複素反射グループ

数学において、複素反射群は、複素反射、すなわち複素超平面を点ごとに固定する非自明な要素によって生成される有限次元複素ベクトル空間に作用する有限群です。

複素反射群は、多項式環の不変理論の研究で登場する。20世紀半ばに、シェパードとトッドの研究で複素反射群は完全に分類された。特殊なケースとしては、置換の対称群、二面体群、より一般的にはすべての有限実反射群（コクセター群またはワイル群、正多面体の対称群を含む）がある。

有限次元複素ベクトル空間Vの(複素) 反射r (擬似反射またはユニタリー反射とも呼ばれる) は、複素超平面を点ごとに固定する有限位数の元であり、つまり、固定空間の余次元は 1 です。 ${\displaystyle r\in GL(V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Fix} (r):=\operatorname {ker} (r-\operatorname {Id} _{V})}$

(有限)複素反射群は、 反射によって生成される の有限部分群です。${\displaystyle W\subseteq GL(V)}$${\displaystyle GL(V)}$

スカラーをRからCに拡張すると、任意の実反射群は複素反射群になります 。特に、すべての有限コクセター群またはワイル群は複素反射群の例となります。

複素反射群W は、対応するベクトル空間の唯一のW不変な固有部分空間が原点である場合、既約である。この場合、ベクトル空間の次元はWの階数と呼ばれる。

階数の既約複素反射群WのCoxeter数は 、次のように定義されます。ここで、 は反射の集合を表し、 は反射超平面の集合を表します。実反射群の場合、この定義は有限 Coxeter システムの Coxeter 数の通常の定義に簡約されます。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle n}$${\displaystyle h={\frac {|{\mathcal {R}}|+|{\mathcal {A}}|}{n}}}$${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

任意の複素反射群は、対応するベクトル空間の和に作用する、既約複素反射群の積である。^[1]したがって、既約複素反射群を分類すれば十分である。

既約複素反射群は、GC ShephardとJA Todd  (1954) によって分類されました。彼らは、すべての既約群は、3 つの正の整数パラメータ ( pはmを割り切る) に依存する無限族G ( m、p、n ) に属するか、4 から 37 まで番号が付けられた 34 の例外的なケースの 1 つであることを証明しました。 ^[2] 群G ( m、1、n ) は一般化された対称群です。つまり、対称群 Sym( n ) と位数mの巡回群との輪積です。行列群として、その要素は、非ゼロ要素が1のm乗根である単項行列として実現できます。

群G ( m , p , n ) はG ( m , 1, n )のインデックスp の部分群である。G ( m , p , n ) の位数はm ⁿ n !/ pである。行列としては、非ゼロ要素の積が ( m / p ) 乗根 (単なるm乗根ではない) である部分集合として実現できる。代数的には、G ( m , p , n ) は、位数m ⁿ / pのアーベル群と対称群 Sym( n ) の半直積である。アーベル群の要素は ( θ ^{a ₁} , θ ^{a ₂} , ..., θ ^{a _n} ) の形式であり、θは原始m乗根で Σ a _i ≡ 0 mod pであり、Sym( n ) は座標の置換として作用する。^[3]

群G ( m , p , n )は、 m = 1, n > 1 (対称群) およびG (2, 2, 2) (クラインの 4 元群)の場合を除いて、C ⁿに既約に作用します。これらの場合、C ^{n は}次元 1 とn − 1の既約表現の和として分割されます。

m = 2のとき、前節で述べた表現は実数要素を持つ行列で構成され、したがってこれらの場合G ( m , p , n )は有限コクセター群となる。特に: ^[4]

• G (1, 1, n ) は型A _{n −1} = [3,3,...,3,3] = を持つ。...; 位数nの対称群!
• G (2, 1, n ) はタイプBを持ち_、n = [3,3,...,3,4] =...; 2 ⁿ nの位数の超八面体群!
• G (2, 2, n ) は型D _n = [3,3,...,3 ^1,1 ] = を持つ。...、順序は 2 ⁿ n !/2 です。

さらに、m = p、n = 2のとき、群G ( p , p , 2)は位数2 pの二面体群であり、コクセター群としては、タイプI ₂ ( p ) = [ p ] =（ p = 6のときはWeyl 群G ₂）。

