6キューブ

幾何学において、6-キューブは、 64個の頂点、192個の辺、240個の正方形の面、160個の立方体セル、60個のテセラクト4面、および12個の5-キューブ5面を持つ6次元超立方体です。

シュレーフリ記号は{4,3 ⁴ }で、各 4 面の周りに3 つの5 立方体で構成されています。テセラクト( 4 立方体) とギリシャ語で 6 (次元) を意味するhexを組み合わせた造語であるヘキセラクトとも呼ばれます。また、12 個の正多面体から構成される6 次元多面体であるため、正ドデカ 6 トープまたはドデカペトンとも呼ばれます。頭字語: ax ^{[ 1 ]}

これは、ハイパーキューブと呼ばれる無限多面体族の一部です。6-キューブの双対は6-直交多面体と呼ばれ、クロス多面体の無限族の一部です。これは、u軸上で垂直な角度で配置されたさまざまな5-キューブで構成され、座標(x,y,z,w,v,u)を形成します。^{[ 2 ] [ 3 ]}

交代操作を適用して、6-キューブの交互の頂点を削除すると、6-デミキューブと呼ばれる別の均一多面体（デミハイパーキューブと呼ばれる無限族の一部）が生成され、これは12個の5-デミキューブ面と32個の5-単体面を持つ。

この構成行列は6キューブを表します。行と列は、頂点、辺、面、セル、4面、5面に対応します。対角線上の数値は、6キューブ全体に各要素がいくつ存在するかを示します。非対角線上の数値は、行の要素内またはその位置で列の要素がいくつ存在するかを示します。^{[ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}64&6&15&20&15&6\\2&192&5&10&10&5\\4&4&240&4&6&4\\8&12&6&160&3&3\\16&32&24&8&60&2\\32&80&80&40&10&12\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

原点を中心とし、辺の長さが2である6次元立方体の頂点のデカルト座標は次のとおりです。

(±1,±1,±1,±1,±1,±1)

一方、同じ領域の内部は、−1 < x _i < 1を満たすすべての点 (x ₀、 x ₁、 x ₂、 x ₃、 x ₄、 x _{5 ) から構成されます。}

6次元立方体には、3つのコクセター群が関連付けられています_。1つは正則なC6または[4,3,3,3,3]コクセター群、もう1つは半対称（D6 _）または[ ^{33,1,1 ]コクセター群です。最も低い対称性を持つ構成は、低次元の超立方体の}デカルト積である超直方体またはプロプリズムに基づいています。

6-キューブの64個の頂点は、正則な歪んだ4-多面体{4,3,4 | 4}も表します。そのネットは、3次元の立方体ハニカム{4,3,4}の周期的な部分集合である64個の立方体の4×4×4行列と見なすことができます。192個の辺と192個の正方形の面があります。向かい合う面は一緒に折り畳まれて4サイクルになります。折り畳む方向ごとに1次元が追加され、6-空間になります。

6キューブは、ハイパーキューブのシリーズにおける6番目のものです。

この多面体は、B ₆コクセター平面から生成される 63 個の均一な 6 多面体の 1 つであり、正6 直交多面体も含まれる。

• Coxeter, HSM (1973).正多面体（第3 版）. ニューヨーク：ドーバー出版. pp. 294–295、表I（iii）：正多面体、n次元（n ≥ 5）の3つの正多面体. ISBN  0-486-61480-8。
• Coxeter, HSM (1991) [1974]. Regular Complex Polytopes . Cambridge University Press. ISBN 0-521-39490-2。
• クリッツィング、リチャード。「頭字語を用いた6次元均一多面体（ポリペタ）」。o3o3o3o3o4x - ax

• ワイススタイン、エリック・W. 「ハイパーキューブ」 . MathWorld .
• オルシェフスキー、ジョージ。「多面体の測定」。ハイパースペース用語集。2007年2月4日にオリジナルからアーカイブ済み。
• 多次元用語集：ハイパーキューブ ギャレット・ジョーンズ