アイレンバーグ・マクレーン空間

重要な特性${\displaystyle K(G,n)}$は、任意のアーベル群Gと任意の基底 CW 複体Xに対して、集合が${\displaystyle [X,K(G,n)]}$Xからへの基底マップの基底ホモトピー類の${\displaystyle K(G,n)}$n番目の特異コホモロジー群と自然な全単射関係にある。${\displaystyle H^{n}(X,G)}$空間Xの。したがって、${\displaystyle K(G,n)s}$これらは、 Gの係数を持つ特異コホモロジーの空間を表しています。

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}H^{n}(K(G,n),G)&=&\operatorname {Hom} (H_{n}(K(G,n);\mathbb {Z} ),G)\\&=&\operatorname {Hom} (\pi _{n}(K(G,n)),G)\\&=&\operatorname {Hom} (G,G),\end{array}}}$

際立った要素がある${\displaystyle u\in H^{n}(K(G,n),G)}$恒等式に対応する。上記の全単射は、その要素の引き戻しによって与えられる。${\displaystyle f\mapsto f^{*}u}$これは圏論の米田の補題に似ています。

^{この定理の構成的証明は[ 6 ]}で見つけることができ、オメガスペクトルと一般化された縮小コホモロジー理論の関係を利用した別の証明は^{[ 7 ]}で見つけることができ、主なアイデアは後ほど概略的に説明されています。

アイレンベルク・マクレーン空間のループ空間は、再びアイレンベルク・マクレーン空間となる。${\displaystyle \Omega K(G,n)\cong K(G,n-1)}$さらに、ループ空間と縮小サスペンションの間には随伴関係が存在する。${\displaystyle [\Sigma X,Y]=[X,\Omega Y]}$それによって${\displaystyle [X,K(G,n)]\cong [X,\Omega ^{2}K(G,n+2)]}$アーベル群の構造では、演算はループの連結です。これにより全単射が実現します。${\displaystyle [X,K(G,n)]\to H^{n}(X,G)}$上記で述べた群同型写像。

また、この性質は、さまざまなnを持つ Eilenberg–MacLane 空間が「Eilenberg–MacLane スペクトル」と呼ばれるω スペクトルを形成することを意味します。このスペクトルは、次のように定義されます。${\displaystyle X\mapsto h^{n}(X):=[X,K(G,n)]}$基底CW複体上の縮小コホモロジー理論、および任意の縮小コホモロジー理論${\displaystyle h^{*}}$CW複合体について${\displaystyle h^{n}(S^{0})=0}$のために${\displaystyle n\neq 0}$自然な同型性がある ${\displaystyle h^{n}(X)\cong {\tilde {H}}^{n}(X,h^{0}(S^{0}))}$、 どこ${\displaystyle {\tilde {H^{*}}}}$ これは縮約特異コホモロジーを表す。したがって、これら二つのコホモロジー理論は一致する。

より一般的な文脈では、ブラウン表現可能性は、基底CW複体上のすべての縮小コホモロジー理論がオメガスペクトルから生じることを述べている。

固定されたアーベル群の場合${\displaystyle G}$安定ホモトピー群にはマップが存在する

${\displaystyle \pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))\cong \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge \Sigma K(G,n))\to \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge K(G,n+1))}$

地図によって誘発される${\displaystyle \Sigma K(G,n)\to K(G,n+1)}$これらの写像の直接極限を取ると、これが縮約ホモロジー理論を定義することが確認できる。

${\displaystyle h_{q}(X)=\varinjlim _{n}\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))}$

CW複合体について。${\displaystyle h_{q}(S^{0})=\varinjlim \pi _{q+n}^{s}(K(G,n))}$消える${\displaystyle q\neq 0}$、${\displaystyle h_{*}}$ 縮小特異ホモロジーと一致する${\displaystyle {\tilde {H}}_{*}(\cdot ,G)}$CW複合体上のGの係数を持つ。

コホモロジーの普遍係数定理から、アイレンベルク・マクレーン空間は群の準関手であることがわかる。すなわち、各正の整数に対して${\displaystyle n}$もし${\displaystyle a\colon G\to G'}$がアーベル群の任意の準同型である場合、空でない集合が存在する。

${\displaystyle K(a,n)=\{[f]:f\colon K(G,n)\to K(G',n),H_{n}(f)=a\},}$

満足${\displaystyle K(a\circ b,n)\supset K(a,n)\circ K(b,n){\text{ and }}1\in K(1,n),}$ どこ${\displaystyle [f]}$は連続写像のホモトピー類を表す。${\displaystyle f}$そして${\displaystyle S\circ T:=\{s\circ t:s\in S,t\in T\}.}$

すべての接続されたCW複合体${\displaystyle X}$ポストニコフ塔、すなわち空間の逆システムを 備えている。

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\simeq K(\pi _{1}(X),1)}$

すべての${\displaystyle n}$:

