ブランマンジェカーブ

高木曲線の周期的なバージョンは、唯一の有界解として定義することもできる。${\displaystyle T=T_{w}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$関数方程式へ

${\displaystyle T(x)=s(x)+wT(2x).}$

実際、ブランマンジェ機能は${\displaystyle T_{w}}$確かに有界であり、関数方程式を解く。

${\displaystyle T_{w}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)=s(x)+\sum _{n=1}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)}$${\displaystyle =s(x)+w\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n+1}x)=s(x)+wT_{w}(2x).}$

逆に、${\displaystyle T:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$これは関数方程式の有界解であり、任意の Nに対して成り立つ等式を反復する。

${\displaystyle T(x)=\sum _{n=0}^{N}w^{n}s(2^{n}x)+w^{N+1}T(2^{N+1}x)=\sum _{n=0}^{N}w^{n}s(2^{n}x)+o(1),{\text{ for }}N\to \infty ,}$

そこから${\displaystyle T=T_{w}}$ちなみに、上記の関数方程式は無限に多くの連続的で非有界な解を持ちます。 ${\displaystyle T_{w}(x)+c|x|^{-\log _{2}w}.}$

無限和を最初の数項の有限和で近似すれば、ブランマンジェ曲線は三角形波動関数から視覚的に構築できます。以下の図では、各段階でより細かい三角形関数（赤色で表示）が曲線に追加されています。

無限和を定義する${\displaystyle T_{w}(x)}$すべての場合において絶対的に収束する${\displaystyle x.}$以来$0 ≤ s(x) ≤ 1/2$すべての人々のために${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$

$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|w^{n}s(2^{n}x)|\leq {\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }|w|^{n}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}}$

もし${\displaystyle |w|<1.}$パラメータの高木曲線${\displaystyle w}$は単位区間（または）上で定義されます${\displaystyle \mathbb {R} }$） もし${\displaystyle |w|<1}$パラメータの高木関数${\displaystyle w}$連続関数です。${\displaystyle T_{w,n}}$部分和によって定義される

${\displaystyle T_{w,n}(x)=\sum _{k=0}^{n}w^{k}s(2^{k}x)}$

連続であり、一様に収束する${\displaystyle T_{w}:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|T_{w}(x)-T_{w,n}(x)\right|&=\left|\sum _{k=n+1}^{\infty }w^{k}s(2^{k}x)\right|\\&=\left|w^{n+1}\sum _{k=0}^{\infty }w^{k}s(2^{k+n+1}x)\right|\\&\leq {\frac {|w|^{n+1}}{2}}\cdot {\frac {1}{1-|w|}}\end{aligned}}}$

すべてのxに対して${\displaystyle |w|<1.}$この上限は、${\displaystyle n\to \infty .}$一様極限定理により、${\displaystyle T_{w}}$| w |  <  1 の場合、連続である。

• 
  パラメータw = 2/3
• 
  パラメータw = 1/2
• 
  パラメータw = 1/3
• 
  パラメータw = 1/4
• 
  パラメータw = 1/8

絶対値は劣加法関数なので、関数も劣加法関数です。${\displaystyle s(x)=\min _{n\in {\mathbf {Z} }}|xn|}$、およびその膨張$\displaystyle s(2^{k}x)$; 正の線形結合と劣加法関数の点ごとの極限は劣加法であるため、高木関数はパラメータの任意の値に対して劣加法である。${\displaystyle w}$。

のために${\displaystyle w=1/4}$すると放物線が得られます。中点分割による放物線の作図はアルキメデスによって記述されました。

パラメータの値については${\displaystyle 0<w<1/2,}$高木関数${\displaystyle T_{w}}$ 古典的な意味で任意の点で微分可能である${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$これは二進有理数ではない。級数の符号による導出により、任意の非二進有理数に対して${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$見つける

${\displaystyle T_{w}^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\,(2b_{n}-1)}$

どこ$\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$は、 2 進数展開におけるバイナリ数字のシーケンスです。${\displaystyle x}$:

${\displaystyle x=\sum _{n=-k}^{\infty }b_{n}2^{-n-1}\;.}$

同様に、バイナリ展開のビットは、幅にスケーリングされた方形波のシーケンス、つまりハールウェーブレットとして理解できる。$2^{-n}.$これは、三角波の導関数が方形波に等しいことから導かれる。

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}s(x)=\operatorname {sgn}(1/2-(x\!\!\!\mod 1))}$

など

${\displaystyle T_{w}^{\prime }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(2w)^{n}\operatorname {sgn}(1/2-(2^{n}x\!\!\!\mod 1))}$

