65537ゴン

レギュラー65537角形
通常の65537角形
タイプ	正多角形
エッジと頂点	65537
シュレーフリ記号	{65537}
コクセター・ディンキン図
対称グループ	二面角（D 65537）、位数 2×65537
内角（度）	≈179.994 507°
プロパティ	凸状、環状、正三角形、等角、等軸
デュアルポリゴン	自己

幾何学では、65537 角形は65,537 (2 ¹⁶ + 1) 辺を持つ多角形です。交差しない65537 角形の内角の合計は11796300° です。

正65537角形の面積は（t = 辺の長さ）

${\displaystyle A={\frac {65537}{4}}t^{2}\cot {\frac {\pi }{65537}}}$

正 65537角形全体は円と視覚的に区別できず、その周囲長は外接円の周囲長と約15億分の1だけ異なります。

正 65537 角形 (すべての辺が等しく、すべての角度が等しい角形) は、作図可能な多角形、つまりコンパスと目盛りのない定規を使用して作図できる多角形 として興味深いものです。これは、65,537 がフェルマー素数であり、2 ^{2 n}  + 1 (この場合はn = 4)の形式であるためです 。したがって、値と は32768次代数数であり、他の作図可能な数と同様に、平方根で表すことができ、高次の根で表すことはできません。 ${\displaystyle \cos {\frac {\pi }{65537}}}$${\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{65537}}}$

カール・フリードリヒ・ガウスは1801年までに正65537角形が作図可能であることを知っていたが、正65537角形の最初の明示的な作図はヨハン・グスタフ・ヘルメス（1894年）によって行われた。作図は非常に複雑で、ヘルメスは200ページの原稿を完成させるのに10年を費やした。^{[1]もう1つの方法は、最大1332個の}カーライル円を使用するもので、この方法の最初の段階を下に示す。この方法は、これらのカーライル円の1つが二次方程式 x ²  +  x  − 16384 = 0 （16384は2 ¹⁴）を解くため、実用上の問題に直面する。^[2]

正65537 角形はD ₆₅₅₃₇対称性、位数 131074 を持ちます。65537 は素数なので、二面体対称性を持つサブグループが 1 つ ( D ₁ )、巡回群対称性が 2 つ ( Z ₆₅₅₃₇、 Z _{1 )}あります。

65537グラムは65,537辺の星型多角形です。65,537は素数なので、2 ≤  n  ≤ 32768のすべての整数に対して、シュレーフリ記号{65537/ n }によって生成される正規形は32,767通りあります。 ${\displaystyle \left\lfloor {\frac {65537}{2}}\right\rfloor =32768}$

• 丸
• 正三角形
• 五角形
• 十七角形（17辺）
• 257角形

• Weisstein、Eric W.「65537-gon」。MathWorld。
• ロバート・ディクソン『 マソグラフィックス』ニューヨーク：ドーバー、p.53、1991年。
• ベンジャミン・ボールド『幾何学の有名な問題とその解決法』ニューヨーク：ドーバー、p. 70、1982年。ISBN 978-0486242972 
• HSM Coxeter 幾何学入門、第 2 版。ニューヨーク: Wiley、1969 年。第 2 章、正多角形
• レナード・ユージン・ディクソン 『定規とコンパスによる作図; 正多角形』現代数学の話題に関するモノグラフ第 8 章
• 初等分野に関連するもの（JWA Young編）ニューヨーク：ドーバー、pp.352-386、1955年。

• 65537-gon 2023-01-05にWayback Machineでアーカイブされたmathematik-olympiaden.de（ドイツ語）、HERMESドキュメントの画像付き。2018年7月9日に取得
• Wikibooks 65537-Eck (ドイツ語) 2つの主なステップで最初の辺を近似的に構築する
• 65537 角形、第 1 辺の正確な作図、ヒッピアスの四角形とGeoGebra を追加の補助として使用、簡単な説明付き (ドイツ語)