1. 通勤マップがあります${\displaystyle X\to X_{n}}$これは、${\displaystyle \pi _{i}}$のために${\displaystyle i\leq n}$、
2. ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$のために${\displaystyle i>n}$、
3. 地図${\displaystyle X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}}$繊維を含む線維化${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$。

同時に、ホワイトヘッド・タワーというものも存在し、それは一連のCW複合体である。

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}$

すべての${\displaystyle n}$:

1. 地図${\displaystyle X_{n}\to X}$同型性を誘導する${\displaystyle \pi _{i}}$のために${\displaystyle i>n}$、
2. ${\displaystyle X_{n}}$n連結である、
3. 地図${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$繊維を含む線維化${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}$。

セールのスペクトル系列を利用することで、球面の高次ホモトピー群の計算を行うことができる。例えば${\displaystyle \pi _{4}(S^{3})}$そして${\displaystyle \pi _{5}(S^{3})}$ホワイトヘッドタワーを使用して${\displaystyle S^{3}}$ここに^{[ 8 ]}より一般的には${\displaystyle \pi _{n+i}(S^{n})\ i\leq 3}$ポストニコフシステムの使用については、こちらをご覧ください。^{[ 9 ]}

固定された自然数m,nおよびアーベル群G,Hに対して、すべてのコホモロジー演算の集合と全単射が存在する。${\displaystyle \Theta :H^{m}(\cdot ,G)\to H^{n}(\cdot ,H)}$そして${\displaystyle H^{n}(K(G,m),H)}$定義される${\displaystyle \Theta \mapsto \Theta (u)}$、 どこ${\displaystyle u\in H^{m}(K(G,m),G)}$は、#Bijection で定義されているマップのホモトピー類とコホモロジーの間の基本クラスです。^{[ 10 ]}

その結果、コホモロジー演算はコホモロジー群の次数を減少させることはできず、次数保存コホモロジー演算は係数準同型に対応する。${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,H)}$これは、コホモロジーの普遍係数定理と(m-1)連結性から導かれる。${\displaystyle K(G,m)}$。

コホモロジー演算の興味深い例としては、スティーンロッドスクエアとパワーがあり、${\displaystyle G=H}$これらは有限巡回群である。これらを研究する際には、コホモロジーの重要性が${\displaystyle K(\mathbb {Z} /p,n)}$係数は${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$すぐに明らかになります。^{[ 11 ]}これらのグループの詳細な表はここにあります。^{[ 12 ]}

群 A の係数を持つ G の群 (コ)ホモロジーは、アイレンベルク–マクレーン空間の特異 (コ)ホモロジーとして定義できる。${\displaystyle K(G,1)}$係数はAに含まれる。

上述のループ空間構成は、弦理論において、例えば弦群、五ブレーン群などを得るために用いられ、短完全系列から生じるホワイトヘッド塔などにも用いられる。

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,2)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to 0}$

と${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$文字列グループ、そして${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$スピン群。関連性${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$重要なのは、ホモトピー同値が存在するという事実である。

${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z} }$

分類空間の場合${\displaystyle B\mathbb {Z} }$事実${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)}$複素スピン群は群拡張であるため、

${\displaystyle 0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)\to \operatorname {Spin} (n)\to 0}$、

ストリング群は、空間が高次の群論の意味で「より高次の」複素スピン群拡張と考えることができる。${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$は高次の群の一例である。群状体の位相的実現と考えることができる。${\displaystyle \mathbf {B} U(1)}$その対象は一点であり、その射は群である${\displaystyle U(1)}$これらのホモトピー的性質により、この構成は一般化され、任意の空間が${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,n)}$ホモトピー群を消滅させる短い完全シーケンスを開始するために使用できます${\displaystyle \pi _{n+1}}$位相群において。

• アイレンバーグ、サミュエル；マクレーン、サンダース（1945）「空間のホモロジー群とホモトピー群の関係」、Annals of Mathematics（第2シリーズ）、46（3）：480–509、doi：10.2307/1969165、JSTOR 1969165、MR 0013312  
• アイレンバーグ、サミュエル；マクレーン、サンダース（1950）。「空間のホモロジー群とホモトピー群の関係 II」。Annals of Mathematics （第2シリーズ）。51 （3）：514–533。doi ：10.2307/ 1969365。JSTOR 1969365。MR 0035435。  
• アイレンバーグ、サミュエル；マクレーン、サンダース（1954）。「グループについて」${\displaystyle H(\Pi ,n)}$III. 演算と障害」 . Annals of Mathematics . 60 (3): 513– 557. doi : 10.2307/1969849 . JSTOR 1969849 . MR 0065163 .  

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• http://www.numdam.org/volume/SHC_1954-1955__7/ 2022年4月25日にWayback Machineにアーカイブされました

• 分割冪関数の派生関数
• 有限ポストニコフ塔の積分コホモロジー
• アイレンベルク・マクレーン空間 K(G,n) の（コ）ホモロジー

• 数学百科事典
• n Labのアイレンバーグ＝マックレーン・スペース