パラメータについては${\displaystyle 0<w<1/2,}$機能 ${\displaystyle T_{w}}$定数のリプシッツである${\displaystyle 1/(1-2w).}$特にその特別な価値のために${\displaystyle w=1/4}$非二元的有理数に対して、${\displaystyle x\in [0,1]}$${\displaystyle T_{1/4}'(x)=2-4x}$前述の通り ${\displaystyle T_{1/4}(x)=2x(1-x).}$

のために${\displaystyle w=1/2}$ブランマンジェ機能${\displaystyle T_{w}}$ 非空開集合上では 有界変動ではなく、局所的にもリプシッツではないが準リプシッツであり、実際には関数を許容する。${\displaystyle \omega (t):=t(|\log _{2}t|+1/2)}$連続性の係数として。

高木・ランズバーグ関数は、絶対収束するフーリエ級数展開を許容する。

${\displaystyle T_{w}(x)=\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}\cos(2\pi mx)}$

と${\displaystyle a_{0}=1/4(1-w)}$そして、${\displaystyle m\geq 1}$

${\displaystyle a_{m}:=-{\frac {2}{\pi ^{2}m^{2}}}(4w)^{\nu (m)},}$

どこ$2ν(m)$最大電力は${\displaystyle 2}$分裂させる${\displaystyle m}$実際、上記の三角波${\displaystyle s(x)}$絶対収束するフーリエ級数展開を持つ

${\displaystyle s(x)={\frac {1}{4}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2}}}\cos {\big (}2\pi (2k+1)x{\big )}.}$

絶対収束により、対応する二重級数を並べ替えることができる。${\displaystyle T_{w}(x)}$:

${\displaystyle T_{w}(x):=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}s(2^{n}x)={\frac {1}{4}}\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {w^{n}}{(2k+1)^{2}}}\cos {\big (}2\pi 2^{n}(2k+1)x{\big )}\,:}$

パッティング${\displaystyle m=2^{n}(2k+1)}$上記のフーリエ級数が得られる。${\displaystyle T_{w}(x).}$

再帰的な定義により、曲線の自己対称性のモノイドを与えることができる。このモノイドは、曲線（単位区間に制限されている）に作用する2つの生成子gとrによって与えられる。

${\displaystyle [g\cdot T_{w}](x)=T_{w}\left(g\cdot x\right)=T_{w}\left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {x}{2}}+wT_{w}(x)}$

そして

${\displaystyle [r\cdot T_{w}](x)=T_{w}(r\cdot x)=T_{w}(1-x)=T_{w}(x).}$

モノイドの一般要素は次の形式をとる。${\displaystyle \gamma =g^{a_{1}}rg^{a_{2}}r\cdots rg^{a_{n}}}$いくつかの整数に対して${\displaystyle a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}}$これは曲線に対して線形関数として作用する。${\displaystyle \gamma \cdot T_{w}=a+bx+cT_{w}}$定数a、b、cに対して。作用は線形であるため、ベクトル空間で記述でき、ベクトル空間の基底は次のようになります。

${\displaystyle 1\mapsto e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle x\mapsto e_{2}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle T_{w}\mapsto e_{3}={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

この表現では、 gとrの作用は次のように表される。

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\0&0&w\end{bmatrix}}}$

そして

${\displaystyle r={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

つまり、一般要素の作用${\displaystyle \gamma }$単位区間[0,1]上のブランマンジェ曲線を部分区間にマッピングする${\displaystyle [m/2^{p},n/2^{p}]}$ある整数m、n、pに対して、写像は正確に次のように与えられる。${\displaystyle [\gamma \cdot T_{w}](x)=a+bx+cT_{w}(x)}$ここで、a、b、cの値は、上記の行列を展開することで直接得られます。つまり、次のようになります。

${\displaystyle \gamma ={\begin{bmatrix}1&{\frac {m}{2^{p}}}&a\\0&{\frac {n-m}{2^{p}}}&b\\0&0&c\end{bmatrix}}}$

ご了承ください${\displaystyle p=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}$即座に適用されます。

gとrによって生成されるモノイドは、二進モノイドと呼ばれることもあります。これはモジュラー群のサブモノイドです。モジュラー群について議論する際には、 gとrのより一般的な表記はTとSですが、この表記はここで使用されている記号と矛盾します。

上記の3次元表現は、それが持ちうる多くの表現のうちの1つにすぎません。これは、ブランマンジェ曲線がその作用の実現可能な例の1つであることを示しています。つまり、3次元だけでなく、任意の次元に対して表現が存在し、その中にはド・ラーム曲線を与えるものもあります。