使用されます。 ${\displaystyle {\begin{aligned}\theta \end{aligned}}}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle C_{ij}}$

トムセンパラメータ^[8]は、例えば地球物理学で見られる横方向等方性材料を特徴付ける弾性係数の無次元の組み合わせである。弾性剛性行列の成分の観点から、これらのパラメータは次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon &={\frac {C_{11}-C_{33}}{2C_{33}}}\\\delta &={\frac {(C_{13}+C_{44})^{2}-(C_{33}-C_{44})^{2}}{2C_{33}(C_{33}-C_{44})}}\\\gamma &={\frac {C_{66}-C_{44}}{2C_{44}}}\end{aligned}}}$

ここで、インデックス 3 は対称軸 ( ) を示します。これらのパラメータは、関連するP 波およびS 波の速度と組み合わせて、弱い異方性の層状媒体を通る波の伝播を特徴付けるために使用できます。経験的に、ほとんどの層状岩石層の Thomsen パラメータは1 よりはるかに低くなります。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$

この名前は、1986 年の論文「弱い弾性異方性」でこれらのパラメータを提案した ヒューストン大学の地球物理学教授、レオン・トムセンに由来しています。

地球物理学では、弾性特性の異方性は通常弱く、その場合、上記の波の速度の正確な式をこれらの小さな量で線形化すると、次のように単純化されます。 ${\displaystyle \delta ,\gamma ,\epsilon \ll 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{qP}(\theta )&\approx V_{P0}(1+\delta \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta +\epsilon \sin ^{4}\theta )\\V_{qS}(\theta )&\approx V_{S0}\left[1+\left({\frac {V_{P0}}{V_{S0}}}\right)^{2}(\epsilon -\delta )\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta \right]\\V_{S}(\theta )&\approx V_{S0}(1+\gamma \sin ^{2}\theta )\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle V_{P0}={\sqrt {C_{33}/\rho }}~;~~V_{S0}={\sqrt {C_{44}/\rho }}}$

は対称軸（ ）の方向のP波速度とS波速度です（地球物理学では、これは通常垂直方向ですが、常にそうであるとは限りません）。 はさらに線形化される場合がありますが、これによってさらに単純化されるわけではないことに注意してください。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{3}}$${\displaystyle \delta }$

波の速度の近似式は物理的に解釈できるほど単純であり、ほとんどの地球物理学的応用において十分な精度を備えています。これらの式は、異方性が弱くない状況でも役立ちます。

• フックの法則
• 線形弾性
• 直交異方性材料