コホモロジー演算

数学において、コホモロジー演算の概念は、1950年代以降、代数的位相幾何学、特にホモトピー理論において、 Fがコホモロジー理論を定義する関数である場合、コホモロジー演算はFからそれ自身への自然な変換であるべきという単純な定義の形で中心的なものとなった。全体を通して、2つの基本的なポイントがある。

1. 操作は組み合わせ的な手段によって研究することができる。
2. この操作の効果は、興味深い二交換理論を生み出すことです。

これらの研究の起源は、ポントリャーギン、ポストニコフ、ノーマン・スティーンロッドの研究であり、彼らは、mod 2 係数の場合に、特異コホモロジーに対するポントリャーギン平方、ポストニコフ平方、スティーンロッド平方演算を初めて定義しました。そこの組み合わせ論的側面は、コチェーンレベルでの自然な対角写像の失敗の定式化として生じます。スティーンロッド代数の演算の一般理論は、対称群の一般理論と密接な関係に持ち込まれました。

アダムススペクトル列では、Hom 関手の導来関手であるExt 関手の使用において、二交換性の側面が暗黙的に存在します。スティーンロッド代数の作用に引き継がれた二交換性の側面がある場合でも、それは導来レベルのみです。収束は安定ホモトピー理論の群に対して行われますが、これに関する情報は入手困難です。この関係により、ホモトピー理論に対するコホモロジー演算への深い関心が確立され、それ以来ずっと研究対象となっています。特別なコホモロジー理論には独自のコホモロジー演算があり、これらはより豊富な制約条件を示す場合があります。

型の コホモロジー 演算${\displaystyle \theta}$

${\displaystyle (n,q,\pi ,G)\,}$

関数の 自然な変換である

${\displaystyle \theta :H^{n}(-,\pi )\to H^{q}(-,G)\,}$

CW複合体上で定義されます。

CW 複体のコホモロジーは、アイレンバーグ・マクレーン空間によって表現可能であるため、米田の補題により、型のコホモロジー演算は、写像 のホモトピー類によって与えられます。もう一度表現可能性を用いると、コホモロジー演算は の元によって与えられます。 ${\displaystyle (n,q,\pi,G)}$${\displaystyle K(\pi ,n)\to K(G,q)}$${\displaystyle H^{q}(K(\pi ,n),G)}$

象徴的に、をから への写像のホモトピー類の集合とすると、 ${\displaystyle [A,B]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\displaystyle \mathrm {Nat} (H^{n}(-,\pi ),H^{q}(-,G))&=\mathrm {Nat} ([- ,K(\pi ,n)],[-,K(G,q)])\\&=[K(\pi ,n),K(G,q)]\\&=H^{q}(K(\pi ,n);G).\end{aligned}}}$

• 二次コホモロジー演算

• モッシャー、ロバート E.; タンゴラ、マーティン C. (2008) [1968]、コホモロジー演算とホモトピー理論への応用、ニューヨーク：ドーバー出版、ISBN 978-0-486-46664-4、MR  0226634
• スティーンロッド、NE (1962)、エプスタイン、DBA (編)、コホモロジー演算、数学研究年報、第50巻、プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-07924-0、MR  0145525