ブルハット命令

数学において、ブリュア順序（強い順序、強いブリュア順序、シュヴァレー順序、ブリュア・シュヴァレー順序、シュヴァレー・ブリュア順序とも呼ばれる）は、コクセター群の元における半順序であり、シューベルト多様体における包含順序に対応する。

歴史

旗多様体またはグラスマン多様体のシューベルト多様体上のブルハット順序は、最初にエーレスマン (1934) によって研究され、より一般的な半単純代数群の類似物はシュヴァレー (1958) によって研究されました。ヴェルマ (1968) は、ワイル群上のブルハット順序の組合せ論的研究を開始し、フランソワ・ブルハットによって導入されたブルハット分解との関係から「ブルハット順序」という名前を導入しました。

左と右の弱いBruhat順序はBjörner (1984) によって研究されました。

意味

$(W, S)が生成元$ $S$ を持つCoxeter システムである場合、 Bruhat 順序はグループ $W$ 上の部分順序です。 Bruhat 順序の定義は、いくつかの他の定義に依存しています。まず、 $W$ の要素 $wの$ 簡約語は $、 S$ の要素の積としての $w$ の最小長表現であり、 $w$ の長さ $ℓ$ $($ $w$ $)$ はその簡約語の長さです。次に、 (強い) Bruhat 順序は、 vの一部 (またはすべて) の簡約語の一部の文字列が u の簡約語である場合に $u$ $\leq$ v $によって$ $定義$ $さ$ れます。 (ここで、部分文字列は必ずしも連続する部分文字列ではありません。)

関連する半順序が他に 2 つあります。

弱い左（Bruhat）順序は、 $v$ の何らかの簡約語の最後の部分文字列が $u$ の簡約語である場合に $u \leq L v$ によって定義され、
弱い右（Bruhat）順序は、 $v$ の何らかの簡約語の最初の部分文字列が $u$ の簡約語である場合に、 $u \leq R v$ によって定義されます。

弱い順序の詳細については、「順列の弱い順序」の記事を参照してください。

ブルハットグラフ

Bruhat グラフは、（強い）Bruhat 順序に関連する有向グラフです。頂点集合は Coxeter 群の要素の集合であり、辺集合は、何らかの反射 $t$ に対して $u$ $=$ $tvかつ$ $ℓ$ $($ $u$ $) <$ $ℓ$ $($ $v$ $)$ であるときは常に、有向辺 $(u 、 v)$ で構成されます。グラフは、反射の集合から得られる辺ラベルを持つ、辺ラベル付き有向グラフとして見ることができます。（右側の乗算を使用して Bruhat グラフを定義することもできます。グラフとして、結果のオブジェクトは同型ですが、辺ラベルは異なります。）

対称群（順列）上の強い Bruhat 順序には、によって与えられるメビウス関数があり、したがってこの poset はオイラーであり、そのメビウス関数は poset 上の階数関数によって生成されることを意味します。 $\mu (\pi ,\sigma )=(-1)^{\ell (\sigma )-\ell (\pi )}$

参照

カジダン・ルスティグ多項式

参考文献

Björner, Anders (1984)、「コクセター群の順序付け」、Greene, Curtis (編)、『組合せ論と代数』（コロラド州ボルダー、1983 年）、『現代数学』第 34 巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp. 175–195、ISBN 978-0-8218-5029-9、MR 0777701
ビョルナー、アンダース。 Brenti、Francesco (2005)、Coxeter 群の組み合わせ論、Graduate Texts in Mathematics、vol. 231、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、doi :10.1007/3-540-27596-7、ISBN 978-3-540-44238-7、MR 2133266
Chevalley, C. (1958)、「Sur les décompositions cellulaires des espaces G/B」、Haboush、William J.;パーシャル、ブライアンＪ．（編）、代数群とその一般化：古典的方法（ペンシルバニア州ユニバーシティパーク、１９９１年）、Ｐｒｏｃ．シンポ。 Pure Math.、vol. 56、プロビデンス、RI:アメリカ数学協会、1 ～ 23 ページ、ISBN 978-0-8218-1540-3、MR 1278698
Ehresmann, Charles (1934)、「Sur la Topologie de Certains Espaces Homogenes」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ (フランス語)、35 (2)、Annals of Mathematics: 396–443、doi :10.2307/1968440、ISSN 0003- 486X、JFM 60.1223.05、JSTOR 1968440
Verma, Daya-Nand (1968)、「複素半単純リー代数の特定の誘導表現の構造」、米国数学会報、74 : 160–166、doi : 10.1090/S0002-9904-1968-11921-4、ISSN 0002-9904、MR 0218417