ストレス関数

線形弾性において、境界上の表面力（またはポテンシャルとして表現できる体積力）のみを受ける弾性体の変形を記述する方程式は、（指数表記法を使用）平衡方程式である。

${\displaystyle \sigma _{ij,i}=0\,}$

ここで、は応力テンソルであり、ベルトラミ・ミッシェル適合性方程式は次のようになります。 ${\displaystyle \sigma}$

${\displaystyle \sigma _{ij,kk}+{\frac {1}{1+\nu }}\sigma _{kk,ij}=0}$

これらの方程式の一般解は、ベルトラミ応力テンソルで表現できます。応力関数は、このベルトラミ応力テンソルの特殊なケースとして導出されます。これは、一般性は低いものの、弾性方程式のより扱いやすい解法を生み出すことがあります。

^[1]によれば、平衡方程式の完全な解は次のように書ける。

${\displaystyle \sigma =\nabla \times \Phi \times \nabla }$

インデックス表記の使用:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{ikm}\varepsilon _{jln}\Phi _{kl,mn}}$

ここで、 は少なくとも 2 回微分可能な任意の 2 階テンソル場であり、ベルトラミ応力テンソルとして知られています。^[1]その成分はベルトラミ応力関数として知られています。はレヴィ-チヴィタ擬似テンソルであり、インデックスが繰り返されない場合を除いてすべての値はゼロに等しくなります。繰り返されないインデックスのセットでは、成分の値はインデックスの偶数順列で +1、奇数順列で -1 になります。 はナブラ演算子です。ベルトラミ応力テンソルが平衡方程式に加えてベルトラミ-ミッシェル適合方程式を満たすためには、 が少なくとも 4 回連続的に微分可能であること がさらに必要です。${\displaystyle \Phi _{mn}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \Phi _{mn}}$

マクスウェル応力関数は、ベルトラミ応力テンソルが次の形式に制限されていると仮定して定義されます。^[2]${\displaystyle \Phi _{mn}}$

${\displaystyle \Phi _{ij}={\begin{bmatrix}A&0&0\\0&B&0\\0&0&C\end{bmatrix}}}$

平衡方程式に自動的に従う応力テンソルは次のように表される: ^[2]

弾性静的問題の解決は、応力に対するベルトラミ・ミッシェル適合方程式に従う応力テンソルを与える3つの応力関数を見つけることから成ります。応力の式をベルトラミ・ミッシェル方程式に代入すると、応力関数による弾性静的問題の表現が得られます。^[3]

${\displaystyle \nabla ^{4}A+\nabla ^{4}B+\nabla ^{4}C=3\left({\frac {\partial ^{2}A}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}C}{\partial z^{2}}}\right)/(2-\nu ),}$

これらは、指定された境界条件に従う応力テンソルも生成する必要があります。

エアリー応力関数はマクスウェル応力関数の特殊なケースであり、A=B=0でCがxとyのみの関数であると仮定されている。^[2] この応力関数は2次元の問題にのみ使用できる。弾性の文献では、応力関数は通常次のように表され、応力は次のように表される。 ${\displaystyle C}$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \sigma _{x}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial y^{2}}}~;~~\sigma _{y}={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}~;~~\sigma _{xy}=-{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x\partial y}}-(f_{x}y+f_{y}x)}$

ここで、およびは関連する方向の物体力の値です。 ${\displaystyle f_{x}}$${\displaystyle f_{y}}$

極座標では、次の式になります。

${\displaystyle \sigma _{rr}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}~;~~\sigma _{\theta \theta }={\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial r^{2}}}~;~~\sigma _{r\theta }=\sigma _{\theta r}=-{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \varphi }{\partial \theta }}\right)}$

モレラ応力関数は、ベルトラミ応力テンソルが次の形式に制限されていると仮定して定義される^[2]。${\displaystyle \Phi _{mn}}$

${\displaystyle \Phi _{ij}={\begin{bmatrix}0&C&B\\C&0&A\\B&A&0\end{bmatrix}}}$

弾性静的問題の解決は、ベルトラミ・ミッシェル適合方程式に従う応力テンソルを与える3つの応力関数を見つけることから成ります。応力の式をベルトラミ・ミッシェル方程式に代入すると、応力関数による弾性静的問題の表現が得られます。^[4]

プラントル応力関数はモレラ応力関数の特殊なケースであり、A=B=0、Cはxとyのみの関数であると仮定されている。^[4]

• 弾性（物理学）
• 弾性係数
• 微小ひずみ理論
• 線形弾性
• 固体力学
• ストレス（力学）

• サッド、マーティン H. (2005)。弾性 - 理論、応用、数値。ニューヨーク: エルゼビア バターワース ハイネマン。ISBN 0-12-605811-3. OCLC  162576656.
• Knops, RJ (1958). 「弾性問題の解法におけるポアソン比の変化について」.季刊力学・応用数学誌. 11 (3). オックスフォード大学出版局: 326–350. doi :10.1093/qjmam/11.3.326.