ウィッティング多面体

4次元複素幾何学において、ウィッティング多面体は正則複素多面体であり、 ₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃と名付けられ、コクセター図で表される。 _{240 個の頂点、2160個}の辺、2160_個の面、240_個のセルを持ちます。自己双対です。各頂点は 27 個の辺、72 個の面、27_個のセルに属し、ヘッセ多面体の 頂点図に対応します。

3 _[ 3] ₃ [3] ₃ [3] ₃または、155,520番。^[1] 240部あります、各セルの順序は648です。^[2]

構成マトリックスは次の通りである: ^[3] ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}240&27&72&27\\3&2160&8&8\\8&8&2160&3\\27&72&27&240\end{smallmatrix}}\right]}$

頂点、辺、面、セルの数は、行列の対角線上に表示されます。これらは、特定の複素反射 (以下 X で表示) を削除して、グループの位数をサブグループの位数で割って計算されます。k 面の要素の数は、対角線の下の行に表示されます。頂点図形などの要素の数は、対角線の上の行に表示されます。

240 個の頂点には次の座標が与えられます。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$

どこ。 ${\displaystyle \omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},\lambda ,\nu ,\mu =0,1,2}$

最後の6点は、その40の直径の1つに六角形の穴を形成します。中心の₃ {3} ₃ {4} _2を含む40の超平面があります。72 個の頂点を持つ図形。

コクセターは、複素射影3次元空間におけるウィッティング配置であることから、アレクサンダー・ウィッティングにちなんでこれを名付けた。 ^[4]

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}40&12&12\\2&240&2\\12&12&40\end{smallmatrix}}\right]}$または${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}40&9&12\\4&90&4\\12&9&40\end{smallmatrix}}\right]}$

ウィッティング配置は、85個の点、357本の直線、85本の平面からなる有限空間PG(3,2 ^{2 )に関連している。 [5]}

その240頂点は実8次元多面体4 ₂₁と共有され、2160 本の 3 辺は 6480 本の単純辺として描かれることもあり、4 _{21の 6720 辺よりわずかに少ない。240 本の差は、4 21の中心にある 40 個の六角形が3} {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃に含まれていないためである。^[6]

正則ウィッティング多面体にはさらに4次元ハニカムという段階がある。ウィッティング多面体を面と頂点の両方に持つ。自己双対であり、その双対はそれ自身と一致する。^[7]

このハニカムの超平面断面には3次元ハニカムが含まれる。

ウィッティング多面体のハニカムは、8次元多面体5 ₂₁として実数表現される。。

fベクトルの要素数は1、80、270、80、1と比例している。^[8]ハニカムの 構成行列は次のようになる。

• Coxeter, HSMおよび Moser, WOJ;離散群の生成元と関係(1965)、特に pp 67–80。
• Coxeter, HSM ; Regular Complex Polytopes、ケンブリッジ大学出版局、第2版 (1991)。pp. 132–5, 143, 146, 152。
• コクセター、HSMとシェパード、GC; 複雑な多面体のファミリーのポートレート、レオナルド第25巻、第3/4号、（1992）、pp 239-244 [1]