2つの群G ( m , p , n ) が複素反射群として同型である唯一のケース^{[明確化が必要]}は、任意の正の整数a、bに対してG ( ma、pa 、 1) がG ( mb、pb 、 1)に同型である場合(そして両方とも位数m / pの巡回群に同型である場合) です。ただし、そのような2つの群が抽象群として同型である他のケースもあります。

群G (3, 3, 2) とG (1, 1, 3) は対称群 Sym(3) と同型です。群G (2, 2, 3) とG (1, 1, 4) は対称群 Sym(4) と同型です。G (2, 1, 2) と G (4, 4, 2) は両方とも位数8の二面体群と同型です。また、群G (2 p , p , 1) は位数 2 の巡回群であり、 G (1, 1, 2)も同様です。

このリストの最初の 3 行には重複がいくつかあります。詳細については、前のセクションを参照してください。

• ST は反射群のシェパード・トッド数です。
• ランクは、グループが作用する複素ベクトル空間の次元です。
• 構造は、グループの構造を表します。記号 *は、2 つのグループの中心積を表します。階数 2 の場合、(巡回) 中心による商は、表に示されているように、四面体、八面体、または二十面体の回転のグループです ( T = Alt(4)、O = Sym(4)、I = Alt(5)、次数 12、24、60)。表記 2 ¹⁺⁴については、特別なグループを参照してください。
• 順序はグループの要素の数です。
• 反射は反射の数を表します。2 ⁶ 4 ^{12 は、}次数 2 の反射が 6 個、次数 4 の反射が 12 個あることを意味します。
• 次数は、多項式不変量の環の基本不変量の次数を示します。たとえば、グループ番号 4 の不変量は、次数 4 と 6 の 2 つの生成元を持つ多項式環を形成します。

複素反射群の図、表現、コード度数などの詳細については、(Michel Broué、Gunter Malle、Raphaël Rouquier 1998) の表を参照してください。

シェパードとトッドは、複素ベクトル空間に作用する有限群が複素反射群となるのは、その不変量環が多項式環である場合のみであることを証明した (シュヴァレー・シェパード・トッドの定理)。反射群の階数であるため、不変量環の生成元の次数はW の次数と呼ばれ、上の「次数」の見出しの列にリストされている。彼らはまた、群の他の多くの不変量が次数によって次のように決定されることも示した。 ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle d_{1}\leq d_{2}\leq \ldots \leq d_{\ell }}$

• 既約反射群の中心は、次数の最大公約数に等しい順序の巡回群です。
• 複素反射群の位数はその次数の積です。
• 反射の数は次数の合計から順位を引いた数です。
• 既約複素反射群は、不変量が 2 次である場合に限り、実反射群から生じます。
• 次数d _{i は}式を満たす${\displaystyle \prod _{i=1}^{\ell }(q+d_{i}-1)=\sum _{w\in W}q^{\dim(V^{w})}.}$

反射群の階数であるWの共度は次のように定義される。 ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle d_{1}^{*}\geq d_{2}^{*}\geq \ldots \geq d_{\ell }^{*}}$${\displaystyle \prod _{i=1}^{\ell }(q-d_{i}^{*}-1)=\sum _{w\in W}\det(w)q^{\dim(V^{w})}.}$

• 実反射群の場合、符号次数は次数から 2 を引いた値になります。
• 反射超平面の数は、符号次数とランクの合計です。

定義により、すべての複素反射群はその反射によって生成されます。ただし、反射の集合は最小生成集合ではなく、ランクnのすべての既約複素反射群には、 nまたはn + 1 の反射からなる最小生成集合があります。前者の場合、グループは適切に生成されると言われます。

生成可能であるという性質は、すべての に対する条件と同等です。したがって、たとえば、分類から、群G ( m、p、n )が生成可能であるのは、p = 1 またはmの場合のみであると読み取ることができます。 ${\displaystyle d_{i}+d_{i}^{*}=d_{\ell }}$${\displaystyle 1\leq i\leq \ell }$

既約なよく生成された複素反射群の場合、上で定義したコクセター数 h は最大次数に等しくなります。既約な複素反射群は、既約なよく生成された複素反射群の積である場合によく生成されると言われます。すべての有限実反射群はよく生成されます。 ${\displaystyle h=d_{\ell }}$

