ヘッセ多面体

幾何学において、ヘッセ多面体は正複素多面体 ₃ {3} ₃ {3} ₃であり、、 にあります。頂点は 27 個、辺は 72 個、面は 27 個あり_ます。自己双対_です。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

コクセターは、ルートヴィヒ・オットー・ヘッセにちなんで、ヘッセ行列 と名付けました。これは、12本の直線上に3つずつ並んだ9つの点と、各点を通る4本の直線からなるヘッセ行列の構成(9 ₄ 12 ₃ )を共有していることから名付けられました。^[1]${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}9&4\\3&12\end{smallmatrix}}\right]}$

その複素反射群は₃ [3] ₃ [3] ₃または、648番の命令で、ヘッセングループとも呼ばれる。27の写本がある。各頂点に 24 次があります。24 個の 3 次反射があります。コクセター数は12 で、基本不変量の次数は 3、6、12 であり、多面体の射影対称性で確認できます。

ウィッティング多面体、₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃、ヘッセ多面体をセルと頂点図形として含みます。

これは2 ₂₁多面体として実数表現される。、6次元空間では、同じ27個の頂点を共有しています。2 21 の216個の辺は、3_{つの単純な辺として表される72個の3} {}辺として見ることができます。

その27個の頂点には、(λ, μ = 0,1,2) に対して の座標を与えることができます。${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$

(0,ω ^λ ,−ω ^μ )

(−ω ^μ ,0,ω ^λ )

(ω ^λ ,−ω ^μ ,0)

どこ。 ${\displaystyle \omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}$

その対称性は₃ [3] ₃ [3] ₃または、命令648。^[2]

₃ {3} ₃ {3} ₃の構成行列は次の通りである: ^[3]

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}27&8&8\\3&72&3\\8&8&27\end{smallmatrix}}\right]}$

k 面要素 ( f ベクトル)の数は、対角線に沿って読み取ることができます。各 k 面の要素の数は、対角線の下の行にあります。各 k 図形の要素の数は、対角線の上の行にあります。

これらは、頂点が重なり合う 8 つの対称正投影で、色で示されています。ここでは、72 個の三角形の辺が 3 つの独立した辺として描画されています。

ヘッセ多面体は、、=この二重ヘッセ多面体は54の頂点、216の単純辺、72の面。その頂点は頂点の結合を表す。そしてその二重。

その複素反射群は₃ [3] ₃ [4] ₂、または、命令1296。54部あります各頂点に 24 次があります。24 個の 3 次反射と 9 個の 2 次反射があります。コクセター数は18 で、基本不変量の次数は 6、12、18 であり、多面体の射影対称性で確認できます。

コクセターは、3つの複素多面体、、実際の四面体に似ている（）、立方体（）、八面体（ヘッセ行列は四面体に類似しており、立方体は二重四面体であり、八面体は平行四面体である。どちらの集合でも、最初の集合の頂点は2番目の集合の2つの双対に属し、3番目の集合の頂点は2番目の集合の辺の中心にある。^[4]

その実数表現では、54 個の頂点が対称構成の 2 つの 21 多面体に_含まれます。そしてその頂点は1 ₂₂の双対多面体にも見られます。

要素は構成マトリックスで確認できます。

修正、​正多面体として対称性が2倍になる₇₂の頂点、216の辺、_54の面を持つ。頂点図形は₃ {4} ₂、ファン・オス多面体は3{4} ₃で_{ある。これは}二重ヘッセ多面体の双対である。^[5]

これは1 ₂₂多面体として実数表現される。72 個の頂点を共有します。216 個の 3 辺は 648 個の単純辺として描画できますが、これは 1 ₂₂の 720 辺より 72 少ない数です。

要素は、正規形と準正規形の 2 つの構成行列で確認できます。

• Coxeter, HSMおよび Moser, WOJ;離散群の生成元と関係(1965)、特に pp 67–80。
• Coxeter, HSM ; Regular Complex Polytopes、ケンブリッジ大学出版局、(1974)。
• Coxeter, HSMおよび Shephard, GC; 複雑な多面体のファミリーのポートレート、Leonardo Vol 25、No 3/4、(1992)、pp 239–244、