2点テンソル

2点テンソル、または二重ベクトルは、それぞれの添字に関してユークリッドベクトルとして変換されるテンソルのような量です。連続体力学では、基準座標（「物質」）と現在の座標（「配置」）の間の変換に使用されます。^{[1]例としては、}変形勾配や第1ピオラ・キルヒホッフ応力テンソルなどがあります。

テンソルの多くの応用と同様に、アインシュタインの和記法が頻繁に使用されます。この記法を明確にするために、参照座標を示すために大文字のインデックスが使用され、現在の座標を示すために小文字のインデックスが使用されることがよくあります。したがって、2 点テンソルには、大文字のインデックスと小文字のインデックスが 1 つずつあります (例: A _jM)。

従来のテンソルは、ある座標系のベクトルを同じ座標系内の他のベクトルに変換するものとみなすことができます。対照的に、2点テンソルは、ある座標系から別の座標系へベクトルを変換します。つまり、従来のテンソルは、

${\displaystyle \mathbf {Q} =Q_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {e} _{q})}$、

ベクトルuをベクトルvに能動的に変換する。

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {Q} \mathbf {u} }$

ここで、vとu は同じ空間で測定され、それらの座標表現は同じ基底（「e」で示される）を基準とします。

対照的に、2点テンソルGは次のように表される。

${\displaystyle \mathbf {G} =G_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {E} _{q})}$

そして、 E系のベクトルUをe系 のベクトルvに変換すると、

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {GU} }$。

プライム付きとプライムなしの2つの座標系があり、ベクトルの成分が次のように変換されるとする。

${\displaystyle v'_{p}=Q_{pq}v_{q}}$。

テンソルについては、

${\displaystyle T_{pq}(e_{p}\otimes e_{q})}$。

系におけるテンソル。別の系では、同じテンソルが次のように表される。 ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle T'_{pq}(e'_{p}\otimes e'_{q})}$。

私たちはこう言える

${\displaystyle T'_{ij}=Q_{ip}Q_{jr}T_{pr}}$。

それから

${\displaystyle T'=QTQ^{\mathsf {T}}}$

は、通常のテンソル変換です。しかし、これらのシステム間の2点テンソルは、

${\displaystyle F_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})}$

これは次のように変換されます

${\displaystyle F'=QF}$。

2点テンソルの最もありふれた例は、変換テンソル、つまり上記の議論の Qである。

${\displaystyle v'_{p}=Q_{pq}u_{q}}$。

さて、全文を書きますと、

${\displaystyle u=u_{q}e_{q}}$

そしてまた

${\displaystyle v=v'_{p}e'_{p}}$。

この場合、Qは次の形式となる。

${\displaystyle Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})}$。

テンソル積の定義により、

だからこう書くことができる

${\displaystyle u_{p}e_{p}=(Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q}))(v_{q}e_{q})}$

したがって

${\displaystyle u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}(e'_{p}\otimes e_{q})e_{q}}$

（１）を組み込むと、

${\displaystyle u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}e_{p}}$。

• 混合テンソル
• ベクトルの共変性と反変性

• 弾性の数学的基礎 ジェロルド・E・マースデン、トーマス・J・R・ヒューズ著
• iMechanica の 2 点テンソル