ミッチェル溶液

連続体力学において、ミッチェル解は極座標における弾性方程式の一般解である（${\displaystyle r,\theta }$） 1899年にジョン・ヘンリー・ミッチェルによって開発された。^{[ 1 ]}解は、応力成分がフーリエ級数の形で表される。 ${\displaystyle \theta }$。

ミッチェルは、一般解が次の形式の エアリー応力関数で表せることを示した。$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (r,\theta )&=A_{0}r^{2}+B_{0}r^{2}\ln(r)+C_{0}\ln(r)\\&+\left(I_{0}r^{2}+I_{1}r^{2}\ln(r)+I_{2}\ln(r)+I_{3}\right)\theta \\&+\left(A_{1}r+B_{1}r^{-1}+B_{1}'r\theta +C_{1}r^{3}+D_{1}r\ln(r)\right)\cos \theta \\&+\left(E_{1}r+F_{1}r^{-1}+F_{1}'r\theta +G_{1}r^{3}+H_{1}r\ln(r)\right)\sin \theta \\&+\sum _{n=2}^{\infty }\left(A_{n}r^{n}+B_{n}r^{-n}+C_{n}r^{n+2}+D_{n}r^{-n+2}\right)\cos(n\theta )\\&+\sum _{n=2}^{\infty }\left(E_{n}r^{n}+F_{n}r^{-n}+G_{n}r^{n+2}+H_{n}r^{-n+2}\right)\sin(n\theta )\end{aligned}}}$$ 条件${\displaystyle A_{1}r\cos \theta }$そして${\displaystyle E_{1}r\sin \theta }$ストレスの自明なヌル状態を定義し、無視されます。

応力成分は、エアリー応力関数（円筒座標）による応力の式にミッチェル解を代入することで得られます。応力成分の表を以下に示します。^{[ 2 ]}

変位${\displaystyle (u_{r},u_{\theta })}$応力-ひずみ関係とひずみ-変位関係を用いることで、ミッチェル解から得られる。ミッチェル解のエアリー応力関数の項に対応する変位成分の表を以下に示す。この表では

${\displaystyle \kappa ={\begin{cases}3-4~\nu &{\rm {for~plane~strain}}\\{\cfrac {3-\nu }{1+\nu }}&{\rm {for~plane~stress}}\\\end{cases}}}$

どこ${\displaystyle \nu }$はポアソン比であり、${\displaystyle \mu }$はせん断弾性率です。

剛体変位は、ミッチェル解に次の形式で重ね合わせることができることに注意してください。

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{r}&=A~\cos \theta +B~\sin \theta \\u_{\theta }&=-A~\sin \theta +B~\cos \theta +C~r\\\end{aligned}}}$

許容可能な変位場を得るため。

• 線形弾性
• フラマント溶液
• ジョン・ヘンリー・ミッチェル