アーノルド拡散

応用数学において、アーノルド拡散とは、ほぼ積分可能な ハミルトン系の不安定性現象である。この現象は、1964年にこの分野で初めて結果を発表したウラジミール・アーノルドにちなんで名付けられた^{。[1] [2]}より正確には、アーノルド拡散とは、作用変数に大きな変化を示すほぼ積分可能なハミルトン系の解の存在を主張する結果を指す。

アーノルド拡散は、ハミルトン系におけるいかなる制約にも縛られない（つまり、運動定数から生じるラグランジアン トーラスによって束縛されない）位相空間の一部におけるエルゴード定理による軌道の拡散を表します。これは、 N次元不変トーラスが 2 N -1 次元位相空間をそれ以上分離しないため、 N =2を超える自由度を持つシステムで発生します。したがって、任意の小さな摂動によって、破壊されたトーラスによって残された位相空間の全体にわたって、多数の軌道が疑似ランダムにさまよう可能性があります。

積分可能なシステムでは、作用変数が保存されます。KAM定理によれば、積分可能なシステムをわずかに摂動させると、摂動されたシステムの解の多くは、すべてではありませんが、摂動されていないシステムと常に近い状態を保ちます。特に、作用変数は元々保存されていたため、定理によれば、摂動されたシステムの多くの解の作用はわずかにしか変化しません。

しかし、アーノルドの論文^[1]で最初に指摘されたように、作用変数が任意に大きな成長を示す解が存在する、ほぼ積分可能なシステムが存在する。より正確には、アーノルドは、ハミルトン

${\displaystyle H(I,\phi ,p,q,t)={1 \over 2}I^{2}+{1 \over 2}p^{2}+\epsilon (\cos {q}-1)+\mu (\cos {q}-1)(\sin {\phi +\cos t)}}$

このハミルトニアンの最初の3つの項は回転振り子系を記述する。アーノルドは、この系では、 、 の任意の選択に対して、 に対して、 の解が存在すること を示した。${\displaystyle I_{+}>I_{-}>0}$${\displaystyle 0<\mu \ll \epsilon \ll 1}$

${\displaystyle I(0)<I_{-}{\text{ および }}I(T)>I_{+}}$

しばらくの間${\displaystyle T\gg 0.}$

彼の証明は、「ウィスカー」トーラスの「遷移連鎖」の存在に依存している。つまり、これらのトーラスの 1 つの不安定な多様体(ウィスカー) が次のトーラスの安定な多様体(ウィスカー) と横断的に交差するような推移的なダイナミクスを持つトーラスのシーケンスである。アーノルドは、「私たちの例で不安定性を保証する「遷移連鎖」のメカニズムは、一般的なケース (たとえば、3 つの物体の問題) にも適用できる」と推測した。^[1]

KAM定理とアーノルド拡散は、物理学からの洞察を伴った厳密な数学的結果の集大成をもたらしました。^{[3] [4]}

アーノルドのモデルでは、摂動項は特殊な型である。アーノルドの拡散問題の一般的なケースは、以下のいずれかの形式のハミルトン系に関するものである。

（１） ${\displaystyle H_{\epsilon }(I,\phi ,p,q)=H_{0}(I,p,q)+\epsilon H_{1}(I,\phi ,p,q,t)}$

ここで、、およびは回転振り子系を表し、または ${\displaystyle (I,\phi ,p,q,t)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {T} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\times \mathbb {T} ^{1}}$${\displaystyle m,n\geq 1}$${\displaystyle H_{0}(I,p,q)}$

（２） ${\displaystyle H_{\epsilon }(I,\phi )=H_{0}(I)+\epsilon H_{1}(I,\phi ,t)}$

どこ、${\displaystyle (I,\phi ,t)\in \mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {T} ^{N}\times \mathbb {T} ^{1}}$${\displaystyle N\geq 2.}$

( 1)のようなシステムでは、摂動を受けていないハミルトニアンは、双曲的な安定多様体と不安定多様体を持つ滑らかな不変トーラス族を持ちます。このようなシステムは、先験的に不安定と呼ばれます。 (2)のようなシステムでは、摂動を受けていないハミルトニアンの位相空間は、ラグランジアン不変トーラスによって葉脈状に配置されます。このようなシステムは、先験的に安定と呼ばれます。^[5]どちらの場合でも、アーノルド拡散問題は、「一般的な」システムに対して、十分に小さい任意の に対して、 が存在するような解曲線が存在すると主張しています。 ${\displaystyle \rho >0}$${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \|I(T)-I(0)\|\geq \rho }$

しばらくの間、 先験的に不安定なシステムと先験的に安定したシステムの文脈における可能な一般性条件の正確な定式化は、^{[6] [7]}にそれぞれ記載されています。非公式には、アーノルド拡散問題とは、小さな摂動が蓄積して大きな効果をもたらす可能性があるというものです。 ${\displaystyle T\gg 0.}$

先験的に不安定なケースに関する最近の結果には、^{[8] [9] [10] [11] [12]}と先験的に安定なケースに関する結果がある。^{[13] [14]}

制限三体問題の文脈では、アーノルド拡散は、質量のある物体の楕円軌道の離心率が十分に小さくゼロでないすべての値に対して、無視できる質量のエネルギーが離心率に依存しない量だけ変化する解が存在するという意味で解釈できる。^{[15] [16] [17]}

• KAM定理
• ネホロシェフの推定