よく生成される複素反射群には、シェパード群と呼ばれるサブセットが含まれます。これらの群は、正複素多面体の対称群です。特に、正実多面体の対称群が含まれます。シェパード群は、線型図による「コクセターのような」表現が可能な複素反射群として特徴付けられます。つまり、シェパード群には、正の整数p ₁、...、p _nおよびq ₁、...、q _{n − 1}が関連付けられているため、次の関係を満たす 生成集合s ₁、...、s _{n があります。}

${\displaystyle (s_{i})^{p_{i}}=1}$i = 1, ..., n の場合、

${\displaystyle s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}}$もし、${\displaystyle |i-j|>1}$

そして

${\displaystyle s_{i}s_{i+1}s_{i}s_{i+1}\cdots =s_{i+1}s_{i}s_{i+1}s_{i}\cdots }$ここで両辺の積はq _i個の項を持ちます（i = 1, ..., n − 1）。

この情報は、上の表に示すように、 Coxeter型の記号p ₁ [ q ₁ ] p ₂ [ q ₂ ] ... [ q _{n − 1} ] p _{nで収集されることがあります。}

無限族G ( m , p , n )の群のうち、 p =1となる群がシェパード群である。また、例外的なシェパード群が18個あり、そのうち3つは実数である。^{[5] [6]}

拡張カルタン行列はユニタリ群を定義する。ランクn群のシェパード群はn個の生成元を持つ。通常のカルタン行列は対角要素が2であるが、ユニタリ反射にはこの制限はない。^[7] たとえば、位数pのランク1群（記号p[]、) は1 × 1行列によって定義されます。 ${\displaystyle \left[1-e^{2\pi i/p}\right]}$

与えられたもの: 。 ${\displaystyle \zeta _{p}=e^{2\pi i/p},\omega =\zeta _{3}=e^{2\pi i/3}={\tfrac {1}{2}}(-1+i{\sqrt {3}}),\zeta _{4}=e^{2\pi i/4}=i,\zeta _{5}=e^{2\pi i/5}={\tfrac {1}{4}}(\left({\sqrt {5}}-1\right)+i{\sqrt {2(5+{\sqrt {5}})}}),\tau ={\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\lambda ={\tfrac {1+i{\sqrt {7}}}{2}},\omega ={\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}}$

• 反射群の放物線部分群

• Broué, Michel ; Malle, Gunter; Rouquier, Raphaël (1995)、「複素反射群とそれに関連する編組群について」(PDF)、群の表現 (Banff, AB, 1994)、CMS Conf. Proc.、vol. 16、Providence, RI: American Mathematical Society、pp. 1–13、MR  1357192
• ミシェル・ブルーエ;マレ、ギュンター。Rouquier、Raphaël (1998)、「複雑な反射群、組紐群、ヘッケ代数」、Journal für die reine und angewandte Mathematik、1998 (500): 127–190、CiteSeerX  10.1.1.128.2907、doi :10.1515/crll.1998.064、ISSN  0075-4102、MR  1637497
• Deligne、Pierre (1972)、「Les immeubles des groupes de tresses généralisés」、Inventiones Mathematicae、17 (4): 273–302、Bibcode :1972InMat..17..273D、doi :10.1007/BF01406236、ISSN  0020-9910、MR  0422673、S2CID  123680847
• ヒラー、ハワード『コクセター群の幾何学』数学研究ノート、54。ピットマン（アドバンスト パブリッシング プログラム）、ボストン、マサチューセッツ - ロンドン、1982 年。iv+213 頁 。ISBN 0-273-08517-4 * 
• Lehrer, Gustav I.; Taylor, Donald E. (2009)、ユニタリ反射群、オーストラリア数学会講演シリーズ、第20巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-74989-3、MR  2542964
• Shephard, GC; Todd, JA (1954)、「有限ユニタリ反射群」、Canadian Journal of Mathematics、6、Canadian Mathematical Society: 274–304、doi : 10.4153/CJM-1954-028-3、ISSN  0008-414X、MR  0059914、S2CID  3342221
• Coxeter、ユニタリ反射によって生成される有限群、 1966 年、 4.グラフィカル表記法、 n ユニタリ反射によって生成される n 次元群の表。 pp. 422–423

• MAGMA計算代数システムページ